6. Samband mellan derivata och monotonitet
|
|
- Bo Berglund
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för tangenten i punkten ( 0,f( 0 )) till kurva = f(). Derivatan f ( 0 ) är därför ett mått på hur mcket funktionen förändras nära 0. Följande sats gäller: Sats 6.1. Låt funktionen f vara deriverbar på ]a,b[. Då gäller att (a) f () = 0 för alla ]a,b[ f konstant på ]a,b[. (b) f () 0 för alla ]a,b[ f väande på ]a,b[. (c) f () > 0 för alla ]a,b[ f strängt väande på ]a,b[. (d) f () 0 för alla ]a,b[ f avtagande på ]a,b[. (e) f () < 0 för alla ]a,b[ f strängt avtagande på ]a,b[. Eempel 6.2. Undersök funktionen f() = med avseende på monotonitet. Lösning: Vi undersöker var funktionen f har positiv resp. negativ derivata. Det följer att f () = = 3( 2 4) = 3( + 2)( 2). För att studera var f är väande respektive avtagande tittar vi på en teckentabell: f () f() ր f( 2) = 18 ց f(2) = 14 ր Funktionen väer strängt på ], 2[ och ]2, [ och avtar på [ 2,2]. Figur =
2 6.1 Lokala etrempunkter Lokala etrempunkter Definition 6.4. Låt f vara en funktionen definierad på ]a,b[. Vi säger att f har ett lokalt maimum i 0 ]a,b[ om f() f( 0 ) för alla i närheten av 0. Vi kallar då 0 en lokal maimipunkt för f och funktionsvärdet f( 0 ) för ett lokalt maimivärde. Observera: På motsvarande sätt definieras en lokal minimipunkt och ett lokalt minimivärde. Lokala maimipunkter och lokala minimipunkter kallas med ett gemensamt namn för lokala etrempunkter. Vi säger också att f har ett lokalt etremvärde i dessa punkter. Definition 6.5. Antag att funktionen f är deriverbar i punkten 0. Vi säger att punkten 0 är en stationärpunkt till f om f ( 0 ) = 0. Eempel 6.6. Om f() = , så är f () = = 3( 2 4) = 3( + 2)( 2) = 0 = ±2. Funktionen f har alltså dem stationära punkterna = ±2. Satsen nedan ger oss ett effektivit sätt att söka efter lokala etrempunkter. Sats 6.7. Om f har en lokal etrempunkt i 0 ]a,b[ och om f är deriverbar i 0 så är f ( 0 ) = 0, dvs etrempunkten 0 är också en stationär punkt. Bevis:
3 36 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET Eempel 6.8. Omvändningen till Sats 6.7 är inte sann, t betrakta funktionen f() = 3. Eftersom f () = 3 2 = 0 för = 0 så är punkten = 0 en stationär punkt. Vidare gäller att f () = 3 2 > 0 för 0, dvs f är strängt väande. Detta betder att den stationärapunkten = 0 inte kan vara en etrempunkt. Eempel 6.9. Bestäm alla lokala etrempunkter till f() = ( 2). Lösning: Vi har att f() = { ( 2), 0 ( 2), < 0 som är kontinuerlig för alla. Fallet 0: Då är f() = 2 2 och f () = 2 2 = 0 om = 1. Fallet < 0: Då är f() = och f () = = 0 som saknar nollställen för < 0. Dessutom ges höger derivatan i = 0 av f +(0) = lim 2) = 2 och vänster derivatan 0 +(2 är f (0) = lim + 2) = 2. 0 ( 2 Alltså eisterar ej f (0) och funktionen är inte deriverbar i = 0. Teckentabell visar 0 1 f () f() ր f(0) = 0 ց f(1) = 1 ր Funktionen f har alltså en lokal mapunkt i = 0 och en lokal minpunkt i = 1. Figur = ( 2) 1 2
4 6.1 Lokala etrempunkter 37 Eempel Bestäm alla lokala etrempunkter till f() = { ln, > 0 0, = 0 Lösning: För > 0 gäller att f () = 1 + ln = 0 om = 1. Vidare gäller också att e funktionen f är kontinuerlig för 0. Speciellt gäller att lim ln = 0 = f(0), dvs f är 0 + kontinuerlig i = 0. Däremot saknar f höger derivata, t Teckentabell ger f(0 + h) f(0) hln h lim = lim h 0 + h h 0 + h = lim ln h ej eisterar. h /e f () 0 + f() ց f(1/e) = e ր Funktionen f har alltså en lokal mapunkt i = 0 och en lokal minpunkt i = 1/e. Figur = ln 1/e 1/e Anmärkning: Eempel 6.8 visar att en stationär punkt inte behöver vara en etrempunkt. Eempel 6.9 visar att en punkt där funktionen inte är deriverbar kan vara en etrempunkt. Eempel 6.11 visar att en ändpunkt kan vara en etrempunkt.
5 38 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET Eempel Bestäm eventuella lokala etrempunkter till funktionen f() = Lösning:
6 39 7. Tillämpningar på derivata Som tillämpning på derivata kommer vi i det här avsnittet att studera största och minsta värde hos en given funktion, grafritning, olikheter, ekvationer och medelvärdessatsen Medelvärdessatsen Sats 7.1. Om f är kontinuerlig på [a,b] och deriverbar på ]a,b[, så finns minst ett c ]a,b[ så att f f(b) f(a) (c) =. b a Geometrisk tolkning: Figur 7.2. = f() a c 1 c 2 b f(b) f(a) Kvoten är riktningskoefficienten för sekanten genom (a, f(a)) och (b, f(b)). b a Medelvärdessatsen säger att det finns minst en punkt (c, f(c)) med en tangent parallell med sekanten.
7 40 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA ( π Eempel 7.3. Beräkna f om f() = cos. 5) ( π 3 Lösning: Vi uttnttjar att vi vet att f = 6) 2 ( π ( f() f = f 6) (c). Medelvärdessatsen ger att π 6 där c ligger mellan och π 6. Sätter vi in = π i uttrcket ovan får vi 5 ( π ) ( π ( f = f + f 5 6) (c) π ), 6 dvs ( π ( π ( π cos = cos + 5) 6) 5 π 3 sin c = 6) 2 + π 30 sinc, där c ligger mellan π 6 och π 5. Antar vi nu att c π, så får vi att 6 ( π 3 cos 5) 2 + π ( π ) 3 30 sin π ,813. ),
8 7.1 Medelvärdessatsen 41 Eempel 7.4. Lös = cos 3. Lösning: Låt oss kalla roten till ekvationen för α, dvs α = cos α 3. Eftersom cos 3 är kontinuerlig och avtar mellan 1 och 0 för 0 3π 2 så kommer kurvan = cos 3 och den räta linjen = α att skära varandra för något α som uppfller 0 α 3π 2. Låt 0 vara en godtcklig punkt sådan att 0 0 3π 2. Betrakta följande iterationsshema: n+1 = cos n 3, n = 0,1,2,.... Vi visar att iteraten n+1 går mot roten α, dvs n+1 α, då n. Enligt Medelvärdessatsen finns ett c n mellan n och α så att n+1 α = cos n 3 cos α 3 = 1 3 sin c n n α 1 3 n α n 1 α = n 1 α 1 3 n+1 0 α 0, då n. Detta ger att α 0.95.
9 42 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA 7.2. Största och minsta värde Låt oss börja med att definiera vad vi menar med största och minsta värde hos en funktion. Definition 7.5. Låt f vara en funktion. En punkt 0 D f kallas en global maimipunkt för f om f( 0 ) f() för alla D f. Talet f( 0 ) kallas i så fall f:s största värde. Om istället f( 0 ) f() för alla D f, kallas 0 D f en global minimipunkt för f och f( 0 ) f:s minsta värde. Satsen nedan hjälper oss att söka efter punkter som ger största och minsta värde. Sats 7.6. Om f är kontinuerlig på [a,b] så antar f sitt största respektive minsta värde i någon av följande punkter: 1. i en inre punkt ]a,b[ där f () = 0, 2. i en inre punkt ]a,b[ där f () ej eisterar, 3. i en randpunkt, dvs i = a eller i = b. Följande sats kan vara användbar om det visar sig vara svårt att med hjälp av en teckentabell avgöra karaktären hos en etrempunkt. Sats 7.7. Antag att funktionen f är definierad nära punkten 0 och att f ( 0 ) eisterar. Antag vidare att 0 är en stationär punkt för f, dvs f () = 0. Om f ( 0 ) > 0, så är 0 en lokal minimipunkt för f Om f ( 0 ) < 0, så är 0 en lokal maimipunkt för f
10 7.2 Största och minsta värde 43 Eempel 7.8. Bestäm största och minsta värde av funktionen f() = , där 3 2. Lösning: Funktionen f är kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall [ 3,2]. Förutsättningarna för satsen om största och minsta värde, dvs Sats 2.16 är uppfllda. Detta betder att f antar ett största och minsta värde på [ 3, 2]. Enligt Sats 7.6 hittar vi dessa värden i en stationär punkt, en punkt där f är ej deriverbar eller i intervallets ändpunkter. Vi börjar med att bestämma alla stationära punkter till f. Eftersom f() = = { 3 12, 3 < , 0 < 2, så är f () = { , 3 < < , 0 < < 2 Eftersom f () = > 0 för alla saknar f stationära punkter i intervallet 0 < < 2. På intervallet 3 < < 0 är f () = = 0 endast för = 2. Vi har att f( 2) = 16. Vidare gäller att punkten = 0 är den enda punkt som funktionen f saknar derivata i. Vi har f(0) = 0. Slutligen undersöker vi ändpunkterna; det gäller att f( 3) = 9 och f(2) = 32. Alltså är största värde 32 för = 2 och minsta värde är 0 för = 0. Figur 7.9. =
11 44 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA Eempel Bestäm värdemängden till funktionen f() = e, 0. Hur många gånger antas varje värde? Lösning:
12 7.3 Grafritning Grafritning Antag att vi behöver rita grafen till en deriverbar funktion f. Vi skulle i så fall behöva bestämma följande: 1. Etrempunkterna som återfinns bland de stationära punkterna. 2. Vågräta asmptoter som är räta linjer på formen = A. Dessa finns om f har ett gränsvärde, i så fall A, då går mot ±, dvs om det finns ett A sådant att lim f() = A. ± 3. Lodräta asmptoter som är räta linjer på formen = a. Dessa finns om f har det oegentliga gränsvärdet eller då går mot punkten a, dvs lim f() = ±. a 4. Sneda asmptoter som är räta linjer på formen = k + m. Dessa linjer finns om det finns tal k och m sådana att f() k = lim ± och m = lim (f() k). ± Geometriskt betder det att kurvan = f() och linjen = k+m går närmare och närmare varandra då ±, dvs lim (f() k m) = 0. ±
13 46 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA Eempel Rita grafen till funktionen = , så att alla väsentliga drag framgår. 4 Lösning: = = 10 ( 2 4) 2. Varken eller är definierade för = ±2 och dessutom har vi att ± då ±2, d.v.s. vi har lodräta asmptoter i = ±2. Vidare ser vi att = 0 = 0. Teckentabellen blir då ( 2 4) ր ր (0) ց ց Vi har alltså ett lokalt maimum i = 0 med (0) = 1, och lokalt minimum saknas. 4 För att undersöka vågräta asmptoter studerar vi lim = lim ± ± 2 4 = lim ± 1 4 = 1. 2 En sned asmptot = k + m finns inte då eftersom k = lim ± = lim ± ( 2 4) = 0. Dessutom kan vi notera att + då 2 och +2 +, samt då 2 + och +2. Svar: Lokalt ma i (0, 1/4), lokalt min saknas. Lodräta asmptoter för = ±2. Vågrät asmptot = 1 då ±. Figur = ( 2 +3) / ( 2 4)
14 7.3 Grafritning 47 Eempel Bestäm alla sneda asmptoter till kurvan f() = + arctan. Lösning: Linjen = k + m är en sned asmptot till kurvan = f() om det finns tal k och m sådana att f() k = lim ± och m = lim (f() k). ± Det följer att f() = + arctan Detta ger att k = 1. Vidare gäller att = 1 + arctan 1, då ±. { π/2, då + f() k = ( + arctan ) 1 = arctan π/2, då Alltså, har kurvan de sneda asmptoterna = + π 2 respektive = π 2. Figur = + arctan
15 48 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA Eempel Rita f() = arctan. Ange lokala etrempunkter, största och 1 minsta värde samt lodräta och vågräta asmptoter. Lösning:
16 7.4 Olikheter Olikheter Eempel Visa att ln (ln ) 2 2 för 1. Lösning: Självklart ska man rita funktionerna och se att grafen till ln (ln ) 2 ligger ovanför grafen till 2. Men det räcker inte som bevis. Vad man ska göra är att bilda en funktion f som skillnaden mellan funktionerna, t.e. om vi bildar funktionen f() = ln (ln ) 2 + 2, så är vi klara om vi kan visa att f() 0 för 1. Låt oss studera funktionen f(). Vi deriverar funktionen f() för > 1 och får f () = ln ln 1 = ln 2ln = ( 2)ln = 0 för = 2. En teckentabell blir 1 2 f () 0 + f() ց ր Funktionen f har alltså ett minsta värde f(2) = 2ln 2 (ln 2) 2 = (2 ln 2)ln 2 > 0. Dessutom har vi att och lim f() = lim (ln (ln )2 + 2) = 1 > 0, f() = ln (ln ) 2 + 2, då. Alltså är f() 0 för 1 och därmed klara. Figur f() = ln ( ln ) ln 2 ( ln 2 ) 2 2
17 50 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA Eempel Visa att arctan Lösning: + 1 för > 1.
18 7.5 Ekvationer Ekvationer Eempel Hur många rötter har ekvationen 2 ln = 1 i intervallet 0 < < 1. (Observera att vi bestämmer antalet och inte deras värden). Lösning: Vi bildar en funktion som är skillnaden mellan leden. Betrakta funktionen f() = 2 ln = 1 för 0 < < 1. Problemet att bestämma antalet rötter till ekvationen är detsamma som att bestämma antalet nollställen till f(). Produktregeln ger f () = 2 ln 1 = 1 ln > 0 för 0 < < 1, t ln < 0 för 0 < < 1. Alltså är f() strängt väande och kan ha högst ett nollställe, dvs ekvationen kan ha högst en rot. Vidare gäller att f() = lim ln 1) = 1, + +(2 och lim 0 lim 1 0 f() = lim ln 1) = 1. (2 1 Eftersom f är kontinuerlig så säger satsen om mellanliggande värden att till ett = 0 som ligger mellan = 1 och = 1 finns minst ett c där 0 < c < 1, så att f(c) = 0. Detta c är ett nollställe till f, dvs ekvationen högst en rot. Högst ett nollställe tidigare kombinerat med minst ett nollställe ger nu eakt ett nollställe. Ekvationen har alltså precis en rot i 0 < < 1. Figur f() = 2 ln 1 c 1
19 52 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA Eempel Hur många reella lösningar har ekvationen ln = arctan 2? Lösning:
20 7.5 Ekvationer 53 Eempel Bestäm för varje värde på konstanten a antalet skilda reella rötter till ekvationen 3 12 = a. Lösning: Vi studerar funktionen f() = 3 12 och jämför sedan med linjen = a. Det gäller att f () = = 3( 2 4) = 3( + 2)( 2) = 0 = ±2. Teckentabell: f () f() ր ց ր Dessutom gäller att och f() = 3 12, då f() = 3 12, då. Funktionen f:s största värde är f( 2) = 16 och minsta värde är f(2) = 16. Satsen om mellanliggande värden säger att ekvationen har: 1. en rot om a < 16 eller a > 16, 2. två rötter om a = ±16, 3. tre rötter om 16 < a < 16, = ( 3 12 ) En rot om a>16 Två rötter om a=16 Tre rötter om 16 < a < 16
21 54 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA
Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ============================================================
H9, Introduktionskurs i matematik EXTREMPUNKTER ============================================================. EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition. (Globalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA4 7-3-7. Funktionen f() 5 arctan + 4 arctan(/), med den föreskrivna definitionsmängden D f { R : > }, ar derivatan f () 5 + () + 4 ( / ) + (/) + 4 4 + + (4 + 6 ) ( + )( + 4 ) Detta
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b
Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs merx 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).
Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs mer3.1 Derivator och deriveringsregler
3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merNär vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)
GRAFRITNING För att skissera (rita) grafen till en funktion y f () undersöker vi först några viktiga egenskaper: definitionsmängd, eventuella skärningspunkter med och y-aeln, gränsvärdena f ( ), f ( )
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merLösningar kapitel 10
Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merTips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter.
ASYMPTOTER Definition. Den räta linjen är en lodrät (vertikal) asmptot till funktionen om å dvs om minst en av följande påståenden gäller lim, lim, lim lim Tips : Vertikala asmptoter kan finnas bland definitionsmängdens
Läs merTeorifrå gor kåp
Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför
Läs merLektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 4-5-7 Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L - 00 S 600 = 3 3 5 3850 = 5 7 847 = 7 största gemensamma delare till 600 och 3850: 5 minsta gemensamma multipel till 3850 och 847: 5 7 S a) +6+9 b)
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merRepetitionsuppgifter. Geometri
Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.
MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 5-- Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer aril 5, kl 9:-: (a) Vi använder
Läs merKontrollskrivning 25 nov 2013
Kontrollskrivning 5 nov 03 Tid: 3.5-5.00 Kurser: HF008 Analys och linjär algebra (analysdelen) HF006 Linjär algebra och analys (analysdelen) Lärare: Armin Halilovic, Inge Jovik, Richard Eriksson Eaminator:
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN SF66 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE den januari 0 kl 09.00-.00. Hur många gånger antar funktionen f) = ) värdet när varierar i intervallet 9? LÖSNING:
Läs merVäxande och avtagande
Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merKONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:
KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson oc Staffan Linnæus Niclas
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA 26-3-3. Funktionen f() = + 3 2 ln( + 3 2 ) är definierad för alla R oc ar derivatan f () = 3 vilket ger följande teckentabell: 2 6 + 3 2 = 92 2 + 3 + 3 2 = 9( )( 3 ) + 3 2, 3 +
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merx 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs merLösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)
Krzysztof Marciniak, ITN Linköings universitet tfn 0-36 33 0 krzma@itn.liu.se Lösningar till tentamen TEN i Envariabelanalys I (TNIU ) för BI 0--4 kl. 08.00 3.00. Enligt den geometriska betydelsen av derivatan
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merKap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merMälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merOm för en reellvärd funktion f som är definierad på mängden D gäller följande
OPTIMERING PÅ KOMPAKTA OMRÅDEN. Om för en reellvärd funktion f som är definierad på mängden D gäller följande 1. D är en KOMPAKT mängd. funktionen f är KONTINUERLIG på D då antar f sitt största och sitt
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merEnvariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13
Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner
Läs merExperimentversion av Endimensionell analys 1
Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM79 08-0-04 a Binomialsatsen medför att b Eftersom 5 = 3 + 4i 3 i 5 5 k 5 k k = 3 5 80 4 + 80 3 40 + 0 4i 3 = 3 + 4i3 + i 0 gäller att realdelen blir 9 4 + 3 = + i3 5 = 9 + i3, c Summan
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merKOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK
KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.
Läs merDenna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
Läs merHåkan L. (Skriv som en produkt. Gör uppdelningen i faktorer så långt det går.) 1. Faktorisera 25x Faktorisera 1. 3.
Övningsuppgifter för att stödja repetition av gymnasiets matematik Har sammanställt ett antal övningsuppgifter som hjälp att repetera några väsentliga delar av gymnasiets matematik På slutet finns uppgifter
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 5 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merStudietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22
Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merUppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim
Tentamen (TEN) i MATEMATIK, HF 7 dec 7 Tid :-7: KLASS: BP 7 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Denna lapp lämnar du in
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs mer201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merMATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.
MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.:
MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats.
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merTATM79: Föreläsning 4 Funktioner
TATM79: Föreläsning 4 Funktioner Johan Thim augusti 08 Funktioner Vad är egentligen en funktion? Definition. En funktion f är en regel som till varje punkt i en definitionsmängd D f tilldelar precis ett
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.:
MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats. Formulera
Läs mermed angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: 9.-3. Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper.
Läs merTENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2016 Skrivtid 9:00-13:00
TENTAMEN Kurs: HF9 Matematik, moment TEN (analys) Datum: 9 okt 6 Skrivtid 9:-: Eaminator: Armin Halilovic Rättande lärare: Erik Melander, Elias Said, Jonas Stenholm För godkänt betyg krävs av ma 4 poäng
Läs merFacit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson
Facit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson a) 9t u 9v b) a + c + 7 a) p + r b) c + b c) a c a) b) c) 8 d) e) f) 00 h) a) 0 z 8 b) 7a b c c) p q 9 r s a) 7 b) 8a 8 b 7 c c) a p b 7p a)
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merFÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.
FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte2 Studiematerialet
Läs merEndast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade!
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Annemarie Luger Lösningsförslag Anals, problemlösning, 7.5 hp Matematik I den 5 februari 4 Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merP03. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a 2.
Kap P. P0. (A) Rita följande kurvor a. = + = c. = [ + ], där [a] betecknar heltalsdelen av talet a d. sgn( ), där sgn(a) betecknar tecknet av talet a. P0. (B) För vilka reella gäller + + + 4? P0. (A) Visa,
Läs merLösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 9-3-7 kl 8.3-1.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merKapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner
Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.
Läs mer