MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6H3011 TEN

Transkript

1 TENTAMEN Datum: 0 maj 007 Kurs: MATEMATIK OCH MAT STATISTIK 6H000, 6L000, 6H0 TEN (Differential ekvationer, komplexa tal) Skrivtid: :5-7:5 Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken typ som helst Poängfördelning och betygsgränser: För betyg,, 5 krävs, 7 respektive poäng För komplettering krävs 0 poäng Lärare: Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic Denna tentamenlapp får ej behållas utan lämnas in Uppgift ) ( p) a) (p) Bestäm Re(w ) om w + 00 ( + i) i b) (p) Bestäm argumentet för z då z i ( + i 9 ) c) (p) Lös följande ekvation med avseende på u ( där ux+yi är ett komplext tal) u + u 5 + i Uppgift ) ( p) Ekvationen z 5z + 0 har en lösning z + i Bestäm alla lösningar Uppgift ) ( p) Lös ekvationen med avseende på y(x) 0 5y y(0)0 Ange lösning på explicit form ( dv s på formen yy(x) ) Var god vänd!

2 Uppgift ) ( p) Betrakta ekvationen y x( + y ) a) (p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen b) (p) Skriv lösningen på explicit form d v s på formen y f (x) c) (p) Bestäm den lösning som satisfierar begynnelsevillkoret y ( 0) Uppgift 5) ( p) Lös följande differentialekvationer a) (p) y y + cos( x) b) (p) y 5 y + 6y 6x + c) (p) y y + y sin x + cos x d) (p) x y y e (tips: resonansfall) Uppgift 6) ( p) Bestäm strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L H, resistansen R 6 Ω, kapacitansen C F och spänningen u ( 0 V Vid tiden t0 gäller det för strömmen att i(0)a och laddningen q ( 0) C Lycka till!

3 Uppgift ) ( p) a) (p) Bestäm Re(w ) om 00 ( + i) i w + b) (p) Bestäm argumentet för z då 9 i ( i) z + c) (p) Lös ekvationen med avseende på u u + u 5 + i Lösning: a) w ( + i) + i 00 (cos + i sin ) ( + i 0) + + Härav Re( w ) 0 Svar a: Re( w ) 0 z i b) i 9 ( + i) i (cos + i sin ) 6i (cos + i sin ) (cos + i sin ) + arg( z) Svar b: arg( z ) c) Vi substituerar u x + yi och u x yi i nedanstående ekvation u + u 5 + i ( x + yi) + ( x yi) 5 + i 5x + y 5 + i x och y u + i Svar b: u + i Uppgift ) ( p) Ekvationen

4 z 5z + 0 har en lösning z + i Bestäm alla lösningar Lösning: (Ekvationen har reella rätter och en komplex lösning z + i ( en lösning är z i ) Därför är polynomet z 5z + delbart med ( z z )( z z ) ( z i)( z + i) z + z + Vi delar z 5z + med z z + och får (z 5z + ) /( z z + ) z + Slutligen löser vi ekvationen och får den tredje lösningen z + 0 z / Svar : z + i, z i z / Uppgift ) ( p) Lös ekvationen med avseende på y(x) 0 5y y(0)0 Ange lösning på explicit form ( dv s på formen yy(x) ) Lösning Vi separerar och integrerar ekvationen 0 5y 5( y ) 5 y y 5 + y + y ln 5x + C ln 0x + C y y + y 0x+ C + y C 0x + y 0x e ± e e Ae y y y 0x + y ( y) Ae 0x y + yae 0x Ae 0x Ae y 0x Ae + 0x Ae Svar y 0x Ae + Uppgift ) ( p) Betrakta ekvationen: y x( + y ) a) (p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen b) (p) Skriv lösningen på explicit form d v s på formen y f (x) c) (p) Bestäm den lösning som satisfierar begynnelsevillkoret y ( 0) Lösning: Vi separerar och integrerar ekvationen

5 y x( + y + y + y x arctan y x Svar a) ) x + C arctan y x + C är den allmänna lösningen på implicit form b) arctan y x + C y tan( x + C) Svar b) y tan( x + C) är den allmänna lösningen på explicit form c) Substitutionen y ( 0) i y tan( x + C) ger tan(0 + C) C ( + k ) y tan( x + ) Svar c) y tan( x + ) Uppgift 5) ( p) Lös följande differentialekvationer a) (p) y y + cos( x) b) (p) y 5 y + 6y 6x + c) (p) y y + y sin x + cos x d) (p) x y y e (tips: resonansfall) Svar a) y ( x) tan(sin x + C) x x Svar b) y( x) C e + Ce + x + x x Svar c) y( x) C e + Ce + cos x x x Svar d) y( x) Ce + Ce + xe x Uppgift 6) ( p) Bestäm strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L H, resistansen R 6 Ω, kapacitansen C F och spänningen u ( 0 V Vid tiden t0 gäller det för strömmen att i(0)a och laddningen q ( 0) C

6 Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + R i( + q( U (ekv) dt C (efter subst L, R och C) i ( + 6i( + q( 0 (ekv ) i(0) och q( 0) ger i (0) + 6i(0) + q(0) 0 i (0) + 0 i (0) Derivering av ( ekv ) ger: i ( + 6i ( + i( 0 (ekv ) t t Härav i( Ce + Ce Alltså: t t i( C e + C e medför i t t ( Ce Ce För att bestämma C och C använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) 0 och i ( 0) 6, och får C + C C C Härav C 0, C och därför t i( e Svar: i( e t