Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)"

Transkript

1 Kap , 15.4, Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A Undersök om vektorfältet F är konservativt. Om så är fallet bestäm en potential till F. a. F = (3x 2 y + y 2, x 3 + 2xy) b. F = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy) c. F = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy + x) d. F = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy + x, 2z) e. F = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xyz + x, 2z) A Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) A Betrakta vektorfältet F = (2xe y, cos z x 2 e y, y sin z). Visa att F har en potential. Bestäm den potential som har värdet 3 i punkten (1,0,π). A Betrakta vektorfältet F = (x + ay + 3z, 2x + 4y + bz, cx 6y + 3z). Bestäm konstanterna a, b och c så att F får en potential. Bestäm även denna. B Sätt r = (x,y,z) och r = r. Låt b = (b 1, b 2, b 3 ) vara en konstant vektor. Bestäm den konstanta vektorn a = (a 1, a 2, a 3 ) så att vektorfältet F = a. r r 5 r + 1 b får en potential. Bestäm sedan denna potential. r3 A Beräkna linjeintegralen Γ yx dx + x 2 dy från (0,0) till (1,1) längs parabeln y = x 2. A Beräkna kurvintegralen Γ y dx x dy längs x 2 + y 2 = 1 från (1,0) till (0,1). 1

2 A x dx + y dy x + y längs y = 2x från (1,2) till (2,4). A (x + y) dx + (x + y) dy längs y 2 = x 3 från (0,0) till (1,1). A (y x 2 ) dx + (2xy 1 y 2 ) dy längs y = x 2 från (0,0) till (1,1). A x dy y dx (x + y) 2 längs x + 2y = 1 + y 2 från (1,0) till (0,1). A (x 4 y 2 ) dx + (x 4 + y 2 ) dy den sammansatta kurvan: först parabeln y = x 2 från ( 1,1) till (1,1) och sedan linjen y = 1 från (1,1) till ( 1,1). A (x 2 + y 2 ) dx + (x 2 y 2 ) dy i positiv led runt kvadraten med hörnen (±1,±1). A (x 2 + xy) dx + (x xy 2 ) dy i positiv led runt triangeln med hörnen A = ( 1,0), B = (1,0) och C = (0,1). B Beräkna y 3 dx + x 3 dy runt ellipsen x2 a 2 + y2 = 1 ett varv i positiv led. b2 Γ B (3y x) dx + (y 3x) dy (x + y) 3 i positiv led längs x 2 + y 2 = 1 från (1,0) till (0,1). 2

3 B y dx x dy (x y) 2 där Γ är den del av kurvan y = x som börjar i (0,1) och slutar i (2,5). B xy 2 dx yx 2 dy tagen längs en kvartscirkelbåge av x 2 + y 2 = 2y från (0,0) till (1,1). B (1 y 2 ) dx + (1 x 2 ) dy (1 + xy) 2 tagen längs en halvcirkelbåge i första kvadranten från (0,0) till (0,1). B Beräkna 2x x 2 + y + 1 dx + 1 x 2 + y Γ + 1 dy då Γ är halvcirkeln x 2 + y 2 = 1, y 0 genomlupen från ( 1,0) till (1,0). B (x y) dy 2y dx (x + y) 3 där Γ är kurvan x = cos 3 t y = sin 3 t i första kvadranten från (1,0) till (0,1). B (e x cosx y) dx + (2xy + arctan y 2 ) dy tagen i positiv led längs randen till området x 2 3 y 1 4 x2. B ln x y dx + ln x y dy där Γ är periferin av triangeln med hörn i (0,3), (2,3) och (1,2). Punkterna genomlöps i nämnd ordning. B (x dx + y dy) arctan y x där Γ går rätlinjigt från (1,0) till (2,2). 3

4 B Betrakta linjeintegralen I = Γ ax 3 + 8y 3 xy 2 dy 10x3 + by 3 x 2 y dx, där Γ går i första kvadranten från A = (1,1) till B = (4,5). Bestäm konstanterna a och b så att I ej beror av Γ. Beräkna också I. B (xy 2 y 3 ) dx + (x 3 + 4x 2 y) dy där Γ är randen i positiv riktning till området x + y 1. B (y 2 + ycos xy) dx + (y + xcos xy) dy tagen längs cirkelbågen Γ med ekvationen y = 1 x 2 från (0,1) till (1,0). B x dy y(1 + x 2 + y 2 ) dx x 2 + y 2 tagen i positiv led längs ellipsen x 2 + 4y 2 = 1. A Γ är en sammanhängande del av hyperbeln xy = 1 från punkten (1,1) till punkten P. Bestäm P då kurvintegralen Γ (2x + y) dx + (x 8y) dy = 3. B Γ är en rät linje från (0,0) till (a,b), där a > 0, b > 0. Bestäm lokala extrempunkter till funktionen f(a,b) = Γ (3x 2 2y) dx + (3y 2 4x) dy. B y dx x dy tagen längs kurvan y = 3 1 x 2, x 0, från punkten (2,0) till (0,2). B Vilka värden kan kurvintegralen Γ (y 2x 2 y) dx (3x xy 2 ) dy anta om Γ är en enkel sluten kurva som går i positiv led. 4

5 B Låt f vara en deriverbar funktion av en variabel. Beräkna kurvintegralen Γ (y 2 y + 2f(2x + 3y)) dx + (x 2 + x + 3f(2x + 3y)) dy tagen i positiv led längs kurvan x + y = 1. B Bestäm den slutna kontinuerligt deriverbara kurvan Γ som inte skär sig själv så att kurvintegralen Γ (x 2 y + y 3 12y) dx (x 3 + 6xy 2 24x) dy då Γ genomlöps ett varv i positivt led blir så stor som möjligt. Ange även integralens största värde. C xy 2 dy x 2 y dx x 2 + y 2 från (1,0) till (0,1) längs cirkelbågen x 2 + y 2 = x + y, där x 0, y 0. C Beräkna lim n Γ n x dy y dx där Γ n är den i första kvadranten belägna delen av kurvan x n + y n = 1 från (0,1) till (1,0). C (x + 2) dx + 3(x + y + 1) dy x 2 + 3xy + 3y 2 + x + 1 där Γ är i positivt led genomlöpta triangeln med hörnen i ( 1,5), ( 6,0) och (4,1). C Visa att Γ största värdet av P dx + Q dy LM, där L är längden av Γ och M är P 2 + Q 2 under villkoret (x,y) Γ. A x dx + xz dy + y dz, längs kurvan (x,y,z) = (t 2, 2t 3, t) från punkten (0,0,0) till punkten (1,2,1). A x dx + y dy + z dz, längs kurvan (x,y,z) = (t cos t, t sin t, t) från punkten (0,0,0) till punkten ( π,0,π). 5

6 B (x + y) dx + (y + z) dy + (x + z) dz, längs skärningskurvan mellan ytan z = x x 2 + 2y och planet z = x + y från ( 1,1,0) till (1,1,2). A Visa att vektorfältet F = (2xy, x 2 + 2yz, y 2 2z) har en potential och bestäm denna. Beräkna därefter linjeintegralen Γ F. dr då Γ är kurvan (x,y,z) = (cos t, sin t, t) från (1,0,0) till ( 1,0,π). A Bestäm konstanten a så att vektorfältet F = (y + 2z, x + 2z, ax + 2y) får en potential U och bestäm denna. Beräkna därefter linjeintegralen grad U. dr, tagen längs skruvlinjen r = (cos t, sin t, 3t) från (1,0,0) Γ till (1,0,6π). A Bestäm konstanterna a, b och c så att vektorfältet F = (5x a 1 y b, 4x a y 3 + cy 2 z b, by c z 3 ) får en potential (a 0, b 0, c 0). Bestäm därefter en potential till F och använd denna till att beräkna linjeintegralen F. dr, där Γ är Γ räta linjen från (0,1,1) till (1,2,0). B Beräkna linjeintegralen Γ grad f. dr, där f(x,y,z) = ln r, r = (x,y,z) och Γ är den räta linjen från (1,0,0) till (0,1,3). B Beräkna linjeintegralen Γ sin y dx + (x cos y + z 2 ) dy + 2yz dz, där Γ är den räta linjen från (1,0, 1) till ( 1,π/2,2). B Beräkna linjeintegralen Γ xz dx + y 2 dy + (xy + y 3 z) dz, där Γ är randen till halvcirkelskivan y 2 + z 2 1, z 0, x = 0 med omloppsriktningen från (0,1,0) till (0,0,1), därefter till (0, 1,0) och åter till (0,1,0). 6

7 B Beräkna linjeintegralen Γ grad f. dr, där f(x,y,z) = (x + 2) ln y + 3 z +4 och Γ är den orienterade kurvan sammansatt av räta linjen från (0,1,0) till (1,1,2) och räta linjen från (1,1,2) till (1,0,0). 7

8 Ledningar till uppgifterna a. (P,Q) = (3x 2 y + y 2, x 3 + 2xy). Verifiera att P ý = Q x. Detta medför att F kan vara konservativt. En potential U (om den finns) fås ur grad U = (P,Q). Jämför med Example 3 på sid 885. b. (P,Q) = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy). Verifiera att P ý Q x. Detta medför att F ej är konservativt. Någon potential till F finns inte. c. (P,Q) = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy + x). Verifiera att P ý = Q x. Detta medför att F kan vara konservativt. En potential U (om den finns) fås ur grad U = (P,Q). Jämför med Example 3 på sid 885. d. (P,Q,R) = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy + x, 2z). Verifiera att R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0. Detta medför att F kan vara konservativt. En potential U (om den finns) fås ur grad U = (P,Q,R). Jämför med Example 4 på sid 886. e. Låt (P,Q,R) = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xyz + x, 2z). Verifiera att sambandet R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0 inte äger rum. Detta medför att F ej är konservativt. Någon potential till F finns inte a. Låt (P,Q) = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x). Verifiera att P ý = Q x. Eftersom F och dess derivator är kontinuerliga i det enkla sammanhängande område R 2 så har F en potential U (jämför Remark på sid 902). U fås då ur grad U = (P,Q). Jämför med Example 4 på sid 886. b. (P,Q,R) = (2x + y, x + 2z, 2y 2z). Verifiera att R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0. Eftersom F och dess derivator är kontinuerliga i det enkla sammanhängande område R 3 så har F en potential U (jämför Remark på sid 902). U fås då ur grad U = (P,Q,R). Jämför med Example 3 på sid Låt (P,Q,R) = (2xe y, cos z x 2 e y, y sin z). Verifiera att R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0. Eftersom F och dess derivator är kontinuerliga i det enkla sammanhängande område R 3 så har F en potential U (jämför Remark på sid 902). U fås då ur grad U = (P,Q,R). Jämför med Example 4 på sid 886. Man får oändlig många sådana funktioner. Bestäm U så att U(1,0,π) = Låt (P,Q,R) = (x + ay + 3z, 2x + 4y + bz, cx 6y + 3z). Ur R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0 får man ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta a, b och c. Sätt in de erhållna värdena på a, b och c i F uttrycket. Sök en funktion U(x,y,z) sådan att grad U = F. Jämför med Example 4 på sid

9 1705 Låt (P,Q,R) = a. r r 5 r + 1 r 3 b. Vektorn a fås ur R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0. Potentialfunktionen U fås ur grad U = F. Jämför med Example 4 på sid Parametrisera y = x 2 : x = t, y = t 2, t från 0 till 1. Man får dx = dt, dy = 2tdt och yx dx + x 2 dy = (t 2. t dt + t 2. 2t dt) =. Γ Parametrisera enhetscirkeln: x = cos t, y = sin t, t från 0 till π/ Parametrisera y = 2x: x = t, y = 2t, t från 1 till Parametrisera y 2 = x 3 : y = t 3, x = t 2, t från 0 till 1. Eller: Observera att (x + y, x + y) = grad 1 2 (x + y)2 fältet i integranden är konservativt med U(x,y) = 1 2 (x2 + y 2 ) som en potentialfunktion. Integralens värde är U(1,1) U(0,0) Parametrisera y = x 2 : x = t, y = t 2, t från 0 till 1. Eller: Verifiera att x (2xy 1 y2 ) = y (y2 + 1 x 2 ) en annan väg får väljas. Byt till axelparallell väg: Om A = sträckan från (0,0) till (1,0) och B = sträckan från (1,0) till (1,1), så är Γ = Konservativt kraft. Byt väg. Linjen x + y = 0 består av singulära punkter som inte får passeras Dela upp i två linjeintegraler (längs parabeln resp linjen). Parametrisera. Eller: Använd Greens formel. = x (x4 + y 2 ) y (x4 y 2 ) dxdy, D begränsas av y = x 2, y = 1. Γ D Greens formel. 9

10 1714. Greens formel Parametrisera: x = a cos t, y = bsin t, t från 0 till 2π, eller använd Greens formel Konservativt kraft. Byt väg. Linjen x + y = 0 består av singulära punkter. Integrera längs sträckan från (1,0) till (0,1) eller sök en potential Konservativt kraft. Byt väg. Linjen x y = 0 består av singulära punkter. Integrera längs sträckan från (0,1) till (2,5) eller sök en potential Parametrisera eller slut kurvan med linjen y = x och använd Greens formel: Om L är sträckan från (1,1) till (0,0), så är = = ( yx 2 ) xy2 dxdy x y Γ Γ + L L D L där D begränsas av Γ och L Konservativt kraft. Byt väg. Singulära punkter på hyperbeln xy = 1. Integrera längs sträckan från (0,0) till (0,1) Konservativt kraft. Byt väg. Singulära punkter på parabeln y = x 2. Integrera längs parabeln y = 1 x 2 från ( 1,0) till (1,0) Konservativt kraft. Byt väg. Singulära punkter på linjen x + y = 0. Integrera längs linjen x + y = 1 från (1,0) till (0,1) Använd Greens formel Använd Greens formel Slut kurvan och använd Greens formel: Om A är sträckan från (1,0) till (2,0) och B sträckan från (2,0) till (2,2), så är Γ = Γ + A + B A + B = D A B där D begränsas av Γ, A och B I ej beror av Γ Q x = P y vilket ger a och b. Välj sedan väg. 10

11 1726. Använd Greens formel. Variabelbyte i integralen: u = x + y v = x y Dela upp: Γ = Γ y cos xy dx + x cos xy dy + Γ y 2 dx. Fältet (y cos xy, x cos xy) är konservativt man får välja någon annan väg. T ex axelparallell. Den andra integralen: parametrisera Γ = Γ x dy y dx x 2 + y 2 Γ y dx. I den första integralen kan vägen bytas Parametrisera Γ, till exempel: x = t och y = 1 t. Mot (1,1) svarar då t = 1. Låt t o svara mot P, integrera från 1 till t o Parametrisera x = t, y = b a t. Beräkna integralen Dela upp i två kurvor: y = 2 + x 2, y = 4 x Använd Greens formel. Man får (2x 2 + y 2 4) dxdy. Minsta värdet fås om D integranden är 0 på hela D Γ ges av 2x 2 + y 2 = Använd Greens formel. Substituera: u = x y, v = x + y Jämför med Γ är ellipsen 4x 2 + 9y 2 = Om Γ är den givna kurvan, betrakta Γ 1 : kvartscirkeln x 2 + y 2 = 1, x 0, y 0 och kurvan Γ 2 = Γ + Γ 1. Integrera längs Γ 2 med hjälp av Greens formel. Parametrisera Γ 1. Subtrahera de erhållna värdena. 11

12 1736. Om A och B är sträckor från origo till Γ n :s ändpunkter, integrera längs Γ n + A + B. Använd Greens formel. Området approximeras med två kvadrater Integrera över ellipsen x y (y 1)2 = Om x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2 är Γ:s parameterframställning: Γ = t1 P dx + Q dy = t 2 P 2 + Q 2. t 2 t 2 (P,Q). (ẋ,ẏ) dt (P,Q). (ẋ,ẏ) dt = t 1 t. x 2 + ẏ2 dt 2 M t1 t 1. x 2 + ẏ2 dt = ML x = t 2, y = 2t 3, z = t dx = 2t dt, dy = 6t 2 dt, dz = dt. Mot punkterna (0,0,0) och (1,2,1) svarar t = 0 resp t = 1. Detta insatt i integraluttrycket ger 1 0 (4t 3 + 6t 5 ) dt x = t cos t, y = t sin t, z = t dx = (cos t t sin t) dt, dy = (sin t + t cos t) dt, dz = dt. Mot punkterna (0,0,0) och ( π,0,π) svarar t = 0 resp t = π. Detta sätts in i integraluttrycket Skärningskurvan satisfierar ekvationssystemet z = x x 2 + 2y, z = x + y skärningskurvan satisfierar ekvationen x x 2 + 2y = x + y, dvs y = x 2. Genom att sätta x = t får man kurvans parameterframställning: x = t, y = t 2, z = t + t 2, där mot punkterna ( 1,1,0) och (1,1,2) svarar t = 1 resp t = Potentialfunktionen U fås ur grad U = F. Linjeintegralen = U( 1,0,π) U(1,0,0) Vi har (P,Q,R) = (y + 2z, x + 2z, ax + 2y). Ur R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0 får man det sökta a värdet vilket sätts in i F uttrycket. U fås då ur grad U = (P,Q,R). Jämför med Example 4 på sid 886. Linjeintegralen = U(1,0,6π) U(1,0,0). 12

13 1744. Vi har (P,Q,R) = (5x a 1 y b, 4x a y 3 + cy 2 z b, by c z 3 ). Ur R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0 får man ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta a, b och c. Sätt in de erhållna värdena på a, b och c i F uttrycket. Sök en funktion U(x,y,z) sådan att grad U = F. Jämför med Example 4 på sid 886. Linjeintegralen = U(1,2,0) U(0,1,1) Observera att U = ln x 2 + y 2 + z 2 är en potentialfunktion till grad f. Linjeintegralen = U(0,1,3) U(1,0,0) Bestäm en potentialfunktion till vektorfältet (sin y, x cos y + z 2, 2yz). Man får U = x sin y + yz 2. Linjeintegralen = U( 1,π/2,2) U(1,0, 1) Dela upp Γ i två delkurvor: Γ 1 = halvcirkeln, Γ 2 = sträckan mellan (0, 1,0) och (0,1,0). Man har Γ = Γ1 + Γ2. Parametrisera Γ 1 : x = 0, y = cos t, z = sin t, t från 0 till π. Man får Γ 1 (xz, y 2, xy + y 3 z). d(x,y,z) = Γ π = 0 π (cos 2 t, cos 3 t sin t). d(cos t, sin t) = 0 (y 2, y 3 z). d(y,z) = π (cos 2 t, cos 3 t sin t). ( sin t, cos t) dt = = ( sin t cos 2 t + cos 4 t sin t) dt. 0 Parametrisera Γ 2 : x = 0, y = t, z = 0, t från 1 till 1. Man får Γ 2 (xz, y 2, xy + y 3 z). d(x,y,z) = Γ 2 (y 2, y 3 z). d(y,z) = 1 1 (t 2, 0). d(t, 0) = 1 1 t 2 dt För (P,Q,R) = grad f har man R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0. Detta medför att vektorfältet grad f är konservativt i det enkla sammanhängande området y + 3 > 0, z + 4 > 0 (jämför Remark på sid 902). En annan integrationsväg får väljas där. Välj (t.ex) Γ 1 = sträckan från (0,1,0) till (0,0,0) och Γ 1 = sträckan från (0,0,0) till (1,0,0). Man har Γ = Γ1 + Γ2. 13

14 Svar till uppgifterna a. Konservativt. Potential U = x 3 y + xy 2. b. Ej konservativt. c. Konservativt. Potential U = x 3 y + xy 2 + xy. d. Konservativt. Potential U = x 3 y + xy 2 + xy + z 2. e. Ej konservativt a. U = x 3 y 2 + xy + C. b. U = x 2 + xy + 2yz z 2 + C U = x 2 e y y cos z a = 2, b = 6 och c = 3. Potential U = x2 2 2xy + 3xz + 2y2 6yz z2 + C a = 3b. Potentialen U = b. r r 3 + C π

15 π 4 ab(a2 b 2 ) ln π a = 5, b = 4 och I = π , Lokalt minimum i (1,1) [ 4π 2, [

16 1734. Ellipsen 4x 2 + 9y 2 = 36; 108π π π s π / U = x 2 y + y 2 z z 2 + C; π a = 2. Potentialen U = xy + 2yz + 2xz + C. Integralen = 12π a = 5, b = 4 och c = 3. Potentialen U = x 5 y 4 + y 3 z 4 + C. Integralen = ln π ln

17 17

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Kontrollskrivning 1A

Kontrollskrivning 1A Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

23 Konservativa fält i R 3 och rotation Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast

Läs mer

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl Institutionen för Matematik TH irsti Mattila Tentamensskrivning, ompletteringskurs i matematik 5B4 Onsdagen den 8 december, kl 8.-. Preliminära betgsgränser för, 4 och 5 är 8, 4 och 54 poäng. Inga hjälpmedel

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

18 Kurvintegraler Greens formel och potential

18 Kurvintegraler Greens formel och potential Nr 8, 6 april -5, Amelia 8 Kurvintegraler Greens formel och potential 8. Greens formel Vi studerar i detta avsnitt kurvor i planet, i R. En kurvintegral är som vi sett en integral på en kurva i planet.

Läs mer

Tentan , lösningar

Tentan , lösningar UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är

Läs mer

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2 Lektion 6, Flervariabelanals den februari 6.. Beräkna div F och rot F av F e + e. Divergensen och rotationen ges av div F F,,,, + + + +, rot F F,,,, e e e z, +,,,. rot F F,, e e e z z, z, z z z, + z, z

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

Flervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare

Flervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2010 Kurslitteratur Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Robert A. Adams, alculus: a complete course, 6th ed., Addison Wesley,

Läs mer

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 2-3-9 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel. 73-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2 ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y

Läs mer

Integration m.a.p. t av båda led ger. Lektion 13, Flervariabelanalys den 15 februari x(t) x(0) = log y(t) log y(0) = log.

Integration m.a.p. t av båda led ger. Lektion 13, Flervariabelanalys den 15 februari x(t) x(0) = log y(t) log y(0) = log. Lektion 13, Flervariabelanals den 15 februari 2 15.1.2 Skissera vektorfältet och bestäm dess fältlinjer. F, = e + e I varje punkt, har vektorfältet en vektor med komponenter,, d.v.s. vektorn utgående från

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer

Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version

Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version Studiehandledning till MMA128 ifferential- och integralkalkyl III läsåret 2012/13 Version 2013-06-07 ursinformation för MMA128 Mål Avsikten med kursen MMA128 ifferential- och integralkalkyl III är att

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

Flervariabelövningar. Fredrik Bengzon 3 mars 2004

Flervariabelövningar. Fredrik Bengzon 3 mars 2004 Flervariabelövningar Fredrik Bengzon 3 mars 24 Innehåll 1 Partiella derivator och kedjeregeln 3 2 Gradient och riktningsderivata 4 3 Kurvor och ytor 5 4 Taylors formel 8 5 ivergens och rotation 9 6 Kurvintegralen

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara

Läs mer

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen MVE85 Flervariabelanalys 26-8-26 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Malik, telefon: anknytning 5325 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad,

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.

Läs mer

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 05-0-5

Läs mer

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1 Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se 7 oktober 2009 1 Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht09

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg

Läs mer

Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.

Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. 401. (A) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 3y = 0 b. y 2y 3y = 0 c. y 2y = 0 d. y 4y +

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

2.5 Partiella derivator av högre ordning.

2.5 Partiella derivator av högre ordning. 2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =

Läs mer

8.4. Integration av trigonometriska uttryck

8.4. Integration av trigonometriska uttryck 68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

20 Integralkalkyl i R 3

20 Integralkalkyl i R 3 Nr,9maj-,Amelia Integralkalkl i R 3 VI kommer härnäst att studera integraler av tredimensionella vektorfält: F(,, ) = (P (,, ), Q(,, ), R(,, )). Vi generaliserar kurvintegraler och Greens formel från R

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Dag 1 Avsnitt 6.1 Definition av trappfunktion och integral av en trappfunktion. Räkneregler (de är mer eller mindre uppenbara). Definition av Riemannintegralen

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 43, 1960 Första häftet 2244. Vilka värden kan a) tan A tanb + tan A tanc + tanb tanc, b) cos A cosb cosc anta i en triangel ABC? 2245. På en cirkel med centrum O väljes en båge AB, som är större

Läs mer

AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats

AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta på parameterform ges av tre ekvationer x = x(u, v), y = y(u, v), z =

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Tentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Tentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 5--9 kl. 8.3.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Mattias Lennartsson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är

Läs mer

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675 MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 8 augusti Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y), Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger

Läs mer