DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Transkript

1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation är ordinär om den okända funktionen beror av variabler. T e. y ( y( sin( är en ordinär DE (Den okända funktionen y ( beror av en variabel ii) Om den okända funktionen beror av eller flera variabler ( då kallas funktionens derivator för partiella derivator ) kallas DE för partiell differentialekvation. T e. f f (, y) (, y) y y är en partiell DE. I vår kurs ingår endast några typer av ordinära DE. EKVATIONENS ORDNING En differentialekvations ordning definieras som ordningen hos den högsta förekommande derivatan. T e. a) Ekvationen 0 ( y( är av tredje ordningen. y d y dy b) Ekvationen y ln är av andra ordningen. d d 8 c) Ekvationen y ( t är av första ordningen. Uppgift. Bestäm ordningen av följande differentialekvationer a) y ( sin y ( dy d y d y b) y tan t dt dt dt Svar. a) tre b) fyra LÖSNING TILL EN DIFFERENTIALEKVATIONEN En lösning till en differentialekvation är en funktion som är definierad på ett intervall (a,b) och som på detta intervall uppfyller det samband som differentialekvationen anger. T e e är en lösning till ekvationen y ( 0 på intervallet (, ). Uppgift. Bestäm om y ( är en lösning till differentialekvationen y ( 5 om a) e b) Ce där C är ett konstant tal c) e av 6

2 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Differentialekvationer. Inledning Lösning: a) Först, från y ( ) e ekvationen och får : y ( 0e 5. Vi substituerar ) och y( ) i 5 Vänsterledet VL= y ( 5 0 e 5( e ) Eftersom HL = 5 ser vi att VL =HLL Därmed är y ( e en lösning tilll DE Svar. a) ja b) ja c) nej Uppgift. Bestäm om y ( är en lösning till differentialekvationen y ( y( y ( 0 om a) y ( e b) y ( 0e c) e, d) y ( ) Ce ( C är ett konstant tal) Svar. a) ja b) ja c) ja d) ja e) nej e) ( e ( ) ENKLA EKVATIONER AV TYP y n ( f ( Ekvationer av typ ( ) y n ( f ( (dvs. derivatan av ordning n är given eplicit som enn funktion av löser vi genom upprepad integration. Vi integrerarr högerledett f ( n gånger.. Ekvationen y ( f ( har oändligt många lösningar f ( d C Eempel. Lös ekvationen y (. Lösning: Från y ( d C ( där C ett ett konstant tal) Alltså oändligt många lösningar. Alla ges av uttrycket C (Den allmänna lösningen) För varje val av konstanten C får vi en lösning (en partikulär lösning). Till eempel, för C = en partikulär lösning. för C = en annan partikulär lösning. I grafen bredvid lösningskurvorna för C =, 0,,, och. av 6

3 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Uppgift. a) Lös ekvationen y ( b) Bestäm den lösning som uppfyller kravet y ( ) 5. Lösning. a) Från y ( ( ) d C Alltså är C den allmänna lösningen. b) För att få den lösning som uppfyller kravet ) 5 substituerar vi = och y=5 i den allmänna lösningen C och bestämmer C. Vi har 5 C som ger C=. Alltså är y ( den lösning som uppfyller y ( ) 5. Svar. a) y ( ) C b) y (. Ekvationen y ( f ( har oändligt många lösningar som vi får genom att integrera högerledet två gånger: Först bestämmer vi första derivatan genom att integrera andra derivatan y( f ( d C. Därefter integrerar vi en gång till och får ( f ( d d C C Uppgift 5. Lös ekvationen y ( sin Lösning. Från y ( sin y( (sin ) d cos C Integrera en gång till: 5 ( cos C) d sin C C 0 5 Svar. sin C C 0 Uppgift 6. a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y ( 0sin b) Bestäm den lösning som uppfyller begynnelsevillkoren y ( 0) y ( 0) Lösning. a) Från y ( 0sin y( (0 sin ) d 0cos C av 6

4 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integrera en gång till: ( 0cos C) d 0sin C C Alltså är 0sin C C den allmänna lösningen. b) Från y ( 0) och allmänna lösningen 0 0sin 0 C 0 C C Från y ( 0) och y ( 0cos C 0cos0 0 C 0 C C Därmed är y ( 0sin den sökta lösningen som uppfyller båda villkor. Svar. a) 0sin C C b) y ( 0sin TILLÄMPNINGAR Hastighet och acceleration vid en rätlinjig rörelse. Låt s ( beskriva position av en objekt som rör sig rätlinjig längs s-aeln (t e -aeln y-aeln eller z-aeln). Då följande formler för hastigheten v (, farten v ( och accelerationen : Positionen vid tiden t: s s( Hastigheten : v( s( Farten: v( s( Accelerationen a( s ( den totala längden av vägen som objekt passerar under tidsintervall t t t är t L v( dt. t Härav kan vi beräkna positionen s( om hastigheten v( är känd: s ( v( dt C Om vi vet accelerationen a( då kan vi beräkna hastigheten v ( a( dt C och därefter integrera en gång till för att få positionen s ( v( dt C Uppgift 7. En partikel rör sig längs y-aeln med accelerationen a ( ( i lämpliga enheter t e m/s ). Vid tidpunkten t betecknar vi partikelns position med och partikelns hastighet med v(. Bestäm partikelns position och v( om 0) =50 och ) =. Tips: y ( v(, y ( v( a( Lösning: Från y ( a( y (. av 6

5 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Differentialekvationer. Inledning Därför ( efter en integration) y( ( ) dt t C Vi integrerar en gång till och får f ( t C) dt t Ct D. Alltså t Ct D Konstanterna C och D bestämmer vi medd hjälp av givna villkor 0) =50 och ) =. Först, från 0) =50 får vi 50 D och därför t Ct 50. Nu substituerar vi ) = och får C 50 C 6 Alltså t 6t 50 Nu v( y ( t 6 Svar: t 6t 50 och v( t 6 Uppgift 8. En balk med belastning w( är fast i båda änder. Om ett koordinatsystem med origo i den första punkten inläggs som i ovanstående e figuren, satisfierar koordinaterna (,y) för en godtycklig punkt på balken följande differentialekvation d y w( 0. d EI a) Bestäm då w( 50( ), EI 0) 0, ) 0 y( 0) 0 och y( ) 0 b) Rita grafen (med miniräknare) till, 0 Lösning. w( Vi substituerar 50( d y w( ) i ekvationen 0 och får EI d EI d y 50( ) 0 d d y eller d 5 av 6

6 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Vi integrerar fyra gånger och för f den allmänna lösningen Villkoren 0) 0 och y(0) 0 ger C =0 och C=0 Från ) 0 och y ( ) 0 får vi och därmed = b) Grafen till funktionen (balken med belastning): Svar. a) = b) Se grafen. 6 av 6