i punkten ( 1,2,3). b) Bestäm riktningsderivatan av f i punkten ( 1,2) ut ur Scandinavium genom tak och yttervägg [Scandinaviums tak är ytan ( x, y,

Transkript

1 Tentamensskrivning i flervariabelanals F (MVE05) och reell matematisk anals F, delb (TMA975), , kl 80-0 i V Telefon: Johan Jansson, tel Låt f (, = 6 a) Ange en ekvation för tangentplanet till tan z = f (, i punkten (,,) b) Bestäm riktningsderivatan av f i punkten (,) i riktningen (,) c) Bestäm alla stationära punkter till f och deras karaktär Scandinavium K i Göteborg definieras (i lämpligt koordinatsstem) 500 av olikheterna 0 z 5, 500 a) Beräkna volmen av K SCAN b) Beräkna arean av Scandinaviums ttervägg [Scandinaviums ttervägg är tan (, : = 500, 0 z 5 ] 500 SCANDINAVIUM c) Beräkna flödet av v = (, ut ur Scandinavium genom tak och ttervägg [Scandinaviums tak är tan (, : 500, z = 5 ] ' d) Klockan en vacker vårdag var temperaturen på och kring Scandinaviums tak T(, = 0 ( 500 [ o Celsius] Mellan vilka värden varierade temperaturen på K:s tak då? 500 Låt ( ) ( ) ( ) ( ) = z z I F,, z z Visa att I F är konservativt i I R och beräkna det arbete som I F uträttar längs cos t kurvan C = ( t) = e t sin t : r r (, e, cost), 0 m a) Definiera differentialen av ett fält IF : IR n IR i en punkt a b) Formulera Stokes' sats 5 Formulera och bevisa en formel för derivering av en sammansatt funktion f ( ( t), ( t) ) Betgsgränser: p 5p ger betget, 6p 7p ger betget, 8p eller mer ger betget 5 BB

2 Tentamensskrivning i flervariabelanals F (MVE05) och reell matematisk anals F, delb (TMA975), , kl i V Telefon: Jonatan Vasilis, tel C Visa att funktionen ( ) Funktionen f IR : IR är h (, = zf z, z satisfierar differentialekvationen h h zh h z = Låt f (, = ( )( ) a) Bestäm alla stationära punkter till f och deras karaktär b) Vilka värden antar f (, på D = {(, : 0,0 }? = u Beräkna arean av tan Y : = uv, 0 u,0 v ; z = v ange även en ekvation för tangentplanet till tan Y i punkten (,, ) (p) (9p) En vas definieras av olikheterna 0 e z e a) Hur mcket vatten rms i vasen? b) Beräkna vasens totala massa då dess densitet är ρ (, = ( ) cos z cos 5 Låt IF = e, e sin, ( z ) e sin a) Har I F en potential i I R? b) Har I F en vektorpotential I R? c) Beräkna flödet av I F uppåt genom tan z = f (,, (, D i uppgift 6 a) Formulera och bevisa Green's sats b) Låt I F vara ett virvelfritt C -fält i I R Visa IF d r är oberoende av vägen C Betgsgränser: p 5p ger betget, 6p 7p ger betget, 8p eller mer ger betget 5 BB

3 Tentamensskrivning i flervariabelanals F (MVE05) och reell matematisk anals F, delb (TMA975), , kl 80-0 i V Telefon: Micke Persson, tel ; Lennart Falk, tel f, = Låt ( a) Ange en ekvation för tangentplanet till tan z = f (, i punkten (,,) b) Beräkna riktningsderivatan av f i punkten (, ) i riktningen (,) c) Beräkna arean av tan : z = f (,, ( ) Y Låt u =, v = och Ω = {(, : > 0, > 0} Visa att tillordningen (, ( u, v) är bijektiv lokalt i varje punkt i Ω (p) och lös problemet d( u, v) f f =, f (, ) =, (, Ω [tips: använd u, v som na variabler] d(, Beräkna massan av kroppen K = (, : z 8, då dess densitet är ρ (, = z Vilka värden antar potentialen ( ) Φ, z = 6 z på sfären z = 5? 5 Låt ( sin IF =, ( e )) a) Är I F konservativt i b) Beräkna det arbete som F (, ) medurs längs ellipsen = 0 I R? I uträttar då en partikel förflttas från (,) till (p) 6 a) Formulera och bevisa Gauss' sats b) Beräkna e d c) Visa att ett konservativt fält som är C i I R är virvelfritt i I R Betgsgränser: p 5p ger betget, 6p 7p ger betget, 8p eller mer ger betget 5 BB

4 Tentamensskrivning i flervariabelanals F (MVE05) och reell matematisk anals F, delb (TMA975), , kl 80-0 i V Telefon: Karin Kraft, tel Låt F (, = ( ln( ) cos( arctan( a) Visa att nivåtan F (, = lokalt kring punkten (, 0,) är en C -funktionsta z = f (, och bestäm f (,0) och f (,0 ) b) Ange en ekvation för tangentplanet till nivåtan F (, = i punkten (, 0,) c) I vilken riktning väer funktionsvärdena F (, snabbast i punkten (, 0,)? (p) ( ) Beräkna arean av tan Y : r = r( u, v) = u, v sin( u), v cos( u), v 0, u v Bestäm de högsta och de lägsta punkterna på skärningskurvan mellan clindern = och funktionstan z = Kroppen K = (, : z har densiteten ρ (, = z ( z ) Bestäm K:s totala massa z ( ) z 5 Låt I F = e cos(, ( e, e och f (, = e e cosh( cos( ) a) Beräkna flödet av rot IF uppåt genom funktionstan z = f (,, (, D f a) med Stokes' sats a) med Gauss' sats (6p var) b) Är I F konservativt i I R? (p) (p) 6 a) Formulera och bevisa Greens sats b) Definiera enkel kurva och enkelt sammanhängande mängd i c) Visa att ett fält som är C och har en vektorpotential i I R I R är källfritt i I R Betgsgränser: p 5p ger betget, 6p 7p ger betget, 8p eller mer ger betget 5 BB

5 Tentamensskrivning i flervariabelanals F (MVE05) och reell matematisk anals F, delb (TMA975), , kl i V Telefon: Bernhard Behrens, tel Låt F (, = 8 6 a) Bestäm alla stationära punkter till F och deras karaktär b) Visa att nivåkurvan F (, = lokalt kring punkten (, ) är en funktionskurva f ( ) f = och bestäm ( ) Låt IF = ( cos( ) cos(, sin( ) sin( ) t och C : = ( cos( t) cosh( t), sin( t) sinh( t) ), 0 a) Är I F konservativt i I R? Om ja, bestäm en potential till I F i I R b) Beräkna IF d C c) Beräkna arean av området mellan C och -aeln Låt f ( =, och : D a) Beräkna volmen av kroppen K {(, : (, D, 0 z f (, } b) Beräkna arean av tan Y z = f (,, (, D c) Är f differentierbar i origo? = : Låt IF (, ( cos, cos z ( sin, sin = vara hastighetsvektorn för en stationär strömning av en inkompressibel vätska a) Visa att I F är källfritt (p) och bestäm en vektorpotential A för I F A (, = p(,, 0, q(, ) (ledn: ansätt ( ) b) Bestäm volmen av den vätskemängd som per tidsenhet strömmar nedåt genom Y : z = tan ( ) e cos, 5 a) Visa att om f : RI n RI är deriverbar i en punkt a och antar i a ett etremvärde så är a en stationär punkt f t, t b) Formulera och bevisa en sats om derivering av en sammansatt funktion ( ( ) ( )) Betgsgränser: p 5p ger betget, 6p 7p ger betget, 8p eller mer ger betget 5 BB 5

6 Tentamensskrivning i flervariabelanals F (MVE05) och reell matematisk anals F, delb (TMA975), , kl 80-0 i V Telefon:, tel Låt (, ) f e sin ( ) = a) Bestäm Talorpolnomet av ordningen 5 i origo till f b) Visa att origo är en stationär punkt till f och bestäm dess tp c) Visa att ekvationen z = f (, lokalt kring punkten (, 0, e sin) definierar som en differentierbar funktion av (, z ), ln, och kurvorna C :, C : = cos, Betrakta kraftfältet IF ( = ( ) = och ( ) a) Är FI konservativt i IR? b) Beräkna det arbete som FI uträttar då en partikel förflttas längs kurvan C = C C (p) Lös differentialekvationen ( ) ( ) ( ) z d z d z z dz = 0 Vilka värden kan anta? 5 Låt f (, = ln, D = (, IR : 0 < a) Beräkna volmen av kroppen K = {(, : (, D, 0 z f (, } b) Beräkna arean av tan Y = {(, : (, D, z = f (, } m n m 6 a) Vad menas med att ett fält IF : IR IR är differentierbar i en punkt a IR? b) Formulera Stokes sats n c) Låt f : IR IR vara differentierbar i en punkt a med grad f ( a) 0 Visa att grad f ( a ) är den riktning i vilken f väer snabbast då man rör sig från punkten a d) Visa att ett C fält i IR som har en vektorpotential i IR är källfritt i IR Betgsgränser: p 5p ger betget, 6p 7p ger betget, 8p eller mer ger betget 5 BB 6

7 SVAR: : a) 8 z 9 = 0 b) 5 c) ( 0,0) (sadelpunkt), ± (, ) (lok minimipunkter) a) 065 b) 750 c) 6500 d) = [ 75 o, 5o ] V ) ln : a) ( 0,0), (,0), ( 0, ), (, ) sadelpunkter, (, ) str lok maimipunkt b) V = [ 0, ] f 6 ) arean är 6, tangentplan: z = 0 a) ( 8ln ) b) ( ln ) cos 5a) nej b) ja c) ( e e ) : a) z = 5 b) 6 c) 5 T ) f (, = ( ) 8( ) ) ) [ 5,5] 5a) ja b) : a) ( ) f,0 =, f (,0) = b) ( ) z = c) (,, ) ) ) (, ±, ) resp (, ±, ) ) ( ) 5a) b) nej : a) ( 0,0 ) (sadelpunkt), (, ) (lok maimipunkt) b) f ( ) = sinh a) ja, potential Φ (, = sin cos b) sin sin ( cosh ) c) ( ) a) b) ( ) ( ) c) ja a) sin z,0, ( cos b) : a) b) lok minimipunkt a) nej b) 98 5 ) ( z ( = c ) [,] ln 5a) b) ( ( )) Variation på uppgift (08-0-7): Bestäm värdemängden till f (, = 5 svar: V f =, φ där φ = (gllene snittet: det största värde som f antar är φ ) Clindern och funktionstan i uppgift (07-0-6): 7