SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A"

Transkript

1 Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y 7}. (a) Avgör vilket eller vilka av områdena som är öppna. ( p) (b) Avgör vilket eller vilka av områdena som är slutna. ( p) (c) Ge ett exempel på en funktion som är kontinuerlig på något av de tre områdena men som varken har ett största eller ett minsta värde i området. ( p) (d) Är det något av områdena som är sådant att varje funktion som är kontinuerlig i området måste ha ett största och ett minsta värde i området? ( p) Lösningsförslag. (a) Det första området är öppet, eftersom randpunkterna till området är kurvorna x y = 4 och x y = 4 och inga punkter på dessa kurvor tillhör området på grund av den strikta olikheten. Båda de andra områdena innehåller randpunkter, tex är (, ) en randpunkt i både D och D 3. (b) D är inte slutet eftersom inga av randpunkterna tillhör området. Både D och D 3 är slutna eftersom de innehåller sina randpunkter, som är linjerna x + y = och x + y = för D och ellipsen 4x + 3y = 7 för D 3. (c) Eftersom D är öppet och obegränsat kan vi hitta en funktion som är kontinuerlig på D men som går mot ± när vi närmar oss randen. En sådan funktion är f(x, y) = x som går mot ± på linjen (x, y) = (t, t) som ligger helt i D. Området D är obegränsat och därmed kan vi hitta kontinuerliga funktioner som är obegränsade på D, exempelvis funktionen f(x, y) = x. (d) Området D 3 är slutet och begränsat och därmed finns enligt sats i boken alltid ett största och ett minsta värde för en funktion som är kontinuerlig på området.

2 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Svar. (a) D är öppet, men inte D och D 3. (b) D och D 3 är slutna, men inte D. (c) f(x, y) = x är kontinuerlig på D men saknar största och minsta värde. (d) D 3 har egenskapen att varje kontinuerlig funktion på D 3 måste ha ett största och ett minsta värde i D 3.

3 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Den vektorvärda funktionen f definieras genom f(x, y, z) = (x y, (y z), (z x) ). (a) Beräkna funktionalmatrisen f. ( p) (b) Beräkna funktionaldeterminanten d(f). ( p) d(x,y,z) (c) Vilken slutsats kan man dra från beräkningen i (b) när det gäller att använda f vid substitution i trippelintegraler? ( p) Lösningsförslag. (a) f = f x f x f 3 x f f f 3 f z f z f 3 z = y z y + z x z x + z (b) Vi kan beräkna determinanten av f exempelvis genom att genomföra radoperationer. Vi får det y z y + z = det y z y + z x z x + z x z x + z = (y z)(x z) det = (y z)(x z) det = där vi i första steget lagt z x gånger den första raden till den tredje och i det sista steget dragit den andra från den tredje. Determinanten är noll i och med att den reducerade matrisen har en nollrad. Därmed är funktionaldeterminanten noll. (c) Eftersom funktionaldeterminanten, eller Jacobideterminanten, är noll kan funktionen inte användas för substitution i trippelintegraler. Den avbildar områden alla områden i rummet på områden med volym noll. Svar. x z (a) f = y z y + z x + z d(f) (b) = d(x,y,z) (c) Vi kan inte använda f till variabelbyte i trippelintegraler eftersom funktionaldeterminanten är noll. 3

4 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Betrakta området D som ges av kvadraten med hörn i punkterna (, ), (, ), (, ) och (, ). För att beräkna integralen I = D x y dxdy är det lämpligt att göra ett variabelbyte så att u = x + y och v = x y. Utför detta variabelbyte och beräkna därigenom integralens värde. (4 p) Lösningsförslag. Vi kan först beräkna Jacobideterminanten. Vi har d(u, v) d(x, y) = u u x = = ( ) =. v x v Därmer har vi att ( ) d(x, y) d(u, v) d(u, v) = = d(x, y). Vi behöver finna integrationsgränserna i de nya variablerna. Linjerna som begränsar kvadraten är y = x, y = x, y = x, y = x. I de nya variablerna blir det v =, u =, u = och v =. Alltså kan vi beräkna vår integral som d(x, y) x y dxdy = uv dudv D = d(u, v) Vi beräknar de båda enkelitegralerna som [ t dt = t / dt = 3 t3/ och vi får I = ( uv dudv = ] ( ) ( u du = 3 3 = ) = v dv ). Svar. Integralens värde är 6/9. 4

5 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL B 4. Bestäm största och minsta värde för funktionen f(x, y) = 3xy i det kompakta området som ges av olikheten x + xy + y. (4 p) Lösningsförslag. Eftersom området är slutet och begränsat finns säkert ett största och ett minsta värde för den kontinuerliga funktionen f(x, y) = 3xy. Eftersom randen är en sluten C -kurva ska vi undersöka inre stationära punkter och sedan randpunkter med hjälp av Lagranges metod. Gradienten för f(x, y) ges av grad f(x, y) = (3y, 3x) och det finns bara en stationär punkt som ges av x = y =. Denna punkt ligger i det inre av området och värdet för funktionen är f(, ) =. Lagranges metod går ut på att se när gradienten till funktionen är parallell med gradienten till bivillkoret. Vi skriver bivillkoret som g(x, y) = där g(x, y) = x + xy + y och får gradienten grad g(x, y) = (x+y, x+y). Vi kan se när gradienterna är parallella genom att beräkna determinanten [ ] 3y x + y det = 3y(x + y) 3x(x + y) = 6(y 3x x + y x ) = 6(y x)(y + x). Därmed är gradienterna parallella precis när y = ±x. Om x = y ger bivillkoret att x + x + x =, dvs x = ±/ 3 och f(x, x) = 3x =. Om x = y ger bivillkoret x x + x =, dvs x = ± och f(x, x) = 3x = 3. Slutligen jämför vi de tre kandidaterna till största och minsta värden för funktionen och finner att 3 är det minsta värdet och antas i punkterna (, ) och (, ). Det största värdet är och antas i punkterna (/ 3, / 3) och ( / 3, / 3). Svar. Största värdet är f(, ) = f(, ) = 3 och minsta värdet är f(/ 3, / 3) = f( / 3, / 3) =. 5

6 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Beräkna integralen + x3 dxdy D där D är området som ges av olikheterna x och y x. (4 p) Lösningsförslag. Vi kan beräkna integralen genom upprepad integration och vi behöver välja vilken variabel vi ska integrera med avseende på först. Vi ställer upp båda möjligheterna ( ) x ( 4 ) + x3 dxdy = + x3 dy dx = + x3 dx dy y D Den andra versionen är svår i och med att vi inte känner någon primitiv funktion till + x3. Däremot kan vi beräkna integralen genom den första versionen som ( ) x + x3 dy dx = = ( [ y ] ) x + x 3 dx ( x ) + x 3 = ( 9 dx = [ 3 ] 3 ( + x3 ) 3 ( + 8) 3 ( + ) 3 ) = 9 (7 ) = 5 9 Svar. D + x3 dxdy =

7 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Betrakta grafytan z = f(x, y) till funktionen f(x, y) = x y. (a) Vilket blir funktionens naturliga definitionsområde? ( p) (b) Bestäm ett uttryck för den normaliserade normalvektorn N längs grafen om vi antar att N har en positiv z-komponent. (3 p) Lösningsförslag. (a) Kvadratroten är definierad för icke-negativa tal och därför ges det naturliga definitionsområdet av x y, dvs x +y. Detta är en ellips med halvaxlarna och. (b) Vi kan bilda funktionen g(x, y, z) = z f(x, y) och funktionsgrafen är då lösningen till g(x, y, z) = och dess normalvektor ges av gradienten till g(x, y, z). Vi beräknar gradienten som grad g(x, y, z) = ( f x, f, ) ( = 4x ) x y, y x y,. För att kunna normalisera denna behöver vi beräkna beloppet som ges av kvadratroten ur denna vektor skalärmultiplicerad med sig själv, dvs av (x) + y x y + = x + x y. När vi delar normalvektorn med sin längd får vi den normaliserade normalvektorn N = ( x x +, y x +, x y x + ). Svar. (a) Funktionens definitionsområde ges av ellipsskivan ( x + y. x (b) Den normaliserade normalvektorn är N =, y, x + x + komponenten ska vara positiv. x y x + ) om z- 7

8 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL C 7. Avgör om den generaliserade integralen R x dxdy ( + x )(x + y ) 3/ är konvergent eller divergent. (4 p) Lösningsförslag. Integranden är positiv i hela R och vi kan jämföra den med andra integrander som är större för att avgöra konvergens. Vi har två orsaker som kan orsaka divergens, dels att området är obegränsat, dels att integranden är obegränsad nära origo. Vi har att x ( + x )(x + y ) 3/ (x + y ) 3/ och vi kan integrera över ett område D R mellan cirklarna med centrum i origo och radier och R, där < R. Vi får x DR dxdy dxdy ( + x )(x + y ) 3/ D R (x + y ) 3/ Integralen till höger kan vi beräkna genom att införa polära koordinater och vi får dxdy = D R (x + y ) 3/ C π R = π r r drdθ 3 dθ R [ dr = π ] R ( = π ) π r r R oberoende av R. Därmed är integralen konvergent över området x + y i R. Vi ser sedan på området som ges av enhetscirkeln. Där har vi och vi får x dxdy ( + x )(x + y ) 3/ = där vi använt oss av att π x ( + x )(x + y ) 3/ x (x + y ) 3/ π π C x dxdy (x + y ) 3/ r cos θ r 3 r drdθ = π π cos θ dθ dr = π [r] = π cos θ dθ = cos θ + sin θ dθ = dθ = [θ]π = π. Sammantaget får vi att integralen är konvergent och dess värde är mindre än 3π. Svar. Integralen är konvergent. 8

9 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Betrakta kurvintegralen γ x + y där γ är den positivt orienterade slutna kurva som innesluter det område som i polära koordinater beskrivs av olikheterna r och θ π. (a) Beräkna kurvintegralens värde genom parametrisering av kurvan γ. ( p) (b) Beräkna kurvintegralens värde genom användning av Greens formel. ( p) Lösningsförslag. (a) Vi delar upp kurvan i fyra delar, två cirkelbågar γ γ 3 med radie respektive och två linjestycken γ och γ 4 parallella med x-axeln respektive y-axeln. Vi får γ som (x, y) = (sin t, cos t), t π/ och = γ x + y π/ cos t(cos t) dt sin t( sin t) dt = Vidare ges γ 3 av (x, y) = ( cos t, sin t), t π/ och = γ 3 x + y π/ sin t( sin t) dt cos t( cos t) dt För γ har vi (x, y) = (t, ), t och = γ x + y π/ dt t dt =. och γ 4 ger (x, y) = (, t), t vilket ger ( = γ 4 x + y π/ = π/ π/ ( t) dt ( ) dt =. Sammantaget får vi = π x + y + π + = π. (b) Greens formel säger att γ γ P dx + Q dy = D 9 ( Q x P ) dxdy dt = π. dt = π.

10 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen I vårt fall har vi P = Q x P y och Q = x vilket ger x +y x +y ( = x + y x ) x ( ) 3 x + y ( x + y y ) y) ( ) 3 x + y = x + y + x + y ( ) 3 = x + y x + y. D Därmed kan vi beräkna kurvintergralen som π/ x + y dxdy = vilket stämmer med beräkningen ovan. r r drdθ = π dr = π ( ) = π, Svar. Kurvintegralens värde är för båda sätten att beräkna den. γ x + y = π

11 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Undersök vilka värden sin α + sin β + sin γ kan anta när α, β och γ är vinklarna i en triangel. (4 p) Lösningsförslag. Vi betraktar funktionen f(x, y, z) = sin x + sin y + sin z med bivillkoren x + y + z = π och x, y, z >. Bivillkoren ger ett område som är begränsat, men inte slutet. Det är klart att f(x, y, z) 3 eftersom < sin x om < x < π, så funktionen har en övre och en undre begränsning. Vi söker först stationära punkter i det inre under bivillkoret g(x, y, z) = x+y+z π. Vi har att grad f(x, y, z) = (cos x, cos y, cos z) och denna är parallell med grad g(x, y, z) = (,, ) bara om cos x = cos y = cos z, vilket ger x = y = z = π/3 på grund av bivillkoret. I denna punkt har vi f( π, π, π) = Sedan betraktar vi randen till området i planet x + y + z = π. Denna ges av x =, y =, respektive z =. Av symmetri räcker det att betrakta en av dessa, säg z =. Där har vi f(x, y, ) = f(x, π x, ) = sin x + sin(π x) + sin = sin x. Eftersom x π antar sin x alla värden mellan och på randen. När vi jämför med värdet i den stationära punkten i det inre får vi < 3 3 eftersom 4 < 7. Alltså är det största värdet funktionen antar 3 3/. 4 Det återstår att se att funktionen kan anta alla värden i intervallet < t 3 3/. Det räcker att visa att det går att komma godtyckligt nära. Vi ser på f(t, t, π t) = sin t + sin(t) = sin t( + cos t) 4 sin t som kan bli godtyckligt nära noll för t >. Svar. sin α + sin β + sin γ kan anta alla värden i det halvöppna intervallet (, 3 3/ ].

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

Tentan , lösningar

Tentan , lösningar UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

Kontrollskrivning 1A

Kontrollskrivning 1A Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och

Läs mer

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

2.5 Partiella derivator av högre ordning.

2.5 Partiella derivator av högre ordning. 2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

23 Konservativa fält i R 3 och rotation Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast

Läs mer

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Dag 1 Avsnitt 6.1 Definition av trappfunktion och integral av en trappfunktion. Räkneregler (de är mer eller mindre uppenbara). Definition av Riemannintegralen

Läs mer

Inledning till flervariabelanalys

Inledning till flervariabelanalys Inledning till flervariabelanalys Martin Tamm Matematiska institutionen Stockholms universitet Fjärde upplagan 5 TILLÄMPNINGAR AV ENVARIABELANALYS PÅ PROBLEM I FLERA VARIABLER. Inledning etta kompendium

Läs mer

Flervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare

Flervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2010 Kurslitteratur Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Robert A. Adams, alculus: a complete course, 6th ed., Addison Wesley,

Läs mer

AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats

AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta på parameterform ges av tre ekvationer x = x(u, v), y = y(u, v), z =

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

18 Kurvintegraler Greens formel och potential

18 Kurvintegraler Greens formel och potential Nr 8, 6 april -5, Amelia 8 Kurvintegraler Greens formel och potential 8. Greens formel Vi studerar i detta avsnitt kurvor i planet, i R. En kurvintegral är som vi sett en integral på en kurva i planet.

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =

Läs mer

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Generaliserade integraler. Definitionen. J amf orelsesatser. Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Dagens amnen 1 / 10

Generaliserade integraler. Definitionen. J amf orelsesatser. Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Dagens amnen 1 / 10 Dagens ämnen 1 / 10 Dagens ämnen Generaliserade integraler. 1 / 10 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. 1 / 10 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. Jämförelsesatser. 1

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Lösningar till Matematisk analys

Lösningar till Matematisk analys Lösningar till Matematis analys 0820. Stationära punter. f (x, y) = 8x(x 2 y), f 2(x, y) = 4(y x 2 )). Vi ar alltså att f (x, y) = f 2(x, y) = 0 { x(x 2 y) = 0 y x 2 = 0. Första evationen ovan är uppfylld

Läs mer

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen MVE85 Flervariabelanalys 26-8-26 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Malik, telefon: anknytning 5325 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad,

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

SF1646, Analys i flera variabler, 6 hp, för CBIOT1 och CKEMV1, VT 2009.

SF1646, Analys i flera variabler, 6 hp, för CBIOT1 och CKEMV1, VT 2009. SF1646, Analys i flera variabler, 6 hp, för CBIOT1 och CKEMV1, VT 2009. Kurt Johansson, Inst för Matematik, KTH 2 mars 2009 Kursinnehåll: Grundläggande kurs i differential- och integralkalkyl i flera variabler.

Läs mer

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1) Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning

Läs mer

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Meningslöst nonsens. November 19, 2014 November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?

Läs mer

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera

Läs mer

15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar

15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar Nr 5, 9 april -5, Amelia 5 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volmberäkningar 5. Multipelintegraler et finns många tillämpningar där fler än tre variabler är aktuella. I statistik kan vi vilja undersöka

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2 Lektion 6, Flervariabelanals den februari 6.. Beräkna div F och rot F av F e + e. Divergensen och rotationen ges av div F F,,,, + + + +, rot F F,,,, e e e z, +,,,. rot F F,, e e e z z, z, z z z, + z, z

Läs mer

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se 7 oktober 2009 1 Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht09

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

20 Integralkalkyl i R 3

20 Integralkalkyl i R 3 Nr,9maj-,Amelia Integralkalkl i R 3 VI kommer härnäst att studera integraler av tredimensionella vektorfält: F(,, ) = (P (,, ), Q(,, ), R(,, )). Vi generaliserar kurvintegraler och Greens formel från R

Läs mer

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1 Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner

Läs mer

Generaliserade multipelintegraler. Komplement till Arne P.

Generaliserade multipelintegraler. Komplement till Arne P. Generaliserade multipelintegraler. Komplement till Arne P. Ju fler dimensioner, desto fler sätt kan integralerna konstra. Området kan vara obegränsat, t ex hela planet eller första kvadranten. Integranden

Läs mer

n 3 (2x 4) n 6 n? 3. Bestäm volymen av den kropp som ligger innanför ellipsoiden 5x 2 + 5y 2 + z 2 = 16 och ovanför konen z = 3x 2 + 3y 2.

n 3 (2x 4) n 6 n? 3. Bestäm volymen av den kropp som ligger innanför ellipsoiden 5x 2 + 5y 2 + z 2 = 16 och ovanför konen z = 3x 2 + 3y 2. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA128 Differential- och integralkalkyl III

Läs mer

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara

Läs mer

Studiehandledning. till 5B4004 ANALYS II. Distanskurs 10 poäng

Studiehandledning. till 5B4004 ANALYS II. Distanskurs 10 poäng Studiehandledning till 5B4004 ANALYS II Distanskurs 10 poäng Kurslitteratur: Persson/Böiers: Analys i flera variabler./ Studentlitteratur. Övningar till Analys i flera variabler/ Lunds Tekniska Högskola

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X 2010-03-19 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Lösningar till Matematisk analys IV,

Lösningar till Matematisk analys IV, Lösningar ill Maemaisk anals IV, 85. Vi börjar med kurvinegralen 5 5 dx + 5 x5 + x d. Sä P x, = 5 5 och Qx, = 5 x5 + x. Vi använder Greens formel för a beräkna den givna kurvinegralen. Efersom ine är en

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version

Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version Studiehandledning till MMA128 ifferential- och integralkalkyl III läsåret 2012/13 Version 2013-06-07 ursinformation för MMA128 Mål Avsikten med kursen MMA128 ifferential- och integralkalkyl III är att

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08 Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) 2009-03-2, kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Tentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Tentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 5--9 kl. 8.3.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Mattias Lennartsson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

Tentamen Lösningsförslag

Tentamen Lösningsförslag Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA7 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 8..8 4.3 7.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. Poängfördelning och

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008.

SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008. SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008. Anders Karlsson, Inst för Matematik, KTH January 22, 2008 Kursinnehåll: Grundläggande kurs i di erential- och integralkalkyl i era variabler.

Läs mer

Lektion 2. Funktioner av två eller flera variabler variabler

Lektion 2. Funktioner av två eller flera variabler variabler Lektion 2 Funktioner av två eller flera variabler variabler Innehål 1. Grundlägande topologi (10.1) 2. Funktioner av två variabler (12.1) Innehål 1. Grundlägande topologi (10.1) 2. Funktioner av två variabler

Läs mer

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 2-3-9 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel. 73-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Läs mer

Flervariabelövningar. Fredrik Bengzon 3 mars 2004

Flervariabelövningar. Fredrik Bengzon 3 mars 2004 Flervariabelövningar Fredrik Bengzon 3 mars 24 Innehåll 1 Partiella derivator och kedjeregeln 3 2 Gradient och riktningsderivata 4 3 Kurvor och ytor 5 4 Taylors formel 8 5 ivergens och rotation 9 6 Kurvintegralen

Läs mer