Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv
|
|
- Anita Sandberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, ( ( ) Genom att parametrisera ytan med två parametrar u och v, r( u,v)= x( u,v), y( u,v),z u,v kan man överföra ytintegralen till en dubbelintegral. Man har nämligen ds = r u dudv och därför f ds f x( u,v), y( u,v),z ( u,v) r r dudv u v = ( ), där står för det område i ( u,v) planet som via parametriseringen genererar ytan. Parametriseringen är inte alltid trivial, och det finns dessutom flera alternativ som sinsemellan kan leda till helt olika typer av svårigheter i den uppkomna dubbelintegralen. Men ofta är ytan en funktionsyta z = f x, y ( x,y, f ( x,y) ). I detta fall blir r x r y = ( 1,, f x ) (,1, f y )= f x, f y,1 ( ) som enkelt låter sig parametriseras genom ( ) och ds = f x ( ) + ( f y ) +1dxdy Exempel: Beräkna ( 4 z)ds Lösning: är en funktionsyta z = f x, y genom x,y, f x,y ( ( )) Vi får då ( 4 z)ds = 4 z x +y 4 där är ytan z = 4 x y, x + y 4 ( ) och vi kan använda parametrisera ( ) 1+ 4 x + 4 y dxdy = x + y ( ) 1+ 4 x + 4 y dxdy = x +y 4 = π r 1+ 4r rdrsom beräknas på vanligt sätt. På vissa enkla ytor kan man slippa parametrisera och till exempel utnyttja att ds betecknar arean av ytan. 1
2 Exempel: Beräkna zds där är en sluten cylinder med radie 3 kring z- axeln från z = till z =15 Lösning: Här består ytan av tre olika stycken som måste behandlas var för sig. Vi kallar dem 1,, 3 där 1 är själva cylindern. 1 parametriserar vi r( t,θ) = ( 3cosθ,3sinθ,t) så att r t r θ = (,,1) 3sinθ,3cosθ, zds t 3dtdθ = 675π = 1 t 15 θ π ( ) = ( 3cosθ,3sinθ,) så att På bottenstycket är z = så zds = r t r = 3 och Slutligen, på locket är z =15 så zds =15 ds =15 (arean av locket)= = 145π Svar: 81π 3 3 θ
3 Flödesintegraler Vi kommer nu till en viktigt tillämpning av ytintegraler. Utgångspunkten är ett vektorfält F som beskriver med vilken riktning en vätska strömmar i något medium och hur mycket av denna vätska som per tidsenhet strömmer igenom ett membran. etta membran motsvarar en yta i rummet och den efterfrågade flödeshastigheten visar sig ges av ytintegralen F N ds där N är ytans enhetsnormal. etta är en ytintegral av den typ vi studerat i föregående avsnitt, men situationen är faktiskt lite bättre än så. Uttrycket r u som vi använder för att få grepp om ytelementet ds, är ju i själva verket en normalvektor till ytan varför vi kan skriva N = r r u v och därmed r u r F N ds = F u r v r r u u r v dudv = F ( r u )dudv r v Flödesintegraler kan alltså beräknas genom att den givna ytan parametriseras, men man slipper storheten r u som ofta orsakar svårigheter i den uppkomna dubbelintegralen. I situationer där man ombeds beräkna flöden som ovan är membranet alltid orienterat; man vill veta flödet från en given sida av membranet till den andra. Man pratar därför om ytas positiva respektive negativa sida, och definierar den positiva sidan som den som normalen pekar åt. Vilken sida som blir positiv beror därför på vilken parametrisering som görs, och det är inte alltid lätt att förutsäga. Men det är också lätt att korrigera, så det enda som egentligen krävs är att man efter gjord parametrisering kontrollerar att normalen pekar åt rätt håll. Exempel: Beräkna flödet ( x, y,z + 1) uppåt genom ytan z = 1 x y, z Lösning: Vi använder den naturliga parametriseringen r( x,y)= x,y,1 x y r x r y = x,y,1 ( ) som ger ( ) Normalen pekar uppåt och vi får flödet till F N ds = ( x, y,z +1) ( x,y,1)dxdy = x + y + z +1dxdy x +y 1 x +y 1 Här är ju z =1 x y och dubbelintegralen beräknas lätt med polära koordinater. 3
4 Greens formel en sista delen av vektoranalysen kretsar kring tre stora satser: Green, Gauss och Stoke. Vi börjar med ett tillfälligt återbesök hos kurvintegraler på vektorfält i planet och Q presenterar Greens formel: Pdx + Qdy = x P dxdy y Här är en sluten, styckvis glatt och positivt orienterad kurva, och det område som kurvan inneslutar. P och Q måste vara differentierbara i hela. Exempel: Beräkna ( y + e x )dx + ( x + cos y )dy där är randen av det område som innesluts av kurvorna y = x samt x = y Lösning: En parametrisering ger en ohygglig integral, så vi använder Greens formel: ( y + e x )dx + ( x + cos y )dy = ( x + cos y ) ( x y y + e x )dxdy = = ( 1)dxdy = dy dx = y= x y= x 4
5 Ibland använder man Greens formel baklänges och beräknar en dubbelintegral med hjälp av kurvintegral. en typiska (och så gott som enda) situationen uppstår när man vill beräkna arean av ett område som är inneslutet av en kurva på parameterform. Greens formel ger nämligen xdy = ydx = 1 xdy ydx = dxdy där den avslutande dubbelintegralen definitionsmässigt ger arean av området. Man väljer den av de tre kurvintegralerna som passar bäst med de aktuella funktionerna. Exempel: Beräkna arean innanför kurvan med parameterframställning r( t)= ( cost, sin 3 t), t π Lösning: Lösning: arean = π = 3 sin t dt = 3π 4 4 dxdy = π xdy = cost 3sin t cost dt = 5
Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merLösningar till Matematisk analys 4,
Lösningar till Matematisk analys 4, 05054. a Sätt a k k + k +, b k k e /k Serien k a k är positiv. Vi har att och c k k! 4 k k! för k,,... a k k + k + k k för stora k k och mera precist att / a k k k +
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merOutline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09
Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se 7 oktober 2009 1 Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht09
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs mer23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merIntegraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill
Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merTavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén
Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1 Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner
Läs merFöreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 5 december 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 16.1: 3, 7, 11. 16.2: 9, 15, 17. Gradient, divergens, och rotation Gradienten Om
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08
Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08 Omfattning 6., 6.3-6.5 Innehåll: Gradient, divergens, rotation, Greens sats/formel, divergenssatsen i två och tre dimensioner, tokes sats tma043 V6, Ht08 bild Mål: För
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Läs merOutline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09. Carl-Henrik Fant
Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht09 Kapitel 6. -
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.
Läs merA = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt
TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merTentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl
Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg
Läs merAB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet
AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merVektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys II Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 9 september 215 Översikt 1 Kurvor och ytor, linje- och yt-mått 2 Integraler, Kap. 1.3 Linjeintegraler Ytintegraler Volymsintegraler
Läs merIntegranden blir. Flödet ges alltså av = 3
Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat
Läs merFlervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2010 Kurslitteratur Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Robert A. Adams, alculus: a complete course, 6th ed., Addison Wesley,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merFigur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs mer20 Integralkalkyl i R 3
Nr,9maj-,Amelia Integralkalkl i R 3 VI kommer härnäst att studera integraler av tredimensionella vektorfält: F(,, ) = (P (,, ), Q(,, ), R(,, )). Vi generaliserar kurvintegraler och Greens formel från R
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merLektionsblad 9, tis 16/2 2010
Lektionsblad 9, tis 16/2 2010 Först en gång till optimering med bivillkor. Lös uppgifterna 4.25 (om du har problem med denna väldigt typiska uppgift, så studera även lösningen till 4.24), 4.26 (nästan
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merKontrollskrivning 1A
Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen
Läs merOmtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys
Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat
Läs merTATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.
TATA Lösningar /8/.. Låt vara den del av x + y + z innanför cylindern x + y. Inför cylinderkoordinater. Parametrisera med ortsvektorn r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ som man kan skriva som r(ρ, φ ρ ˆρ + ρ
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merx (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merBERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER)
BERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER) Låt FF = (PP(xx, yy, z, QQ(xx, yy, z, RR(xx, yy, z) vara ett kontinuerligt vektorfält ( d v s en vektorfunktion) definierat i en öppen mängd Ω. Låt γ vara
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA4 Flervariabelanalys E2 21-8-1 kl. 8. 12. Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anders Martinsson, telefon: 7 88 4 Hjälpmedel: bifogat
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs merFlervariabelövningar. Fredrik Bengzon 3 mars 2004
Flervariabelövningar Fredrik Bengzon 3 mars 24 Innehåll 1 Partiella derivator och kedjeregeln 3 2 Gradient och riktningsderivata 4 3 Kurvor och ytor 5 4 Taylors formel 8 5 ivergens och rotation 9 6 Kurvintegralen
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merAB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats
AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta på parameterform ges av tre ekvationer x = x(u, v), y = y(u, v), z =
Läs merx f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs meroch kallas ytintegral AREAN AV EN BUKTIG YTA
YTINTEGRALER Definition. Vi betraktar en funktion (xx, yy, zz) som är definierad på ytan Y. Vi delar ytan i ej- överlappande delar S i, väljer en punkt T i i varje S i och beräknar summan ii= ff(tt ii
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 11 Institutionen för matematik KTH VT 2018 1 agens program Variabelsubstitution i dubbelintegraler Något om generaliserade integraler och medelvärden Bokens kapitel 14.4 och i någon mån också
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 25 6 3, kl 8 3 5B9, Vektoranalys, för Open Uppgifterna 4 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga examinationen Av dessa uppgifter skall man bara
Läs merTentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 5--9 kl. 8.3.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Mattias Lennartsson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merTentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13 Institutionen för matematik KTH VT 2018 Administrativt 0 Anmäl er till tentan! Vektoranalys 1 Dagens program: Vektorfält Konservativa vektorfält Potentialfunktioner Bokens kapitel 15.1-15.2
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs merÖvning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140
Övning 6, FMM-ektoranalys, I114 ˆ 6. Beräkna integralen där A dr A x 2 ay + z) ) e x + y 2 az ) e y + z 2 ax + y) ) e z och är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern { x a) 2 + y 2 a 2 och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Läs mer4 Integrering av vektorfält
4 Integrering av vektorfält 4.1 Integrering av vektorvärda funktioner Vi börjar vår undersökning av hur vektorfält integreras med att studera en styckvis kontinuerlig funktion A av flera oberoende variabler
Läs merTentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng
Läs merTMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs mer