SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
|
|
- Johan Engström
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. el A på tentamen utgörs av de tre första uppgifterna. Till antalet erhållna poäng från del A adderas dina bonuspoäng. Poängsumman på del A kan dock som högst bli 2 poäng. Bonuspoängen beräknas automatiskt. Antal bonuspoäng framgår från resultatsidan. e tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del, som främst är till för de högre betygen. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B E Fx Total poäng varav från del 6 3 För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. et innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. Var god vänd!
2 SF626 Flervariabelanalys Tentamen EL A. Betrakta funktionen f(x, y) = + ( x) 2 + y. 2 (a) Beräkna gradienten till f i origo. ( p) (b) Vilken information om utseendet på grafen till f i en omgivning till origo ges av riktningen respektive längden av gradienten till f i origo? (2 p) (c) Har funktionen f ett minimum över hela xy-planet? ( p) 2. (a) Formulera Greens formel inklusive alla förutsättningar. (2 p) (b) Använd Greens formel för att beräkna kurvintegralen (x 2x 2 y) dx + (2xy 2 y) dy T där T är randen till parallelltrapetsen med hörn i punkterna (, ), (2, ), (2, 4) och (, 5) genomlöpt moturs. (2 p) 3. en plana kurva som ges av ekvationen 27y 2 = x(x 9) 2 kan parametriseras genom r(t) = (3t 2, 3t t 3 ) där t genomlöper hela den reella tallinjen. (a) Kontrollera att parameterkurvan är en del av kurvan, det vill säga att punkterna på den uppfyller ekvationen för. ( p) (b) Beräkna hastigheten r (t) för den parametriserade kurvan. ( p) (c) Ställ upp den integral i parametern t som beräknar längden av den ögla som ges av intervallet 3 t 3. Förenkla integranden så långt som möjligt. (2 p) Green s Theorem in the plane. 2
3 SF626 Flervariabelanalys Tentamen EL B 4. Beräkna dubbelintegralen xy dx dy där är området som i polära koordinater ges av olikheterna { r sin 2θ, θ π/2. (4 p) 5. (a) Låt f(x, y) vara en funktion av två variabler. Förklara vad som menas med att en punkt (x, y ) är en stationär punkt, en lokal maxpunkt, respektive en lokal minpunkt. (2 p) (b) Funktionen f(x, y) = e x x3 /3 y 2 har stationära punkter i (, ) och (, ). Avgör om dessa är lokala maxpunkter, lokala minpunkter, eller ingetdera. (2 p) 6. Kurvan är en sammanhängande del av hyperbeln xy = från punkten (, ) till punkten P. Bestäm P då (2x + y) dx + (x 8y) dy = 3. (4 p) 3 Var god vänd!
4 SF626 Flervariabelanalys Tentamen EL 7. Betrakta ekvationen F (x, y) = där F (x, y) = xe y + ye x. (a) Visa att det finns en funktion g med g() = sådan att F (x, g(x)) = för x nära. ( p) (b) Beräkna Taylorpolynomet av grad två för g vid x =. (3 p) 8. Funktionen f ges av f(t) = ( ) tx exp dxdy där t > och området definieras av att t x 2t och t y 2t. Visa att y 2 f(t) = t 2 för någon konstant. (4 p) 9. Låt g(r) vara en två gånger kontinuerligt deriverbar funktion med g (4) =. Beräkna integralen ( f xx + f yy) dxdy, där f(x, y) = g (x 2 + y 2 ) och är en cirkelskiva med radie 2 kring origo. (4 p) 4
5 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen EL A. Betrakta funktionen f(x, y) = + ( x) 2 + y. 2 (a) Beräkna gradienten till f i origo. ( p) (b) Vilken information om utseendet på grafen till f i en omgivning till origo ges av riktningen respektive längden av gradienten till f i origo? (2 p) (c) Har funktionen f ett minimum över hela xy-planet? ( p) Lösningsförslag. (a) Vi får de partiella derivatorna f x = 2(x ) f och ( + ( x) 2 + y 2 ) 2 y = 2y ( + ( x) 2 + y 2 ) 2 ) 2 vilket ger gradienten ( ) 2(x ) grad f(x, y) = ( + ( x) 2 + y 2 ), 2y. 2 ( + ( x) 2 + y 2 ) 2 När vi sätter in (x, y) = (, ) får vi ( ) 2( ) grad f(, ) = ( + ( ) ), 2 = 2 ( + ( ) ) 2 ( ) ( ) 2 4, = 2,. (b) Eftersom funktionen är differentierbar ger gradientens riktning information om i vilken riktning grafen lutar brantast uppåt. I det här fallet är det i positiv x-led. Beloppet av gradienten ger den maximala riktningsderivatan, som i det här fallet är /2. et betyder att grafen till f har ett tangentplan som lutar med en maximal riktningskoefficient /2 och detta är i positiv x-led. (c) Funktionen är positiv över hela planet, men kan komma godtyckligt nära. Alltså finns inget minimum över hela planet. Svar. (a) grad f(, ) = (/2, ). (c) Funktionen har inget globalt minimum över hela xy-planet.
6 2 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen (a) Formulera Greens formel inklusive alla förutsättningar. (2 p) (b) Använd Greens formel för att beräkna kurvintegralen (x 2x 2 y) dx + (2xy 2 y) dy T där T är randen till parallelltrapetsen med hörn i punkterna (, ), (2, ), (2, 4) och (, 5) genomlöpt moturs. (2 p) Lösningsförslag. (a) Om F = (P, Q) är ett kontinuerligt deriverbart vektorfält i planet och är ett begränsat område med en styckvis kontinuerligt deriverbar rand så gäller ( Q P dx + Q dy = x P ) dxdy y där är positivt orienterad med avseende på. (b) Enligt Greens formel kan kurvintegralen beräknas med hjälp av dubbelintegralen x (2xy2 y) y (x 2x2 y) dxdy = 2y 2 + 2x 2 dxdy där är den givna parallelltrapetsen. Vi kan beskriva med olikheterna x 2 och y 5 x/2, vilket gör att vi kan beräkna dubbelintegralen med upprepad integration. 2 5 x/2 2 ] 5 x/2 2y 2 + 2x 2 dxdy = 2 x 2 + y 2 dy dx = 2 [x 2 y + y3 dx 3 = 2 2 (5 x/2)x 2 (5 x/2)3 + 3 = 2 [ 5x 3 dx = 2 ( x4 8 ) = (5 x/2)4 6 ] = Svar. (b) Kurvintegralens värde är 437/3. Green s Theorem in the plane.
7 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen en plana kurva som ges av ekvationen 27y 2 = x(x 9) 2 kan parametriseras genom r(t) = (3t 2, 3t t 3 ) där t genomlöper hela den reella tallinjen. (a) Kontrollera att parameterkurvan är en del av kurvan, det vill säga att punkterna på den uppfyller ekvationen för. ( p) (b) Beräkna hastigheten r (t) för den parametriserade kurvan. ( p) (c) Ställ upp den integral i parametern t som beräknar längden av den ögla som ges av intervallet 3 t 3. Förenkla integranden så långt som möjligt. (2 p) Lösningsförslag. (a) Vi sätter in r(t) i ekvationen och får vänsterledet och högerledet 27(3t t 3 ) 2 = 27(9t 2 6t 4 + t 6 ) 3t 2 (3t 2 9) 2 = 3t 2 (9t 4 54t 2 + 8) = 27(t 6 6t 4 + 9t 2 ). Eftersom höger- och vänsterled är lika uppfyller parametriseringen ekvationen och parameterkurvan är en del av. (b) Hastigheten av parametriseringen ges av derivatan med avseende på t. Vi får r (t) = (6t, 3 3t 2 ). (c) För att beräkna längden av kurvan integrerar vi beloppet av r (t). Vi får beloppet som 3 3 r (t) = 3 (2t) 2 + ( t 2 ) 2 = 3 4t 2 + 2t 2 + t 4 = 3 + 2t 2 + t 4 = 3 ( + t 2 ) 2 = 3( + t 2 ). Längden av öglan blir r (t) dt = 3 3 3( + t 2 ) dt = 3 3 3( + t 2 ) dt = [ 3t + t 3] 3 3 = ( 3 3) ( 3 3) = 2 3. Svar. (b) r (t) = (6t, 3 3t 2 ). (c) Öglans längd är 2 3 längdenheter.
8 4 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen EL B 4. Beräkna dubbelintegralen xy dx dy där är området som i polära koordinater ges av olikheterna { r sin 2θ, θ π/2. (4 p) Lösningsförslag. När vi byter till polära koordinater får vi dxdy = r drdθ. Integranden blir xy = r 2 cos θ sin θ och gränserna ges av de givna olikheterna. Vi kan nu beräkna integralen med upprepad integration med början i r-led, π/2 sin 2θ π/2 [ ] r xy dx dy = r 3 4 r=sin 2θ sin θ cos θ drdθ = sin θ cos θ dθ 4 8 π/2 π/2 (sin 2θ) 4 sin 2θ = dθ = (sin 2θ) 5 dθ = ( cos 2 2θ) 2 sin 2θ dθ Vi kan göra variabelbytet t = cos 2θ och får dt = 2 sin 2θ dθ, vilket ger π/2 π/2 ( cos 2 2θ) 2 sin 2θ dθ = ( t 2 ) 2 dt = 2t 2 + t 4 dt 6 6 = ] [t 2t t5 = 2 ( ) = 2 ( ) = r= Svar. xy dxdy = 5
9 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen (a) Låt f(x, y) vara en funktion av två variabler. Förklara vad som menas med att en punkt (x, y ) är en stationär punkt, en lokal maxpunkt, respektive en lokal minpunkt. (2 p) (b) Funktionen f(x, y) = e x x3 /3 y 2 har stationära punkter i (, ) och (, ). Avgör om dessa är lokala maxpunkter, lokala minpunkter, eller ingetdera. (2 p) Lösningsförslag. (a) En stationär punkt är en punkt där gradienten är noll. En lokal maxpunkt är en punkt där funktionen antar ett värde som är maximalt i någon cirkelskiva med centrum i punkten. En lokal minpunkt är en punkt där funktionen antar ett värde som är minimalt i någon cirkelskiva med centrum i punkten. (b) För att avgöra om de är lokala max- eller minpunkter ser vi på andraderivatorna. Eftersom exponentialfunktionen är monotont växande kan vi lika gärna betrakta funktionen g(x, y) = x x 3 /3 y 2. en kvadratiska formen i Taylorpolynomet av grad två för g ges av matrisen 2 g x 2 2 g y x 2 g [ ] x y 2x 2 g = 2 y 2 I punkten (, ) får vi matrisen [ 2 ] 2 som är negativt definit, vilket visar att funktionen g har ett lokalt maximum i (, ). För punkten (, ) får vi matrisen [ ] 2 2 som är indefinit och punkten (, ) är en sadelpunkt för g och därmed varken lokal maxpunkt eller lokal minpunkt. Vi kan också arbeta direkt på funktionen f och får f x = ( x2 x x3 /3 y2 )e, f y /3 y2 = 2yex x3, 2 f x y = 2y( 2 f x2 x x3 /3 y2 )e, y = ( ( 2y)2 )e och när vi sätter in (, ) och (, ) får vi [ ] [ ] 2 2 e 2 2/3, respektive e 2 2/3 och samma analys som tidigare leder till samma slutsats. 2 f x = ( 2x + ( 2 x2 ) 2 x x3 /3 y2 )e x x3 /3 y2
10 6 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Svar. (b) (, ) är en lokal maxpunkt och (, ) är varken en lokal maxpunkt eller en lokal minpunkt.
11 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Kurvan är en sammanhängande del av hyperbeln xy = från punkten (, ) till punkten P. Bestäm P då (2x + y) dx + (x 8y) dy = 3. (4 p) Lösningsförslag. Låt den sökta punkten vara (a, /a). Vi kan parametrisera kurvan som r(t) = (t, /t) och får dr = (, /t 2 ) dt. ärmed ges integralen av a (2x + y) dx + (x 8y) dy = (2t + t ) dt + (t 8 t )( /t2 ) dt = a Villkoret leder till ekvationen 2t + 8t 3 dt = [ t 2 4t 2] a = a2 4a = 3 + a 2 4a 2. a 2 4a 2 = som kan skrivas om som a 4 4 = i och med att a inte kan vara noll. enna ekvation har fyra lösningar a = ± 2 och a = ±i 2. Vi söker en positiv reell lösning och får därmed a = 2. et betyder att den sökta punkten är P = ( 2, / 2). Ett alternativt sätt att lösa uppgiften är att se att fältet F(x, y) = (2x + y, x 8y) är konservativt och att vi kan hitta en potential genom att först integrera i x-led och får Φ(x, y) = x 2 + xy + g(y). erivering med avseende på y ger då x + g (y) = x 8y, och vi kan välja g(y) = 4y 2. Integralens värde kan nu beräknas som skillnaden i potential, dvs (2x + y) dx + (x 8y) dy = Φ(P ) Φ(, ). Eftersom Φ(, ) = = 2 söker vi P = (a, /a) med Φ(a, /a) =. etta villkor ger nu samma ekvation som tidigare för a. Svar. Punkten är P = ( 2, / 2).
12 8 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen EL 7. Betrakta ekvationen F (x, y) = där F (x, y) = xe y + ye x. (a) Visa att det finns en funktion g med g() = sådan att F (x, g(x)) = för x nära. ( p) (b) Beräkna Taylorpolynomet av grad två för g vid x =. (3 p) Lösningsförslag. (a) Vi kan använda implicita funktionssatsen för att visa detta. Villkoren för denna är uppfyllda eftersom de ingående funktionerna är kontinuerligt deriverbara. Vi behöver kontrollera att derivatan av F med avseende på y är nollskild för att vi ska kunna lösa ut y som en funktion av x. F y = xey + e x och därmed är F y (, ) = e + e = + =. Implicita funktionssatsen ger nu att vi kan lösa ut y som en funktion y = g(x) i närheten av origo. (b) För att beräkna Taylorpolynomet av grad två kan vi derivera identiteten F (x, g(x)) = med avseende på x. Vi får = d ( xe g(x) + g(x)e x) = e g(x) + xe g(x) g (x) + g (x)e x + g(x)e x dx och när vi sätter in x = får vi = + g () + vilket ger g () =. För att få andraderivatan deriverar vi en gång till och får = d ( e g(x) + xe g(x) g (x) + g (x)e x + g(x)e x) dx = e g(x) g (x) + e g(x) g (x) + xe g(x) (g (x)) 2 + xe g(x) g (x) När vi sätter in x = får vi + g (x)e x + g (x)e x + g (x)e x + g(x)e x. = g () + g () g () + g () + g () + vilket ger g () = 4g () = 4. Taylorpolynomet av grad två blir därmed p(x) = x + 4x 2 /2 = x + 2x 2. Svar. (b) Taylorpolynomet av grad två vid x = är p(x) = x + 2x 2.
13 8. Funktionen f ges av SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen f(t) = ( ) tx exp dxdy där t > och området definieras av att t x 2t och t y 2t. Visa att y 2 f(t) = t 2 för någon konstant. (4 p) Lösningsförslag. Vi genomför variabelbytet u = x/t, v = y/t och får Jacobimatrisen [ ] (u, v) /t (x, y) = /t och därmed dudv = /t 2 dxdy. Alltså har vi 2 2 ( ) t 2 u 2 f(t) = exp t 2 dudv = t 2 t 2 v 2 2 Vi har därmed visat att f(t) = t 2 där konstanten ges av 2 2 ( u ) = exp dudv. v 2 ( u ) exp dudv. v 2
14 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen π 9. Låt g(r) vara en två gånger kontinuerligt deriverbar funktion med g (4) =. Beräkna integralen ( f xx + f yy) dxdy, där f(x, y) = g (x 2 + y 2 ) och är en cirkelskiva med radie 2 kring origo. (4 p) Lösningsförslag. Eftersom förutsättningarna för divergenssatsen i planet är uppfyllda kan vi skriva om dubbelintegralen som en flödesintegral ( ) f xx + f yy dxdy = grad f dn. Vi får gradienten av f som grad f = ( 2xg ( x 2 + y 2), 2yg ( x 2 + y 2)). En normerad normalvektor till cirkeln ges av N(x, y) = (x, y) och därmed blir linjeintegralen 2 grad f dn = g (4)(2x, 2y) (/2x, /2y) ds = (x 2 +y 2 ) ds = 4 ds = 4 4π = 6π. Ett annat sätt att lösa uppgiften är att beräkna integranden f xx + f yy som f xx + f yy = 4g ( x 2 + y 2) + 4(x 2 + y 2 )g ( x 2 + y 2). Överång till polära koordinater ger ( ) 2π 2 f xx + f yy dxdy = 4g (r 2 ) + 4r 2 g (r 2 ) rdrdθ = 2π Variabelbytet t = r 2 ger sedan dt = 2r dr och 2 4g (r 2 ) + 4r 2 g (r 2 ) rdr = 4π 4 2 4g (r 2 ) + 4r 2 g (r 2 ) rdr. g (t) + tg (t) dt = 4π [tg (t)] 4 = 4π 4 4π = 6π. Svar. ( f xx + f yy) dxdy = 6π.
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merTentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merx (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom fx, y) lnx 1) + lny) xy x. a) Förklara
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merTentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl
Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA4 Flervariabelanalys E2 21-8-1 kl. 8. 12. Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anders Martinsson, telefon: 7 88 4 Hjälpmedel: bifogat
Läs merTMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.
Läs mer( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).
KTH matematik Tentamen i SF66 Flervariabelanalys den 7 juni kl 8.3. Tillåtet hjälpmedel: Endast Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar krävs för
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg
Läs mer= 0 genom att införa de nya
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merTMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola Datum: -- kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel 3-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merFigur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merx f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014
SF1626 Flervariabelanals Tentamen Måndagen den 26 maj, 214 Skrivtid: 14:-19: Tillåtna hjälpmedel: inga Eaminator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fra poäng. Del A
Läs merKontrollskrivning 1A
Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs merTentamen i TATA43 Flervariabelanalys
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN) 23-8-22 kl 4 9 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat
Läs merFör studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Anals B för KB/TB (TATA9/TEN1 214-3-21 kl 14 19 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betgsgränser:
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS --3 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna dubbelintegralen y ddy, där är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB TATA9/TEN1 14--1 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
Institutionen för matematik SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A 1. Betrakta funktionen fx, y = x + y och området D som ges av olikheterna x, y och x + y 1.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 25 6 3, kl 8 3 5B9, Vektoranalys, för Open Uppgifterna 4 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga examinationen Av dessa uppgifter skall man bara
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv
Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs mer(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z
UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs mer