av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

Transkript

1 Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna och Q (,, (h, k, l 4h + l + 1kl 4h + (l + 3k 18k Q (,6, 18 (h, k, l 4h + 36k + l + 1kl 4h + (l + 3k + 18k Man visar med standardresonemang att den första är indefinit (tex är Q (,, (1,, 4 + > och Q (,, (, 1, < och den andra är positivt definit (det är uppenbart att Q (,6, 18 överallt, och enda sättet att få Q (,6, 18 (h, k, l är att ta h, l + 3k och k, dvs (h, k, l (,, Av detta följer (enligt sats att (,, inte är någon lokal extrempunkt, medan (, 6, 18 är en lokal minimipunkt Svar: f har lokalt minimum i (, 6, 18 (a Använd kedjeregeln Svar: z x(x, y g (x + e y x och z y(x, y g (x + e y e y (Observera att g är en funktion av en variabel, så dess derivata ska betecknas med g, precis som i envariabelanalyskursen et är inte korrekt att skriva partiella derivator g x och g y här e partiella derivatorna står bara på z(x, y, som ju är en funktion av två variabler; z(x, y är sammansättningen av envariabelfunktionen g(t och flervariabelfunktionen t h(x, y x + e y (b Med det föreslagna variabelbytet u x, v x + e y fås z x z u + x z v och z y e y z v, vilket insatt i PE:n ger e y (z u + x z v x(e y z v e y, alltså z u e y v u Integration med avseende på u ger z(u, v uv 1 3 u3 +g(v, där g är en godtycklig C 1 -funktion av en variabel, alltså z(x, y x(x + e y 1 3 x3 + g(x + e y 3 x3 + xe y + g(x + e y Bivillkoret ger till sist z(, y g(e y y, alltså g(t ln(t, för t > (Att funktionen g(t bara blir bestämd för t > har ingen betydelse för det slutliga svaret, eftersom enbart positiva värden t e y + x > stoppas in i g(t där Svar: z(x, y 3 x3 + xe y + ln(e y + x Anmärkning: Notera att liksom för linjära ordinära differentialekvationer (som ni har sett i envariabelanalysen så har lösningen strukturen

2 partikulärlösning plus homogenlösning : z p (x, y 3 x3 + xe y ger högerledet e y vid insättning i PE:n, medan z h (x, y g(x + e y löser den motsvarande homogena ekvationen e y z x(x, y x z y(x, y (alltså med noll i högerledet Om man vill kontrollera att det verkligen är så (genom insättning så behöver man resultatet från (a-uppgiften Prova det, så märker du varför det är viktigt att det verkligen står samma uttryck g (x + e y på båda ställena, och inte g x resp g y Annars kommer ju inte de två termerna att ta ut varandra! 3 Man kan tex göra det linjära variabelbytet ( x y u ( 1 + v ( 1 4, dvs x u + 4v, y u v etta ger en ny triangel E i uv-planet, med hörn i (,, (1, och (, 1 eterminanten d(x,y det ( 1 4 d(u,v 1 9 ger dxdy 9 dudv, och alltså 1 9 dxdy 81 + (x y E 1 Svar: Se ovan 1 v 1 + v dv dudv 81 + (9v [ arctan v 1 ln(1 + v ( 1 v du dv 1 + v 1 ( π 9 4 ln v u ] 1 (Notera att svaret måste bli positivt eftersom vi integrerar den överallt positiva funktionen f(x, y 1/(81 + (x y, och man kan se att det blev positivt eftersom π 3,14 > 3 och ln,69 < ln e 1, så att π/4 > 3/4 > 1/ > (ln / 4 Som bekant är gradienten f(x, y ( 3x 6xy 1x y 4 +1 vinkelrät mot nivåkurvan genom punkten (x, y I en punkt (x, y (a, 1 på linjen y 1 måste därmed gradienten vara riktad i y-led för att nivåkurvan ska tangera linjen, alltså f(a, 1 ( 3a 6a 1a + 1 (, 1 vilket är fallet om och endast om 3a 6a etta ger a eller a, så nivåkurvorna genom (, 1 och (, 1 tangerar linjen Insättning av dessa punkter i formeln för f(x, y ger f(, 1 1 och f(, 1 3 Svar: Nivåkurvorna f(x, y 1 och f(x, y 3 (Om man ska vara noggrann bör man även påpeka att f(, 1 och f(, 1 inte är nollvektorn, eftersom 1a +1 då a eller a etta villkor garanterar ju, via implicita funktionssatsen, att nivåmängden verkligen är en kurva i närheten av respektive punkt

3 Villkoren x och x + 3 y representerar en sektor i rummet som avgränsas av planen x och x + 3 y Vi kan illustrera detta i en figur sedd uppifrån (där uppåt betyder positiv z-led: y x/ 3 y x x et grå området indikerar x, det blå området indikerar x+ 3 y (alltså y x/ 3, och deras skärning ger sektorn nere till vänster mellan de tjocka svarta strecken (som bildar vinklarna respektive 3π/ med den positiva x-axeln Olikheten z x + y är området ovanför konen z x + y, vilket enklast illustreras i en figur sedd från sidan en verkliga mängden i tre dimensioner fås genom att rotera figurens grå område runt z-axeln Vinkeln mellan positiva z-axeln och det tjocka strecket är π/4 z z ρ x + y xy-planet ρ Olikheten x + y + z 4, slutligen, definierar såklart ett klot med centrum i origo och radie Vid övergång till rymdpolära koordinater fås därmed ett nytt område E 3

4 som ges av r, ϕ 3π/ och θ π/4, alltså x dxdydz (r cos ϕ sin θ r sin θ drdθdϕ E ( ( π/4 3π/ r 4 dr sin 3 θ dθ cos ϕ dϕ ( ( [ ] r [ 3 ( π/4 r 4 dr cos θ + cos3 θ 3 ( 3 6 (1 cos θ sin θ dθ ] π/4 ( 1 π [ ϕ ( 3π/ ] sin ϕ 3π/ cos ϕ Svar: (8 (8π (Svaret måste uppenbart bli positivt eftersom vi integrerar f(x, y, z x, och man kan se att det blev positivt eftersom 1,41 < 1,6 8/, eller, om man föredrar det, 8 64 > En alternativ lösning är att använda stavar i z-led, med konen som botten och sfären som lock, alltså ( x 4 (x +y dxdydz x x dz dxdy, +y z där projektionen av på xy-planet är { (x, y R : x, x + 3 y, { (x, y R : x, x + 3 y, x + y } dϕ x + y 4 (x + y } et blir alltså en cirkelsektor i xy-planet, med radien Observera att detta inte är lika med klotets radie ; se figuren, där cirkelradien ifråga representeras av det blå strecket: 4

5 z z ρ xy-planet ρ ρ + z 4 ubbelintegralen över beräknas enklast i planpolära koordinater, med nytt område F {(ρ, ϕ R : ρ, ϕ 3π/}: x ( 4 (x + y x + y dxdy (ρ cos ϕ ( 4 ρ ρ ρ dρdϕ F ( ( 3π/ cos ϕ dϕ ρ 3 4 ρ dρ ρ ρ ρ 4 dρ Med t 4 ρ (och dt ρ dρ får man att den första ρ-integralen är 1 ρ 4 ρ ( ρdρ 1 (4 t t dt 1 [ ] 4 t 3/ 4 4 3/ t/ / 4 3 (43/ 3/ 1 (4/ / 64 8, 1 från vilket man subtraherar [ 1 ρ ] 1 1, och multiplicerar med ϕ-integralen som blir π precis som i den första lösningen Ännu en alternativ lösning är att använda skivor (tvärsnitt för fixt z å måste man dela upp kroppen i två delar, en undre del med z, och en övre del med z (se figuren ovan, men å andra sidan blir primitivuträkningarna ganska bekväma För varje fixt z är tvärsnittet z en cirkelsektor med samma vinklar ϕ 3π/ som ovan, men med en z-beroende radie; i den undre delen har vi ρ z (radien ges av konen z ρ och i den övre delen är ρ 4 z (radien ges av sfären ρ + z 4 etta ger (om

6 E z betecknar den just beskrivna z-beroende rektangeln i ρϕ-planet som motsvarar cirkelsektorn z i xy-planet att x dxdydz ( z ( z ( 3π/ + z z ( 3π/ ( π 3 + z x dxdy dz (ρ cos ϕ ρ dρdϕ dz E z ( z cos ϕ dϕ ( 3π/ cos ϕ dϕ cos ϕ dϕ ( z [ ] z vilket (såklart ger samma svar ännu en gång ρ 3 dρ dz ( 4 z z 4 4 dz + + [ ρ 3 dρ z dz 16z 8z3 3 + z (4 z dz 4 6 Sätt F (x, y x y x y å är F y(x, y x y ln x 1 Eftersom F är av klass C 1, F (1, 3 3 och F y(1, 3 1 så är villkoren för implicita funktionssatsen uppfyllda, och den säger då att ekvationen F (x, y 3 implicit definierar en C 1 -funktion y(x nära (x, y (1, 3, vilket skulle visas Notera att y(1 3 per definition Implicit derivering av sambandet x y(x x y(x 3 ger x y(x( y (x ln x + y(x/x 1 y (x (När man deriverar x y(x får man tänka på att det betyder e y(x ln x Om vi löser ut y (x får vi y (x 1 y(xxy(x 1 x y(x ln x 1 Här är uttrycket i högerledet av klass C 1 (nära x 1, eftersom vi vet att y(x är det, och eftersom vi inte dividerar med noll Alltså är även vänsterledet y (x av klass C 1, vilket betyder att funktionen y(x själv är av klass C Vi övergår nu till att skriva y och y istället för y(x och y (x, för ], 6

7 enkelhets skull erivering av y (x y ln x 1 1 yx y 1 ger y (x y ln x 1 + y ( x y (y ln x + y/x ln x + x y /x y x y 1 y x y 1 (y ln x + (y 1/x Om vi här löser ut y (x får vi igen ett uttryck av klass C 1, vilket betyder att y(x själv är av klass C 3 (Man kan fortsätta på liknande sätt och visa att y(x rentav är av klass C Insättning av x 1 och y(1 3 i formeln för y (x ger y (1 ( /( 1, och insättning av detta i formeln för y (x ger y ( , alltså y (1 1 Taylors formel ger nu utvecklingen av ordning kring x 1: y(1 + h y(1 + y (1h + y (1h! 3 + h + h + O(h 3 + O(h 3 Svar: Se ovan En arbetsbesparande variant är att notera att ekvationen x y x + y 3 är ekvivalent med y ln x ln(x + y 3 (åtminstone för x > och x + y 3 >, och det kan vi ju anta gäller eftersom vi bara är intresserade av vad som händer nära (x, y (1, 3 Man kan alltså skriva ekvationen som G(x, y, där G(x, y y ln x ln(x + y 3 Sedan beräknar man G y(x, y ln x (x + y 3 1, kontrollerar att G y(1, 3, deriverar implicit, osv, precis som ovan, fast med mycket enklare uträkningar! 7