MATEMATIK 5 veckotimmar

Transkript

1 EUROPEISK STUDENTEXAMEN 2010 MATEMATIK 5 veckotimmar DATUM : 4 Juni 2010 SKRIVNINGSTID : 4 timmar (240 minuter) TILLÅTNA HJÄLPMEDEL : Skolans formelsamling Icke-programmerbar, icke-grafritande räknedosa SÄRSKILDA INSTRUKTIONER : Svara på alla fyra obligatoriska uppgifterna. Markera med kryss på det medföljande formuläret vilka två av de tre valbara uppgifterna som valts ut. Använd skilda svarspapper för varje uppgift. Sida 1/8 SV

2 OBLIGATORISK UPPGIFT 1 ANALYS Följande funktion f är given 2 x 1 f ( x). 2 x a) i. Bestäm definitionsmängden till f, de interval där f ökar eller minskar och en ekvation för var och en av asymptoterna till grafen till f. ii. Rita grafen till f. b) i. Tangenten till grafen till f i punkten ( 1, 2) skär x-axeln i punkten A och y-axeln i punkten B. Beräkna längden av linjesegmentet AB. ii. Beräkna arean av området som begränsas av grafen till f, x-axeln och de räta linjerna x 1och x 2. 5 poäng 1 poäng Sida 2/8

3 OBLIGATORISK UPPGIFT 2 ANALYS I en viss kemisk reaktion bildas ett nytt ämne. Efter t sekunder har det bildats m gram av ämnet. Funktionen mt () uppfyller följande differentialekvation : dm dt 2 (50 m). 500 a) Lös denna differentialekvation under förutsättning att m = 0 vid t = 0. 6 poäng b) i. Beräkna massan av detta ämne som har bildats efter 100 s. 2 poäng ii. Beräkna tiden det tar att bilda 40 gram av ämnet. iii. Visa att massan av ämnet som på detta sätt bildas aldrig kan överstiga 50 gram. 2 poäng 2 poäng Sida 3/8

4 OBLIGATORISK UPPGIFT 3 GEOMETRI I ett ortonormerat koordinatsystem är följande punkter givna O(0, 0, 0), P (1, 1, 3), Q (1, 5, 2), R (0, 3, 1) och S (1, 4, 1). a) i. Visa att den räta linjen OP är vinkelrät mot de räta linjerna OQ och OR. ii. Bestäm en ekvation för planet QOR och visa sedan att punkten S ligger i detta plan. b) i. Beräkna avståndet mellan punkten P och planet QOR. ii. Bestäm arean av triangeln SPR. 4 poäng Sida 4/8

5 OBLIGATORISK UPPGIFT 4 SANNOLIKHETSLÄRA En kortlek består av tio kort som är numrerade från 1 till 10. Från denna kortlek dras slumpmässigt fyra kort, ett efter ett och utan återläggning. a) i. Beräkna sannolikheten att alla tal som dragits är mindre än eller lika med 6. ii. Beräkna sannolikheten att produkten av de fyra talen som dragits är jämnt. b) i. Beräkna sannolikheten för att det andra, tredje och fjärde talet som dragits är alla 1 högre än det föregående talet. ii. Under förutsättning att de två första talen är jämna, beräkna sannolikheten att alla dragna tal är jämna. 4 poäng Sida 5/8

6 VALBAR UPPGIFT I ANALYS Funktionen f är definierad enligt : 2 f ( x) ( 2x 4 x)e x. a) i. Bestäm nollställena till f, de intervall där f ökar eller minskar, extrempunkternas koordinater. ii. Undersök funktionen f (x) när x och när x. Ge ekvationen för en eventuell asymptot. b) i. Visa att ekvationen för tangenten t till grafen till f i punkten med 2 4 x 1 kan skrivas y x. e e ii. Beräkna den spetsiga vinkeln mellan t och x-axeln. 7 2 poäng c) i. Rita grafen till f och tangenten t i samma koordinatsystem ii. Bestäm de värden på b och c för vilka F x x 2 bx c primitiv funktion till f (x). 2 e x är en iii. Beräkna arean av området som begränsas av grafen till f och tangenten t. 4 poäng Sida 6/8

7 VALBAR UPPGIFT II SANNOLIKHETSLÄRA I en storstad har man gjort en undersökning av populationen U av resande med offentliga transportmedel och kommit fram till att 40% av U är män och 60% av U är kvinnor. 25% av männen i U och 50% av kvinnorna i U har månadskort. a) En person väljs slumpmässigt från U. i. Visa att sannolikheten att denna person har ett månadskort är 0,4. ii. Antag att denna person inte har månadskort. Bestäm sannolikheten att denna person är en man. b) Tio personer väljs slumpmässigt från U. Bestäm sannolikheten att i. exakt 6 av de tio personerna har månadskort, ii. minst 2 av de tio personerna har månadskort. c) Ett slumpmässigt urval av 200 personer tas från U. Låt den stokastiska variabeln X beskriva antalet personer med månadskort i detta urval i. Ange sannolikhetsfördelningen för X och beräkna medelvärdet och standardavvikelsen av X. ii. Beräkna P(60 X 100) med hjälp av en lämplig approximation. Motivera valet av approximation. iii. Använd samma approximation till att bestämma det minsta värde på heltalet k som uppfyller PX ( k) 0,90. 5 poäng 5 poäng Sida 7/8

8 EUROPEISKA STUDENEXAMEN 2010: MATEMATIK 5 veckotimmar VALBAR UPPGIFT III GEOMETRI I ett ortonormerat koordinatsystem är givet: planet : x 2y 3z 12, sfären S : och x y z x y z punkterna A(12, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 0, 4) och P(5, 1.5, 5). a) Bestäm koordinaterna till skärningspunkterna mellan planet och x-, y- och z- axlarna. b) Punkterna A, B, C och origo O är hörn i en tresidig pyramid. Beräkna pyramidens volym. c) i. Bestäm en ekvation för den sfär som går igenom de fyra hörnen i pyramiden OABC. Visa att denna sfär är S. ii. Visa att centrum av S ligger utanför pyramiden OABC. iii. Planet skär sfären S in a cirkel. Bestäm koordinaterna till medelpunkten till cirkeln samt cirkelns radie. 2 poäng 5 poäng 4 poäng d) i. Visa att punkten P ligger inuti sfären S. 2 poäng ii. Q är den punkt på ytan av sfären S som ligger närmast punkten P. Bestäm koordinaterna till punkten Q. iii. Planet har bara en punkt Q gemensamt med sfären S. Bestäm en ekvation för. Sida 8/8