Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08

Transkript

1 Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08 Omfattning 6., Innehåll: Gradient, divergens, rotation, Greens sats/formel, divergenssatsen i två och tre dimensioner, tokes sats tma043 V6, Ht08 bild Mål: För betyget godkänd skall du kunna: beräkna divergens, div F, och rotation, curl F för ett vektorfält F. definiera begreppen källfritt (solenoidal) och virvelfritt (irrotational) vektorfält. tillämpa sats tillämpa Greens formel (6.3.6) och divergenssatsen (6.3.7 och 6.4.8) i relativt okomplicerade situationer. beräkna area av område i planet med hjälp av Greens formel beräkna volym av område i rummet med hjälp av divergenssatsen tillämpa tokes sats (6.5.0) i relativt okomplicerade situationer. tma043 V6, Ht08 bild 2 För högre betyg skall du dessutom kunna: formulera satsen om divergensen som flödestäthet formulera satsen om rotationen som virveltäthet formulera och bevisa sats g) och h) formulera och bevisa Greens formel (sats 6.3.6) formulera och bevisa divergenssatsen i tre dimensioner (sats 6.4.8) tma043 V6, Ht08 bild 3

2 Om f : R 3 R så definieras gradienten genom: Man kan se som en operator som verkar på f. f = f x i + f y j + f z k = x i + y j + z k enna operator kan verka även på vektorfält: Om F : R 3 R 3 så är F = F i + F 2 j + F 3 k och ( div F = F = x i + y j + ) z k (F i + F 2 j + F 3 k) = F x + F 2 y + F 3 z Adams 6., tma043 V6, Ht08 bild 4 Vi har också: ( curl F = F = x i + y j + ) z k (F i + F 2 j + F 3 k) ( F3 = y F ) ( 2 F i + z z F ) ( 3 F2 j + x x F ) k y Adams 6., tma043 V6, Ht08 bild 5 ats 6.3 (g) ( F) = 0 (div curl = 0) (h) ( f) = 0 (curl grad = 0) Adams 6.2, tma043 V6, Ht08 bild 6 2

3 efinition Ett vektorfält F kallas källfritt, divergensfritt, eng: solenoidal i ett område om div F = 0 i. Ett vektorfält F kallas rotationsfritt, eng: irrotational i ett område om curl F = 0 i. Om F är konservativt så är F rotationsfritt. curl F är alltid källfritt. Adams 6.2, tma043 V6, Ht08 bild 7 ats Om F är ett glatt, rotationsfritt vektorfält i ett enkelt sammanhängande område så är F konservativt. ats Om F är ett glatt, källfritt vektorfält i ett område med egenskapen att varje sluten yta i är rand till ett område som ligger helt i så är F = curl G för något vektorfält G, definierat i. Vektorfältet G kallas vektorpotential till F. Adams 6.2, tma043 V6, Ht08 bild 8 efinition Ett område kallas x-enkelt om det begränsas av linjer y = a och y = d i y-led och kurvor x = g(y) och x = h(y) i x-led. y=d x=g(y) x=h(y) y=c Adams 6.3, tma043 V6, Ht08 bild 9 3

4 efinition Ett område kan vara både x-enkelt och y-enkelt: Ett område kallas reguljärt om det kan delas i ändligt många x- och y-enkla delområden. Adams 6.3, tma043 V6, Ht08 bild 0 ats Greens formel Antag att är ett reguljärt, slutet område vars rand består av en eller flera styckvis glatta slutna kurvor utan dubbelpunkter, positivt orienterade relativt. Antag också att F = F (x, y)i + F 2 (x, y)j är ett glatt vektorfält definierat i. å gäller: ( F2 F (x, y)dx + F 2 (x, y)dy = x F ) da y Adams 6.3, tma043 V6, Ht08 bild Area som kurvintegral Antag att är den positivt orienterade randen till. å gäller: xdy = ydx = xdy ydx = Arean av 2 Adams 6.3, tma043 V6, Ht08 bild 2 4

5 ats ivergenssatsen i R 2 Antag att området och dess rand och vektorfältet F = F (x, y)i+f 2 (x, y)j uppfyller villkoren i Greens formel. Antag också att ˆN är det utåtriktade enhetsnormalvektorfältet till. å gäller: ( F F ˆNds = div FdA = x + F ) 2 da y Adams 6.3, tma043 V6, Ht08 bild 3 ats Gauss divergenssats. Antag att är ett tredimensionellt reguljärt område vars rand är en orienterad sluten yta med enhetsnormal ˆN riktad ut från. Antag också att F är ett glatt vektorfält på. å gäller: div FdV = F ˆNd Adams 6.4, tma043 V6, Ht08 bild 4 Tolkning av divergensen Låt vara en sfär med radie ɛ och centrum i punkten P. Låt vara randen med utåtriktad normal. å gäller: div FdV = F ˆNd och alltså: 3 div F(P ) = lim ɛ 0 4πɛ 3 F ˆNd Ytintegralen kan ses som flödet ut ur punkten P. div F(P ) tolkas då som källstyrka per volymsenhet. Adams 6.4, tma043 V6, Ht08 bild 5 5

6 ats tokes sats Låt vara en styckvis glatt orienterad yta med enhetsnormalvektorfält ˆN. Antag att randen till består av en eller flera styckvis glatta, slutna kurvor, positivt orienterade relativt orienteringen av. (etta innebär ungefär att ˆN ˆT pekar in i ytan.) Antag också att F är ett glatt vektorfält på en öppen mängd som innehåller. å gäller: F dr = (curl F) ˆNd Adams 6.5, tma043 V6, Ht08 bild 6 Tolkning av rotationen Låt vara en cirkelskiva med radie ɛ och centrum i punkten P och normalvektor ˆN. Låt vara randcirkeln genomlöpt moturs sett från spetsen av ˆN. å gäller: F dr = (curl F) ˆNd πɛ 2 (curl F(P )) ˆN och alltså: (curl F(P )) ˆN = lim F dr ɛ 0 πɛ 2 Kurvintegralen kan tolkas som arbetet vektorfältet F uträttar då en partikel går runt i den cirkulära banan. (curl F(P )) ˆN kan alltså ses som fältets förmåga/tendens att få en partikel att rotera kring axeln ˆN. Adams 6.5, tma043 V6, Ht08 bild 7 6