SF1626 Flervariabelanalys

Transkript

1 Föreläsning 11 Institutionen för matematik KTH VT 2018

2 1 agens program Variabelsubstitution i dubbelintegraler Något om generaliserade integraler och medelvärden Bokens kapitel 14.4 och i någon mån också 14.3.

3 ubbelntegraler, repetition 2 Vad är en dubbelintegral? ubbelintegralen av f över definieras via Riemannsummor (se fig) f (x, y) dxdy f (xjk, y jk ) x j y k j,k Summan till höger kallas alltså en Riemannsumma. En möjlig tolkning av integralen är volymen (med tecken) under funktionsytan, men många andra möjliga tolkningar finns.

4 ubbelintegraler, repetition 3 Vad blir (utan att räkna) dubbelintegralerna x dxdy och 1 dxdy om är cirkelskivan som ges av x 2 + y 2 1?

5 ubbelintegraler, repetition 4 Beräkna dubbelintegralerna x dxdy om ges av y 2 x 1 och y dxdy (Facit: 4/5 och 0)

6 Integraler 5 Variabelsubstitution i dubbelintegraler f (x, y) dxdy = E f (x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) dudv om x = x(u, v), y = y(u, v) är en C 1 bijektiv avbildning av E i uv-planet på i xy-planet.

7 Integraler 6 Variabelsubstitution i dubbelintegraler, exempel Låt vara enhetscirkelskivan, x 2 + y 2 1. Om vi inför polära koordinater x = r cos θ och y = r sin θ i (1 x 2 y 2 ) dxdy så övergår integralen i 2π 0 dθ 1 0 (1 r 2 )r dr (Integralen blir π/2)

8 Integraler 7 Beräkna med hjälp av polära koordinater x dxdy om ges av olikheterna x 0, y 0 och x 2 + y 2 4 (Facit: 8/3)

9 Integraler 8 Beräkna med hjälp av lämplig substitution (2y x) dxdy om ges av olikheterna 0 x + y 1 och 2 2y x 3 (Facit: 5/6)

10 Integraler 9 Beräkna med hjälp av lämplig substitution (x + y) dxdy om är det område i första kvadranten som ges av olikheterna 1 xy 2 och 3 y x 4 (Facit: 1)

11 Generaliserade dubbelintegraler 10 Generaliserade dubbelintegraler Typ 1, obegränsat område: e x dxdy, där = {(x, y) : x y x, x 0} Typ 2, obegränsad funktion 1 (x + y) 2 dxdy, där = {(x, y) : 0 y x 2, 0 x 1} Viktiga begrepp: konvergens, divergens. (Facit: 2 och ln 2)

12 Generaliserade dubbelintegraler 11 Sammanfattning om generaliserade dubbelintegraler Om integranden är icke-negativ (eller icke-positiv) räcker det att göra som i exemplen vi såg tidigare. Om integranden tar både positiva och negativa värden i integrationsområdet kan vi inte avgöra om den är konvergent bara genom itererad enkelintegration. En fullständig undersökning av sådana integraler ligger utanför vår kurs. För kontinuerliga funktioner gäller att f (x, y) dxdy konvergent = f (x, y) dxdy konvergent och i så fall kan man också räkna ut integralen av f genom upprepad enkelintegration.

13 Medelvärde 12 En medelvärdessats för dubbelintegraler Om f är kontinuerlig på en sluten, begränsad, sammanhängande mängd i xy-planet, så finns en punkt (x 0, y 0 ) så att f (x, y) dxdy = f (x 0, y 0 ) (arean av ) efinition av medelvärdet av f över 1 f = f (x, y) dxdy (arean av ) Uppgift: beräkna medelvärdet av f (x, y) = x 2 + y 2 över enhetscirkeln. (Facit: 1/2)

14 Tillämpningar av integraler 13 Beräkna volymen Beräkna volymen av den begränsade kropp som helt innesluts av ytorna z = 1 x 2 y 2 och z = x 2 + y 2 1 (Facit: π)

15 Tillämpningar av integraler 14 Beräkna massan Triangeln med hörn i (0, 0), (1, 1) och (2, 0) förses med en ytbeläggning vars densitet i punkten (x, y) ges av ρ(x, y) = 1 + x kg per kvadratmeter (enheten på axlarna är meter). Beräkna massan av beläggningen. (Facit: 2 kg)

16 Integraler 15 En viktig integral: e x 2 dx = π enna viktiga envariabelintegral kunde vi inte räkna ut i envarren, men vi kan räkna ut den nu med hjälp av flervarre!

17 Integraler 16 agens tentaproblem ( ): Området i xy-planet ges av olikheterna 0 x 2y 3 A. Gör en skiss av området. B. Beräkna integralen e y 2 dxdy

18 Integraler 17 agens tentaproblem ( ): Beräkna integralen x 2 1 x 2 y 2 dxdy där ges av olikheterna x 0 och x 2 + y 2 1.