Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 4 juni 2008 Tid:

Transkript

1 Tentamen i Matematik HF9 (6H9) 4 juni 8 Tid: 85 5 Lärare: Agneta Ivarson, Armin Halilovic, Bengt Mattiasson, Taras Kentrschynskyj, Ulf Djupedal Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6,3 respektive 9 poäng (Gamlakurser: För betyg 5, 4, 3 krävs, 6 respektive 9 poäng ) Komplettering: 8 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F Detta blad lämnar du in tillsammans med lösningar! Uppgift a) För vilka värden på k är vektorerna a + 3b och b + kc vinkelräta (p) då a = (,,), b =(,,) och c =(,,)? b) Beräkna arean av det parallellgram som uppspänns av vektorerna (p) a = (,,) och b =(,,) c) Bestäm det kortaste avståndet från punkten A= (3,3,) (p) till linjen ( x, y, z) = ( t, t, t) Uppgift a) Lös matrisekvationen med avseende på X (p) 5 4 XA +B= C då A =, B = och C = 3 4 b) Lös följande ekvation med avseende på x (p) 8 ( x ) = 4 ( x ) Uppgift 3 Beräkna följande integraler: a) dx (p) x 3x b) xe x dx c) x cos( x + 5) dx (p) (p)

2 Uppgift 4 För vilka värden på parametern a har systemet ( med avseende på x, y och z) x + y + z = x + y + z = 3x + 5y + az = 3 a) exakt en lösning (p) b) ingen lösning (p) c) oändligt många lösningar (p)? Uppgift 5 Betrakta funktionen + 5 y = x a) Bestäm eventuella asymptoter (p) b) Bestäm eventuella extrempunkter (p) c) Rita grafen till funktionen (p) Uppgift 6 Bestäm minsta värdet för f ( x) då t f ( x) = cos( t) xcos( ) + x dt Uppgift 7 En ljusstråle går genom punkten P=(,, 5) och har riktningen v = (,, 5) Strålen reflekteras mot planet Π : x + y + z = Därefter den reflekterande strålen skär den andra planet Π : x y z = 3 i punkten M (se bilden nedan) Bestäm koordinaterna till punkten M P n M Π Π + Uppgift 8 Låt y = a) Bestäm eventuella extrempunkter, asymptoter och rita grafen till funktionen (p) + b) Bestäm antalet lösningar till ekvationen = a för olika värden på a (p) Lycka till!

3 FACIT Uppgift a) För vilka värden på k är vektorerna a + 3b och b + kc vinkelräta (p) då a = (,,), b =(,,) och c =(,,)? b) Beräkna arean av det parallellgram som uppspänns av vektorerna (p) a = (,,) och b =(,,) c) Bestäm det kortaste avståndet från punkten A= (3,3,) (p) till linjen ( x, y, z) = ( t, t, t) a) (a + 3b ) ( b + kc) = (, 3, 3) (k,, + k) = k k = 5k = 6 k = 6 / 5 Svar a) k = 6 / 5 i j k b) a b = = i + j 3k Arean = a b = = 4 areaenheter Svar b ) 4 areaenheter c) Vi utgår från en godtycklig punkt P = ( t, t, t) och bildar vektorn AP = ( t 3, t 3, t) Vi bestämmer parametervärde t så att AP och linjens riktningsvektor (,,) blir vinkelräta ( t 3, t 3, t) (,,) = t 3 + t 3 + 4t = t = Härav AP = (,,) och det kortaste avståndet är AP = = 3 Svar c ) Det kortaste avståndet är 3 Uppgift a) Lös matrisekvationen med avseende på X (p) 5 4 XA +B= C då A =, B = och C = 3 4 b) Lös följande ekvation med avseende på x (p) 8 ( x ) = 4 ( x ) a) Matrisen A är inverterbar eftersom 5 4 det A = =

4 4 Invers matris: A = 5 XA + B= C XA = C B Vi multiplicerar ekvationen från höger med A - och får XA A - = (C B )A - X= (C B )A - X = 3 Svar a) X= 4 = b) x 8 ( x ) 4 =, ( x ) x = 3 =, x = ( x ) = 4 = ( x ) ( x ) 4 = x = ± Svar b) x 3 Uppgift 3 Beräkna följande integraler: a) dx (p) x 3x b) xe x dx c) x cos( x + 5) dx a) dx x 3x Först delar vi = i partiella bråk: x 3x x( x 3) A B = + x( x 3) x x 3 = A( x 3) + Bx = ( A + B) x 3A Identifiering mellan koefficienterna ger A + B = 3A = Härav A = / 3 och B = / 3 och därmed dx = + dx = x + x + C x 3x ( ) ln ln 3 3 x 3 x Svar a) ln 3 x 3 ln x + C 3 (p)

5 b) xe x dx t e = dt = x = t substitution dt xdx = dt xdx = t e + C = x e + C Svar b) e x + C c) x cos( x + 5) dx Partialintegration = x sin( x + 5) sin( x + 5) dx = x sin( x + 5) + cos( x + 5) + C f ( x) = x f ( x) = g ( x) = cos( x + 5) g( x) = sin( x + 5) Svar c) = x sin( x + 5) + cos( x + 5) + C Uppgift 4 För vilka värden på parametern a har systemet ( med avseende på x, y och z) x + y + z = x + y + z = 3x + 5y + az = 3 a) exakt en lösning (p) b) ingen lösning (p) c) oändligt många lösningar (p)? Koefficientmatrisen A = 3 5 a ger det A = = a a det A = a = 3 i) Om a 3 har systemet exakt en lösning ii) Vi substituerar a = 3i systemet och får x + y + z = x + y + z = x + y + z = y = 3x + 5y + 3z = 3 y = Alltså är systemet olösbart om a = 3 x + y + z = y = = Svar: a) Exakt en lösning om a 3 b) Ingen lösning om a=3 c) Fallet oändligt många lösningar kan inte förekomma

6 + 5 Uppgift 5 Betrakta funktionen y = x a) Bestäm eventuella asymptoter (p) b) Bestäm eventuella extrempunkter (p) c) Rita grafen till funktionen (p) (p) Funktionens definitionsmängd: x a)asymptoter: a) Vertikal (lodrät) asymptot: x = ( eftersom y ± då x ± ) a) Polynomdivision ger + 5 y = = x + x x Funktionen har en sned asymptot y = x b) Extrempunkter + 3 y =, y = 3 ( x ) ( x ) + 3 y = = x =, x = 3 ( x ) Två stationera punkter S (, ), maximum eftersom y ( ) < S (3,), minimum eftersom y ( 3) > c) Funktionens graf Skärningspunkter med x-axeln saknas eftersom ekvationen y= har ingen reell lösning Skärningspunkten med y-axeln är 5 y ( ) = Funktionens graf:

7 Uppgift 6 Bestäm minsta värdet för f ( x) då t f ( x) = cos( t) xcos( ) + x f ( x) t = cos( t) x cos( ) + x sin( t) = 4x = + x 4x t sin( ) + x t = t t = dt dt Härav f ( x) = 4 + x, och f ( x) = Stationär punkt: 4 f ( x) = + x = x = Substitutionen i f(x) ger f ( ) = + = ( minimum eftersom f ( x) = > ) 4 Alltså f min = 4 Svar : f min = ( för x = ) Uppgift 7 En ljusstråle går genom punkten P=(,, 5) och har riktningen v = (,, 5) Strålen reflekteras mot planet Π : x + y + z = Därefter den reflekterande strålen skär den andra planet Π : x y z = 3 i punkten M (se bilden nedan) Bestäm koordinaterna till punkten M P n Q R M P P B Linjen L genom punkten P har ekvationen: ( x, y, z) = ( t, t, 5 5t) Skärningspunkten B mellan linjen L och planet Π : x + y + z = fås ur t + t + 5 5t = t = B = (,, ) Nu bestämmer vi projektionen Q av punkten P på normallinjen genom B ( se bilden) Eftersom BP =(-,-,5) och n =(,,) har vi

8 BP n + 5 BQ = proj n ( BP) = n = (,,) = (,,) n n 3 Härav punkten Q=(,,) Låt punkten R vara spegelbild av punkten P i normallinje genom B Då gäller PR = PQ = (,, 4) = (4,4, 8) och därför R=(4,4,-3) Den reflekterande strålen går genom B och R och därför har riktningsvektorn BR = ( 3,3, 3) Ekvationen för linjen L: ( x, y, z) = ( + 3t, + 3t, 3t) Skärningspunkten mellan L och planet Π : x y z = 3 är nu enkelt att bestämma ( + 3t ) ( + 3t) ( 3t) = 3 t = och M=(3, 3, 3) Svar: M=(3, 3, 3) + Uppgift 8 Låt y = a) Bestäm eventuella extrempunkter, asymptoter och rita grafen till funktionen (p) + b) Bestäm antalet lösningar till ekvationen = a för olika värden på a (p) Funktionens definitionsmängd: Villkor : x > Villkor : x e a) Asymptoter: Vertikal (lodrät) asymptot: x = e ( eftersom y ± då x ± ) + lim x x x Anmärkning = [L Hospital] = lim = + x+ Horisontell (vågrät) asymptot y = eftersom + lim = lim x = x + x+ x Funktionen har en horisontell asymptot y = Extrempunkter: y = x( ) Stationera punkter saknas Skärningspunkter med x-axeln : x = e

9 Funktionens graf + b) Ekvationen = a i) ingen lösning om a = ii) exakt en lösning om a har