Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så

Transkript

1 Kurs: HF90 Matematik, Moment TEN (Linjär Algebra) ) Datum: 4 augusti 08 Skrivtid 08:00 :000 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävss 0 av maxx 4 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive 0 poäng. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betygg Fx). Vem som har rätt till kompletteringg framgår av betyget Fxx på MINA SIDOR. Komplettering sker c:a två t veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F. Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) n). Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namnn och personnummer påå varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Skriv klass på omslaget, A, B eller C. Denna tentamenslapp får f ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar ==== ===== ====== ====== ====== ===== ====== ====== === Uppgift. (4p) a) Bestäm allaa reella tal x som uppfyller olikheten ( x )( x )( x ) 0. (p) x b) Lös ekvationen x x x. (p) Uppgift. (4p) a) Bestäm vektor w A B-C om vektor A (,, ), vektor B (,, ) och vektor C (,,). (p) b) Bestäm k så att vektorerna u (, 5, 4) och v (, 5k, 6) blir parallella. (p) c) En triangel har hörnen i punkternaa A = (, 5, 0), B = (-5,,, 7) och C = (0, 0, 0). Undersök om triangeln är rätvinklig. (p) Var God Vänd!

2 Uppgift. (4p) Betrakta följande ekvationssystem med avseende på x, y och z xyz x y 4z 0 5x 0yaz b Bestäm vilken typ av lösning; om den är unik lösning, parameterlösning eller ingen lösning, ekvationssystemet har för varje värde på konstanterna a och b. Bestäm även den eventuella parameterlösningen. Uppgift 4. (4p) a) Lös matrisekvationen XA C XB, 4 där A, B och C. (p) 0 b) Låt A och B k och bestäm parametern k så att produkten AB E (p) Uppgift 5. (4p) a) Ett plan med en normalvektor n (, 0, ) går genom punkterna A (, 0, ) och B (,,). Bestäm en vektor i planet som är vinkelrät mot en linje som går genom punkterna A och B. (p) b) Bestäm avståndet mellan följande parallella plan xyz5 0 och xyz 0. (p) Uppgift 6. (4p) Masscentrum för en godtycklig kropp bestäms via OT ( m OP m OP m n OPn ) m där P, P,, P ) är koordinater, med hänsyn till origo O, för kroppens olika delars ( n masscentrum med motsvarande massorna m m m ) samt m m m m ). ( n ( n Om en kropp består av två delkroppar A och B. Delkropp A är en homogen kub med densiteten 4000 kg / m och kantlängd m. Delkropp B är en homogen klot med densiteten 000 kg / m och radien m. Klotet är placerat på kuben enligt figuren nedan. Var God Vänd!

3 Inför ettt koordinatsystem med origo som ligger i ett av kubens hörn och bestäm masscentrum till kroppen Lycka till!

4 Lösningsförslag Uppgift. (4p) a) ( x)( x)( x) 0 x Teckenschema - x x x x ( x )( x)( x) x - Ej + Ej - Ej + Ej - Teckenschema ger att x, x och x som uppfyller olikheten. b) x x x Vi har att x om x x x om x och x x om x x om x Tre fall: x ger ekvationen xxx x som är lösning. x ger ekvationen x xx x som är lösning. x ger ekvationen x xx x som är lösning. a) Rätt eller Fel. Enstaka räknefel ger -p. b) Fel definiering av intervallen -p. Ej undersökning att lösningen tillhör de olika intervallen -p Uppgift. (4p) a) Bestäm vektor w A B-C om vektor A (,, ), vektor B (,, ) vektor C (,,). wa+b- C (4,, 4) (,, ) (,4,) (4,0, 5). och b) vektorerna u (, 5, 4) och v (, 5k, 6) är parallella om det finns ett tal t så att v tu (, 5k, 6) t(, 5, 4) då erhålls t: 4

5 t t 5 7 5k5t k 0 c) Teckna sidvektorer CA och CB CA (, 5, 0), CB ( 5,, 7) CA CB (,5,0) ( 5,,7) Eftersom skalärprodukt är noll innebär att triangeln har en rät vinkel. I detta fall vid hörnet C. a) Rätt eller fel. b) Rätt eller fel. c) Fel sidvektorer ger 0p. Uppgift. (4p) xyz x y 4z 0 5x 0yaz b Eftersom 4 5a 5 så följer det att ekvationssystemet har entydig lösning då 5 0 a a 7. Undersökning av fallet då a 7 : xyz x y4z 0 x y 4z 0 ( byte mellan radoch rad) x y z 5x 0y 7z b 5x0y7z b x y4z 0 x y4z 0 x y4z 0 xyz 5y9z 5y9z 5x 0y 7z b 5y 7z b 0 b6 Om b 6 erhålls sista raden 0 = 0 vilket ger att Ekv. Sys. Har en parameter lösning. Om b 6 har systemet ingen lösning. Om a 7 och b 6 blir ekvationssystemet x y4z 0 5y9z 0 0 5

6 9 Låt z t 5y9z y t 5 5 x y4z 0 xy4z x t 5 5 Rätt determinant beräkning samt rätt värden på a när lösningen inte är exakt ger p. Korrekt resonemang och svar till ekvationssystemets lösningstyper. Uppgift 4. (4p) a) XA C XB XA XB C A X ( A B) C 4, X C( A B) B 0 X ( A B)( A B) och C C( A B) XE C( A B) 0 ( A B) så är X C( A B) 0 b) Matris multiplikation ger: k 4k 4k k 5 a) p för rätt ekvationslösning, fel här ger 0p. Resten rätt ger p. b) Rätt eller fel Uppgift 5. (4p) a) Linjen som går genom punkterna har riktningsvektorn: r (,,) (, 0,) (0,, 0) Denna riktningsvektor är vinkelrät mot planets normalvektor, och även alla vektorer som ligger i planet är vinkelräta mot planets normal. Därför den vektorn som är vinkelrät mot linjen är även vinkelrät mot planets normal och kan bestämmas via vektorprodukt n r. i j k vnr 0 6i0j k ( 6,0,) 0 0 6

7 b) De två planen är parallella för dess normalvektorer är parallella som i detta fall har samma normalvektor n (,, ). En godtycklig punkt P (,,) från planet xyz5 0 väljs och det kortaste avståndet mellan punkten och det andra planet bestäms via: ax0 by0 cz0 d Avstånd a b c a) Fel linjens riktningsvektor ger 0p. Rätt uppställd kryssprodukt men felräknad ger p. b) Rätt eller fel. Uppgift 6. (4p) Kubens masscentrum ligger i P (,, ). Kubens massa är m kg. Klotets masscentrum ligger i P (,, ). Klotets massa är m kg OT ( m OP m OP ) 000(,,) (,, ) (,, ) m Svar: Masscentrum är T (,, ) Rätt masscentrum för både kuben och klotet ger p. Fel här ger 0p. Rätt uttryck OT ( m OP m OP ) ger p och resten är korrekt beräknad ger p. m 7