Generaliserade integraler. Definitionen. J amf orelsesatser. Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Dagens amnen 1 / 10

Transkript

1 Dagens ämnen 1 / 10

2 Dagens ämnen Generaliserade integraler. 1 / 10

3 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. 1 / 10

4 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. Jämförelsesatser. 1 / 10

5 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. Jämförelsesatser. Vad skall vi jämföra med? 1 / 10

6 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. Jämförelsesatser. Vad skall vi jämföra med? Absolutkonvergens 1 / 10

7 Generaliserade integraler. 2 / 10

8 Generaliserade integraler. Samma definitioner som i Envar 1. 2 / 10

9 Generaliserade integraler. Samma definitioner som i Envar 1. Två grundtyper: 2 / 10

10 Generaliserade integraler. Samma definitioner som i Envar 1. Två grundtyper: 1 Obegränsat intervall 2 / 10

11 Generaliserade integraler. Samma definitioner som i Envar 1. Två grundtyper: 1 Obegränsat intervall 2 Obegränsad integrand 2 / 10

12 Generaliserade integraler. Samma definitioner som i Envar 1. Två grundtyper: 1 Obegränsat intervall 2 Obegränsad integrand Har vi en integral med både obegränsat intervall och obegränsad integrand så måste den delas upp. 2 / 10

13 Generaliserade integraler. Samma definitioner som i Envar 1. Två grundtyper: 1 Obegränsat intervall 2 Obegränsad integrand Har vi en integral med både obegränsat intervall och obegränsad integrand så måste den delas upp. Kan bara hantera en generalisering per integral. 2 / 10

14 Generaliserade integraler. 3 / 10

15 Generaliserade integraler. Tidigare avgjordes konvergensfrågn genom att vi räknade ut de aktuella integralerna. 3 / 10

16 Generaliserade integraler. Tidigare avgjordes konvergensfrågn genom att vi räknade ut de aktuella integralerna. Hur göra om vi inte kan hitta en primitiv funktion till integranden? 3 / 10

17 Generaliserade integraler. Tidigare avgjordes konvergensfrågn genom att vi räknade ut de aktuella integralerna. Hur göra om vi inte kan hitta en primitiv funktion till integranden? Jämför med enklare integraler! 3 / 10

18 Generaliserade integraler. Tidigare avgjordes konvergensfrågn genom att vi räknade ut de aktuella integralerna. Hur göra om vi inte kan hitta en primitiv funktion till integranden? Jämför med enklare integraler! Viktigt! Tänk på tolkningen av integralen som en area. 3 / 10

19 Generaliserade integraler. Tidigare avgjordes konvergensfrågn genom att vi räknade ut de aktuella integralerna. Hur göra om vi inte kan hitta en primitiv funktion till integranden? Jämför med enklare integraler! Viktigt! Tänk på tolkningen av integralen som en area. 3 / 10

20 Jämförelsesatserna. 4 / 10

21 Jämförelsesatserna. Hur skall jämförelsen gå till, d v s hur skall vi formulera satserna? 4 / 10

22 Jämförelsesatserna. Hur skall jämförelsen gå till, d v s hur skall vi formulera satserna? Vilka enkla funktioner skall vi jämföra med? 4 / 10

23 Sats 10.11, sid 456 (Jämförelsesats I) 5 / 10

24 Sats 10.11, sid 456 (Jämförelsesats I) Antag att 0 f(x) g(x). Då gäller: 5 / 10

25 Sats 10.11, sid 456 (Jämförelsesats I) Antag att 0 f(x) g(x). Då gäller: (a) om b a b a g(x)dx är konvergent så är f(x)dx är konvergent 5 / 10

26 Sats 10.11, sid 456 (Jämförelsesats I) Antag att 0 f(x) g(x). Då gäller: (a) om b (b) om b a g(x)dx är konvergent så är f(x)dx är konvergent a b a b a f(x)dx är divergent så är g(x)dx är divergent 5 / 10

27 Jämförelsesats I, Bevis 6 / 10

28 Jämförelsesats I, Bevis Antag att 0 f(x) g(x). Då gäller: 6 / 10

29 Jämförelsesats I, Bevis Antag att 0 f(x) g(x). Då gäller: (a) om den större arean är ändlig så är den mindre det också 6 / 10

30 Jämförelsesats I, Bevis Antag att 0 f(x) g(x). Då gäller: (a) om den större arean är ändlig så är den mindre det också (b) Om den mindre arean är oändlig så är den större det också. 6 / 10

31 Vad skall vi jämföra med? 7 / 10

32 Vad skall vi jämföra med? Sats 10.12, sid 456 (a) 1 1 x αdx är { konvergent om α > 1 divergent om α 1 7 / 10

33 Vad skall vi jämföra med? Sats 10.12, sid 456 (a) 1 1 x αdx är { konvergent om α > 1 divergent om α 1 (b) x αdx är { konvergent om α < 1 divergent om α 1 7 / 10

34 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid / 10

35 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) g(x) A > 0 då x problemet. 8 / 10

36 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) g(x) A > 0 då x problemet. Då gäller 8 / 10

37 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) A > 0 då x problemet. g(x) Då gäller b a g(x)dx konvergent 8 / 10

38 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) A > 0 då x problemet. g(x) Då gäller b a b a g(x)dx konvergent f(x)dx konvergent. 8 / 10

39 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid / 10

40 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) g(x) A > 0 då x problemet. Då gäller 9 / 10

41 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) g(x) A > 0 då x problemet. Då gäller b a g(x)dx divergent 9 / 10

42 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) g(x) A > 0 då x problemet. Då gäller b a b a g(x)dx divergent f(x)dx divergent. 9 / 10

43 Absolutkonvergens 10 / 10

44 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f / 10

45 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f 0. Vad gör vi om f växlar tecken? 10 / 10

46 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f 0. Vad gör vi om f växlar tecken? Studera f. 10 / 10

47 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f 0. Vad gör vi om f växlar tecken? Studera f. Definition. säges b a Om b a f(x) dx är konvergent f(x)dx vara absolutkonvergent 10 / 10

48 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f 0. Vad gör vi om f växlar tecken? Studera f. Definition. säges b a Om b a f(x) dx är konvergent f(x)dx vara absolutkonvergent (och förstås konvergent). 10 / 10

49 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f 0. Vad gör vi om f växlar tecken? Studera f. Definition. säges b a Om b a f(x) dx är konvergent f(x)dx vara absolutkonvergent (och förstås konvergent). 10 / 10