EXISTENS AV EN UNIK LÖSNING TILL FÖRSTAORDNINGENS BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "EXISTENS AV EN UNIK LÖSNING TILL FÖRSTAORDNINGENS BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM"

Kristin Samuelsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 EXISTENS AV EN UNIK LÖSNING TILL FÖRSTAORDNINGENS BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM Vi betraktar ett begnnelsevärdesproblem IVP, initial-value problem) av första ordningen som är skrivet på normal form IVP1) Man kan inte lösa exakt varje sådant problem Ett begnnelsevärdesproblem som vi inte kan lösa exak försöker vi lösa med en av många numeriska metoder Innan vi använder en numerisk metod är det viktigt att veta om vårt problem ar någon lösning oc, om detta är fall, att veta om lösnigen är entdig I nedanstående sats ges tillräckliga villkor som garanterar att det finns ett ibland litet) intervall kring punkten x så att IVP1) ar exakt en lösning på detta interval Sats 11 EXISTENS OCH ENTYDIGHETSSATS T 11 Existence of a Unique Solution, Zill, Wrigt) Låt Ω vara ett rektangulärt område i x-plane definierad av inneåller punkten x, ) i sitt inre Om följande två villkor 1 F kontinuerlig på Ω, oc a x b, c d, som är kontinuerlig på Ω, är uppfllda då existerar ett intervall I x, x ) som ligger i a, b) sådant att begnnelsevärdesproblemet ar på I exakt en lösning IVP1) d c x, ) O a x x b x Sida 1 av 7

2 Anmärkning 1 Vi kan kort sammanfatta satsen på följande sätt: { F oc är kontinuerliga i en omgivning av punkten x, ) } { Det finns ett intervall x, x ) där IVP1, ar exakt en lösning} Exempel 1 Vi betraktar ekvationen x sin ) Låt x, ) vara en vilken som elst) punkt i x-planet Visa att det finns ett intervall I x, x ) sådant att IVP1) x sin ) ar exakt en lösning på I x, x ) } Lösning Beteckna ögerledet i ekvationen) F x sin ) Villkor 1: Funktionen F x sin ) är uppenbart definierad oc kontinuerlig för alla, dvs i ela x-planet Notera att en elementär funktion är kontinuerlig inom sin definitionsmängd) F Villkor : Funktionen x cos ) är också kontinuerlig för alla, dvs i ela x-planet Därmed är villkoren i satsen uppfllda Enligt sats 11 finns det ett intervall ett intervall x, x ) där IVP1 ar exakt en lösning Anmärkning Viktigt!) Korrekt tolkning av sats 11 Om F oc kontinuerliga i en omgivning av punkten x, ) då gäller följande: är 1 Det finns minst en lösning till IVP1), dvs minst en lösningskurva går genom x, ) Om flera lösningskurvor går genom x, ) då existerar ett ibland litet ) intervall runt x, I x, x ), där alla lösningskurvor sammanfaller Följande två figurer visar två möjliga fall om villkoren i satsen är uppfllda dvs om F oc är kontinuerliga i en omgivning av punkten, ) x : Fall 1 Exakt en lösning går genom punkten x, ) Sida av 7

3 x, ) Fall Det kan ända att flera lösningar även oändligt många) går genom x, ) trotts att villkoren i sats 11 är uppfllda Men då existerar ett ibland litet ) intervall I x, x ), runt där alla lösningskurvor sammanfaller dvs alla lösningar är identiska på I ) I nedanstående graf är f 1 x ), f x), f x) f x) 3 4 lösningar som går genom x, ) I punkten A, som ligger utanför I, x x ), tangerar kurvorna f 1 x ) oc f x) varandra, dvs, de två kurvorna ar samma tangent i punkten A Om vi ar en situation som på nedanstående graf då är de två villkor i sats 11 inte uppfllda i punkten A Oavsett ur litet intervall ar vi runt A finns det alltid minst två olika lösningskurvor i detta intervall som går genom A ) Fig 1 x, ) f x 1 ) f 3 x ) f 4 x) f x ) x x Alltså är entidiget i ovanstående sats inte en global utan en lokal egenskap En unik lösning genom x, ) i ett interval I x, x ) kan ibland utvecklas i två eller flera lösningar utanför detta intervall Enligt ovanstående sats är eventuell förgrening möjligt endast utanför området a x b, c d ) I en situation som vi ar i ovanstående graf ar begnnelsevärdesproblemet exakt en lösning på intervallet I x, x ) medan samma problem ar fra olika lösningar på intervallet I x, ) 1 b Sida 3 av 7

4 Anmärkning 3 Om F oc är kontinuerliga i ela x-planet då är entidiget en global egenskap Med andra ord, lösningen till är unik på sitt ela existensintervall Situationen som i Fig 1 är i detta fall omöjligt eftersom satsens villkor gäller i alla punkter, därmed även i punkterna A, B oc C Förgrening av en lösningskurva är därför omöjligt) =========================================================== Uppgift 1 Visa att genom punkten 3,57) går exakt en lösning till ekvationen e sin x sin ) Lösning sin Beteckna F e x sin ) sin Villkor 1: F e x sin ) är uppenbart kontinuerlig för alla Motivering: F är en elementär funktion som är definierad för alla En elementär funktion är kontinuerlig i sitt definitionsområde Därmed är F kontinuerlig för alla F Villkor : cos ) är kontinuerlig för alla Därför kan vi välja ett rektangulärt område kring punkten 3,57) där både F oc är kontinuerliga Enligt existens oc entdigetsatsen går genom punkten 3,57) exakt en lösning till DE Uppgift Visa att genom en godtcklig punkt a, b) i R går exakt en lösning till ekvationen d 3 dz sin t a) x sin b) x cos c) t cos d) e cos z dt dt Lösning: F a) Både F x sin oc cos är kontinuerliga för alla Från ovanstående sats följer att genom en godtcklig) punkt a, b) går exakt en lösning Sida 4 av 7

5 F b) Funktionerna F t sin t cos oc t sin Enligt sats 11 går exakt en lösning genom punkten a, b) 3 F c) Funktionerna F t cos oc 1 sin Enligt sats 11 går exakt en lösning genom punkten a, b) är kontinuerliga för alla är kontinuerliga för alla sin t F z) d) Funktionerna F z) e cos z oc sin z är kontinuerliga för alla z Enligt sats 11 går exakt en lösning genom punkten a, b) Anmärkning 4 Satsen ger endast tillräckliga villkor för en unik lösning genom punkten x, ) Om ett av de två villkoren inte är uppflld då kan IVP1) a ingen, exakt en, ändligt många eller oändligt många lösningar, som vi undersöker generellt i sådana fall) genom att lösa IVP1) Uppgift 3 Vi betraktar DE a) I vilka punkter är antaganden för sats 11 uppfllda? b) Hur många lösningar går genom punkten 1, 3) c) Bestäm minst två lösningskurvor som går genom punkten,) d) Låt, ), där vara ett godtckligt intervall kring punkten Visa att man kan konstruera oändligt många lösningar som går genom punkten,) oc är definierade på, ) Tipps: Lösningar kan vara stckviss definierade Lösning: a) Vi ar F oc F 1 Båda funktioner ör definierade oc kontinuerliga om Alltså är satsens villkor uppfllda i de punkter som ar b) Ingen lösning går genom punkten 1, 3) eftersom själva ekvationen inte är definierad om c) Fortsättning av uppgiften kan du lösa efter att du ar lärt dig lösningsmetoden för separabla DE) Vi löser ekvationen en separabel DE) Sida 5 av 7

6 Först noterar vi att den konstanta funktionen är en lösning eftersom så att VL= oc HL=) Denna lösningen går genom punkten,) För att finna eventuella andra lösningar separerar vi variabler i d Vi skriver oc separerar variabler vi flttar alla till vänster oc alla x till dx ögersidan ): d d dx dx Variabler är separerade; vi integrerar båda leden oc lägger en konstant till öger): d 1/ 1/ dx x C x C / ) eller, om vi skriver C/ =D, x D) *) Den allmänna lösningen) Villkoret ) substituerar vi i *) oc får D ) D Alltså är x en lösning till DE som går genom,) Dessutom ar vi den singulära) lösningen Därmed ar vi funnit två lösningar x oc som går genom,) d) Notera att varje lösning x D) tangerar kurvan dvs x-axeln) i punkten x = D Låt a vara en godtcklig punkt i intervallet, ) Då är x) x a ) f a för för x a x a en lösning till DE som går genom,) Notera att i punkten x=a är både, vänster- oc ögerderivatan = Därför kan vi kombinera delar de två lösningar oc x a) till en n lösning) Sida 6 av 7

7 Eftersom vi kan välja en punkt a i intervallet, ) på oändligt många sät ar vi konstruerat oändligt många lösningar till DE, )= som är definierade på intervallet, ) Några sådana lösningskurvor visar vi i nedanstående graf Sida 7 av 7

Relevanta dokument

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma