AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet
|
|
- Ingemar Ivarsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t), y = y(t), z = z(t) (t I), () dvs av vektorfunktionen där variabeln t är en parameter. punkten r(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t)i + y(t)j + z(t)k (t I), (2) Då t genomlöper intervallet I = (t, t ), så genomlöper P (t) = (x(t), y(t), z(t)) punktmängden i xyz-rummet (en rymdkurva). Om parameterintervallet I = (t, t ) har ändpunkterna t = a t = b, så kan parametern t genomlöpa intervallet I på två sätt: t : a b eller t : b a genom detta får vi två olika orienteringar av kurvan. Vid orientering t : a b är P (a) begynnelsepunkt P (b) slutpunkt på kurvan. Vid orientering t : b a är P (b) begynnelsepunkt P (a) slutpunkt. Om P (a) = P (b), så är kurvan sluten. EXEMPEL Ellipsbåge Vektorfunktionen r(t) = [a cos t, b sin t], t : π ger en orienterad ellipsbåge (i xy-planet). Parameterintervallet I = (t, t ) har ändpunkterna t = a = π t = b =. Vid sådan orientering är P (π) = (a cos π, b sin π) = ( a, )
2 begynnelsepunkt slutpunkt på den orienterad ellipsbågen. P () = (a cos, b sin ) = (a, ) Kurvintegralens definition Om är en orienterad kurva med parameterekvationen P = P (t) (x = x(t), y = y(t), z = z(t)) t I = (t, t ), t : t t, (3) f(p ) g(p ) är reela (eller komplexa) funktioner, definierade på, så definieras kurvintegralen f(p )dg(p ) f(p )dg(p ) = t=t t=t f(p (t))dg(p (t)), (4) (om integralen i högerledet existerar). En kurvintegral av vektorfunktionen F(r) definieras eller komponentvis b (F dx + F 2 dy + F 3 dz) = a F(r(t)) dr dt dt, b a (F x + F 2 y + F 3 z )dt ( = d/dt). EXEMPEL 2 En kurvintegral i planet Beräkna kurvintegralen när F(r) = [ y, xy] är (orienterade) cirkelbågen från begynnelsepunkten (, ) till slutpunkten (, ). Lösning. En cirkel med radien (enhetscirkeln) i xy-planet på parameterform ges av vektorfunktionen r(t) = [cos t, sin t] = cos ti + sin tj, (5) r(t) = [cos t, sin t], t : π/2 ger en orienterad cirkelbåge. Parameterintervallet I = (t, t ) har ändpunkterna t = t = π/2. Vid sådan orientering är P () = (cos, b sin ) = (, ) begynnelsepunkt P (π/2) = (a cos π/2, b sin π/2) = (, )
3 slutpunkt på den orienterad cirkelbågen. Vi har x = cos t, y = sin t kan skriva vektorfunktionen F(r) på enhetscirkeln Bestäm F(r(t)) = y(t)i x(t)y(t)j = [ sin t, cos t sin t] = sin ti cos t sin tj. beräkna kurvintegralen: π/2 π/2 (sin 2 t cos 2 t sin t)dt = r (t) = sin ti + cos tj ( sin ti cos t sin tj) ( sin ti + cos tj)dt = π/2 π/2 (/2) [( cos 2t)dt [(/2)( cos 2t) cos 2 t sin t]dt = π/2 cos 2 td cos t = π 4 3. EXEMPEL 3 Kurvintegralen beror av kurvans form (en sluten kurva: samma ändpunkterna) Beräkna kurvintegralerna för F(r) = [5z, xy, x 2 z] när kurvorna 2 har samma begynnelsepunkten A : (,, ) samma slutpunkten B : (,, ): är ett intervall på räta linjen 2 är en parabolbåge r (t) = [t, t, t] = ti + tj + tk, t, r 2 (t) = [t, t, t 2 ] = ti + tj + t 2 k, t. Lösning. Vi har F(r (t)) = 5ti + t 2 j + t 3 k, r (t) = i + j + j. Då kan man beräkna kurvintegralen längs Kurvintegralen längs 2 är F(r (t)) r (t)dt = (5t + t 2 + t 3 )dt = = F(r 2 (t)) r 2(t)dt =
4 Vi har fåt två olika värden. SATS 9.2. Kurvintegralen (5t 2 + t 2 + 2t 5 )dt = = (F dx + F 2 dy + F 3 dz), där F, F 2, F 3 är kontinuerliga funktioner på mängden D i rummet, är oberoende av vägen i D, om endast om F = [F, F 2, F 3 ] är gradienten av en (deriverbar skalär) funktion f = f(x, y, z) i D (F säges vara ett gradientfält, f kallas en skalär potential till F): F = grad f; komponentvis F = x, F 2 = y, F 3 = z. Om F är ett gradientfält, f är en skalär potential till F då f(b) f(a), där A är begynnelsepunkt B slutpunkt på. kurvintegralen EXEMPEL 4 Kurvintegralen oberoende av vägen Visa att kurvintegralen (2xdx + 2ydy + 4zdz) är oberoende av vägen på varje mängd i rummet beräkna kurvintegralen när kurvan har begynnelsepunkten A : (,, ) slutpunkten B : (2, 2, 2). Lösning. Vi har F = [2x, 2y, 4z] = 2xi + 2yj + 4zk = grad f, f = x 2 + y 2 + 2z 2. Enligt SATS 9.2., kurvintegralen är oberoende av vägen på varje mängd i rummet. Då kan man beräkna kurvintegralen genom att välja en rät linje sådan att begynnelsepunkten slutpunkten ligger på den här linjen: r(t) = [t, t, t] = t(i + j + k), t 2, begynnelsepunkten A : (,, ), t =, slutpunkten B : (2, 2, 2), t = 2. Vi får r (t) = i + j + j. (2xdx + 2ydy + 4zdz) = F(r) r = 2t + 2t + 4t = 8t 2 F(r(t)) r (t)dt = 2 8tdt = 6.
5 EXEMPEL 5 Kurvintegralen oberoende av vägen. Potentialen Beräkna kurvintegralen I = från A : (,, 2) till B : (,, 7): Lösning. Om F har potentialen f, Vi får Då F = grad f : x = F = 3x 2, f = x 3 + g(y, z), (3x 2 dx + 2yzdy + y 2 dz) y = F 2 = 2yz, z = F 3 = y 2. f y = g y = 2yz, g = y 2 z + h(z), f z = y 2 + h = y 2, h =, h =, f(x, y, z) = x 3 + y 2 z I = f(,, 7) f(,, 2) = + 7 ( + 2) = 6. SATS Kurvintegralen (F dx + F 2 dy + F 3 dz) där F, F 2, F 3 är kontinuerliga funktioner på mängden D i rummet, är oberoende av vägen i D, om endast om längs varje sluten kurva i D. Differentialformen F dx + F 2 dy + F 3 dz kallas exakt i ett öppet område D om det i D existerar en deriverbar funktion f sådan att Man kan skriva där SATS df = dx + dy + x y z dz. F dx + F 2 dy + F 3 dz = df, F = x, F 2 = y, F 3 = z. Betrakta kurvintegralen (F dx + F 2 dy + F 3 dz),
6 där F, F 2, F 3 är deriverbara funktioner i ett öppet område D i rummet. Om kurvintegralen är oberoende av vägen i D (differentialformen F dx + F 2 dy + F 3 dz är exakt), då komponentvis, Om curl F = i D; F 3 y = F 2 z, F z = F 3 x, F 2 x = F y. curl F = i D; D är ett enkelt sammanhängade område, så är kurvintegralen oberoende av vägen i D. Antag att F, F 2, F 3 är deriverbara funktioner av tre variabler x, y, z i ett öppet, enkelt sammanhängade område D. Då, enligt SATS 9.2.3, är följande villkor ekvivalenta: (i.3) Differentialformen F dx + F 2 dy + F 3 dz är exakt. (ii.3) F 3 y = F 2 z, F z = F 3 x, F 2 x = F y. (iii.3) (F dx + F 2 dy + F 3 dz) = för varje sluten kurva i D. (iv.3) L (F dx+f 2 dy+f 3 dz) beror bara av begynnelsepunkten slutpunkten på kurvan L i D, men är i övrigt oberoende av vägen. Antag att F F 2 är deriverbara funktioner av två, variabler x, y i ett öppet, enkelt sammanhängade område D. Då, enligt SATS 9.2.3, är följande villkor ekvivalenta: (i.2) Differentialformen F dx + F 2 dy är exakt. (ii.2) F 2 x = F y. (iii.2) F dx + F 2 dy = för varje sluten kurva i D. (iv.2) L F dx + F 2 dy beror bara av begynnelsepunkten slutpunkten på kurvan L i D, men är i övrigt oberoende av vägen. Greens formel i planet Låt vara en sluten kurva i xy-planet, som inte skär sig själv genomlöpes precis ett varv i positivt led (moturs). Antag att F (x, y) F 2 (x, y) är deriverbara funktioner (har kontinuerliga partiella derivator F y F 2 ) i det slutna begränsade område som omslutes x av. Då är ( F 2 x F ) dxdy = (F dx + F 2 dy). y
7 Man kan skriva Greens formel med hjälp av rotation (curl F) kdxdy = F dr. EXEMPEL 6 Greens formel i planet Använd Greens formel när F = y 2 7y, F 2 = 2xy + 2x är enhetscirkeln : x 2 + y 2 = ett varv i positivt led. Lösning. Beräkna dubbelintegralen ( F 2 x F ) dxdy = y [(2y + 2) (2y 7)]dxdy = 9 Beräkna motsvarande kurvintegralen. Enhetscirkeln på parameterform ges av På r(t) = [cos t, sin t] = cos ti + sin tj. r (t) = sin ti + cos tj. dxdy = 9π. F = y 2 7y = sin 2 t 7 sin t, F 2 = 2xy + 2x = 2 cos t sin t + 2 cos t, vi får att kurvintegralen i Greens formel är lika med dubbelintegralen: F(r) dr = 2π [(sin 2 t 7 sin t)( sin t)+(2 cos t sin t+2 cos t) cos t]dt = +7π ++2π = 9π. EXEMPEL 7 Arean av ett område i planet Genom insättning F =, F 2 = x (eller F = y, F 2 = ) får vi dxdy = xdy, Då är arean av begränsade området som omslutes av A = 2 (xdy ydx). dxdy = ydx. För ellipsen (x/a) 2 + (y/b) 2 = (parameterekvationerna är x = a cos t, y = b sin t) har vi Då är arean av ellipsen A = 2 (xdy ydx) = 2 2π x = a sin t, y = b cos t, (xy yx )dt = 2 2π [ab cos 2 t ( ab sin 2 t)]dt = πab.
8 EXEMPEL 8 Antag att w = w(x, y) är en deriverbar funktion sätt F = w y, F 2 = w x Då kurvintegralen blir (F dx + F 2 dy) = F 2 x F y = 2 w x w y 2 = 2 w. (F x + F 2 y )ds = ( w y x + w x y )ds = (grad w) nds där n är en normalvektor till eftersom n är vinkelrät mot tangentvektor till r (s) = x i + y j : r (s) n =. Enligt definitionen, är grad w n normalderivatan av w (riktningsderivatan av w i riktningen n), w n, Då får vi dubbelintegralen av Laplaces operator w = 2 w: 2 wdxdy = w n ds.
9 POBLEM 9.. Beräkna b a F(r(t)) dr dt dt där F = [y 2, x 2 ] är ett intervall på räta linjen från (, ) till (, 4). Lösning. Den räta linjen ges av parameterekvationerna r(t) = [t, 4t] = ti + 4tj, t, På r (t) = i + 4j. F(r(t)) = 6t 2 i t 2 j, Kurvintegralen längs är F(r(t)) r (t)dt = (6t 2 4t 2 )dt = 4. POBLEM 9..5 Beräkna F(r) dr, där F = [(x y) 2, (y x) 2 ] : xy =, x 4. Lösning. ges av parameterekvationerna r(t) = [t, /t] = ti + /tj, t 4, På r (t) = i /t 2 j. F(r(t)) = (t /t) 2 (i + j). Kurvintegralen längs är F(r) dr = 4 F(r(t)) r (t)dt = 4 [(t /t) 2 ( /t 2 )]dt = 4 [t 2 +3/t 2 /t 4 3]dt = POBLEM Beräkna kurvintegralen från A : (, π) till B : (3, π/2). I = e x (cos ydx sin ydy)
10 Lösning. Om F har en potential f, dåfår man F = grad f : x = F = e x cos y, y = F 2 = e x sin y. Bestäm primitiva funktionen, f = e x cos y dx = e x cos y + g(y), f y = dg dy = ex sin y, thus g = const =, potentialen Differentialformen f(x, y) = e x cos y. e x cos ydx e x sin ydy = df = d(e x cos y) är exakt. Enligt SATS 9.2., kurvintegralen I är oberoende av vägen I = f(3, π/2) f(, π) = e 3 ( ) =. POBLEM Beräkna kurvintegralen I = (3z 2 dx + 6xzdz) från A : (, 5) till B : (4, 3). Lösning. Om F har en potential f, dåfår man F = grad f : Bestäm primitiva funktionen, x = F = 3z 2, z = F 2 = 6xz. f = f(x, z) = 3z 2 dx = 3xz 2 + g(z), f z = dg dz = 6xz, thus g = const =, potentialen Differentialformen f(x, z) = 3xz 2. 3z 2 dx + 6xzdz = df = d(3xz 2 ) är exakt. Enligt SATS 9.2., kurvintegralen I är oberoende av vägen I = f(4, 3) f(, 5) = 2 9 ( 3) 25 = 83. POBLEM 9.2. Visa att differentialformen 2xy 2 dx + 2x 2 ydx + dz är exakt beräkna kurvintegralen från A : (,, ) till B : (a, b, c).
11 Lösning. Vi testar differentialvillkoren (ii.3) Vi har () y = (2x2 y) z F 3 y = F 2 z, F z = F 3 x, F 2 x = F y. =, differentialformen är exakt. Nu, (2xy 2 ) z x = F = 2xy 2, = () x =, (2x 2 y) x = (2xy2 ) y x = F 2 = 2x 2 y z = F 3 =. = 4xy, Bestäm primitiva funktionen f: f = f(x, y, z) = 2xy 2 dx = x 2 y 2 + g(y, z), f y = g y = 2x 2 y, g = 2x 2 ydy = x 2 y 2 + h(z), Då B A f z = dh dz =, h(z) = z. f(x, y, z) = x 2 y 2 + z (2xy 2 dx + 2x 2 ydx + dz) = f(a, b, c) f(,, ) = a 2 b 2 + c. POBLEM 9.4. Använd Greens formel i planet för att beräkna kurvintegralen I = b a F(r(t)) dr dt dt, där F = [x 2 e y, y 2 e x ] är rektangeln med hörnen i punkterna (, ), (2, ), (2, 3) (, 3) Lösning. Vi har F = x 2 e y, F 2 = y 2 e x, F 2 x = y2 e x, F y = x2 e y. Beräkna dubbelintegralen över rektangeln som omslutes av : ( F 2 x F ) dxdy = y (y 2 e x x 2 e y )dxdy = dx y 2 e x dy dx x 2 e y dy = e x dx y 2 dy x 2 dx e y dy = 9(e 2 ) 8 3 (e3 ). Vi testar Greens formel beräknar kurvintegralen längs I = 2 F (x, )dx + 3 F 2 (2, y)dy 2 F (x, 3)dx 3 F 2 (, y)dy
12 2 POBLEM (x 2 x 2 e 3 )dx + 3 (y 2 e 2 y 2 )dy = 9(e 2 ) 8 3 (e3 ). Använd Greens formel i planet för att beräkna kurvintegralen där F = [y, x] är x 2 + y 2 = /4. Lösning. Vi har F = y, F 2 = x, I = F(r) dr, F 2 x =, F y =. Beräkna dubbelintegralen över cirkeln av radien /2 som omslutes av : ( F 2 x F ) dxdy = y ( )dxdy = 2 dxdy = ( 2)π(/2) 2 = π/2. POBLEM Beräkna kurvintegralen w n ds längs randkurvan (gränsen) av rektangeln : x 2, y for w = e x + e y. Lösning. Vi har 2 w = w = e x + e y Då 2 wdxdy = 2 2 e x dx dy + dx e y dy = = (e 2 ) + 2(e ) = e 2 + 2e 2. w n ds = e2 + 2e 2.
AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats
AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta på parameterform ges av tre ekvationer x = x(u, v), y = y(u, v), z =
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merPrimitiva funktioner i flerdim
Analys 36 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Primitiva funktioner i flerdim Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Primitiva funktioner i flerdim 1 (11) 1 Introduktion Att bestämma
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merMatematisk fysik I. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. Tel Karlstads Universitet
Matematisk fysik I Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-700856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2003 Innehåll Grundläggande begrepp av vektoranalys
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola Datum: -- kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel 3-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs mer23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merOmtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys
Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merVektoranalys, snabbrepetition. Vektorfält
Vektorfält Ett vektorfält F är en funktion F : R 2 R 2. (Eller mer allmänt en funktion R n R n.) Observera att F(x, y) har två komponenter, som båda beror av x och y. Låt oss kalla dessa komponenter för
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Läs merBERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER)
BERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER) Låt FF = (PP(xx, yy, z, QQ(xx, yy, z, RR(xx, yy, z) vara ett kontinuerligt vektorfält ( d v s en vektorfunktion) definierat i en öppen mängd Ω. Låt γ vara
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merTMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv
Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merTATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.
TATA Lösningar /8/.. Låt vara den del av x + y + z innanför cylindern x + y. Inför cylinderkoordinater. Parametrisera med ortsvektorn r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ som man kan skriva som r(ρ, φ ρ ˆρ + ρ
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs mer2.5 Partiella derivator av högre ordning.
2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,
Läs merx (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full
Läs merKontrollskrivning 1A
Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen
Läs merFör studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs merOm Gauss skosnöreformel och planimetrar
Om Gauss skosnöreformel och planimetrar Anders Källén MatematikCentrum TH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi härleda en formel för arean av ett område som innesluts av ett
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs mer18 Kurvintegraler Greens formel och potential
Nr 8, 6 april -5, Amelia 8 Kurvintegraler Greens formel och potential 8. Greens formel Vi studerar i detta avsnitt kurvor i planet, i R. En kurvintegral är som vi sett en integral på en kurva i planet.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merTavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén
Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1 Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs mer( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).
KTH matematik Tentamen i SF66 Flervariabelanalys den 7 juni kl 8.3. Tillåtet hjälpmedel: Endast Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar krävs för
Läs merFigur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merHjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl
MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 2-3-9 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel. 73-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C
Läs merPartiella differentialekvationer av första ordningen
Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs mer1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.
Lektion 5 Innehål 1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.7) Innehål 1. Gradient och riktningsderivata
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs merTMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merLäsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed.
Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed. Del 2 (funktioner av flera variabler). Omfattning: Kapitel 8.2, 8.3 t.o.m. s 497, 8.4, endast båglängd, 8.5 tom s. 506, 10.1, 10.5,
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 28-8-3 kl. 8.32.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Felix Held, telefon: 6792 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ej räknedosa För
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2 205-0-05 kl. 4.00-8.00 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 0703 088 304 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Löningförlag Fredag 8 juni 8 8:-3: SF74 Flervariabelanaly Inga hjälpmedel är tillåtna Ma: 4 poäng (4 poäng Rita följande mängder i R : (a A {(, y R ma(, y } (b B {(, y R + y 4 4 4y y } (c C {(,
Läs merLektionsblad 9, tis 16/2 2010
Lektionsblad 9, tis 16/2 2010 Först en gång till optimering med bivillkor. Lös uppgifterna 4.25 (om du har problem med denna väldigt typiska uppgift, så studera även lösningen till 4.24), 4.26 (nästan
Läs merdx x2 y 2 x 2 y Q = 2 x 2 y dy, P dx + Qdy. Innan vi kan använda t.ex. Greens formel så måste vi beräkna de vanliga partiella derivatorna.
Uppgift Beräkna kurvintegralen + d där är kurvan = från (, ) till (4, ). Lösning Här har vi ett fält F =(P, Q), där d, () så integralen är på formen P = +, Q = d, P d + Qd. Innan vi kan använda t.e. Greens
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merOutline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09
Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se 7 oktober 2009 1 Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht09
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merTentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Läs merFlervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2010 Kurslitteratur Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Robert A. Adams, alculus: a complete course, 6th ed., Addison Wesley,
Läs merLösningar till Matematisk analys 4,
Lösningar till Matematisk analys 4, 05054. a Sätt a k k + k +, b k k e /k Serien k a k är positiv. Vi har att och c k k! 4 k k! för k,,... a k k + k + k k för stora k k och mera precist att / a k k k +
Läs merVektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys II Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 9 september 215 Översikt 1 Kurvor och ytor, linje- och yt-mått 2 Integraler, Kap. 1.3 Linjeintegraler Ytintegraler Volymsintegraler
Läs mer1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,
Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +
Läs mer1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs mer