Betygsgränser: För. Skriv endast på en. Denna. Uppgift. 1. (2p) 2. (2p) Uppgift. Uppgift 1) 4. Var god. vänd.

Transkript

1 Tentamen i Matematik, HF93 7 dec 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, 3 respektive poäng. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg( Fx). Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten). Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varjee blad. Inlämnade uppgifter skall markeras medd kryss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Uppgift. (p) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z) y z y z x 3y 4z. Uppgift. (p) Bestäm en ekvation för planet som går genom punkterna A=(,,,), B=(,3,3), C=(3,,3,3). Uppgift 3. (p) Lös följandeekvation (med avseende på x) ( x ) 4 ( x ) x. Var god vänd.

2 Uppgift 4. (3p) a) (p) Bestäm en ekvation för linjen L som går genom punkterna A (,,3) och B (,3,5). b) (p) Bestäm en ekvation för planet som går genom punkten P= (,,) och som är vinkelrät mot linjen L. Uppgift 5. (4p) a) (p) Beräkna volymen av pyramiden vars hörn är A=(,,) B=(,,), C=(,,4) och D=(4,3,5). b) (p) Bestäm pyramidens höjd från punkten D till basen ABC. Uppgift 6. (4p) 3 Låt A, B, C. 5 3 Lös följande matrisekvationer (med avseende på X) : a) (p) A X BX C b) (p) A X XB C Uppgift 7. (4p) a) Bestäm en ekvation för linjen som går genom punkten A=(,,3) och som är vinkelrät mot planet x y4z. b) Bestäm spegelbilden av punkten P (3,5,3) i planet xyz 4. Uppgift 8. (3p) Följande ekvationssystem är givet x y z x y z x 3y az 3 För vilket vilka värden på a har systemet i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning? Lycka till!

3 FACIT Uppgift. (p) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z) y z y z x 3y 4z. y z y z x 3y 4z. y z y z y y z y z Svar: x, y, z Rättningsmall: Korrekt metod och två lösningar y, z ger p. Allt korrekt =p. Uppgift. (p) Bestäm en ekvation för planet som går genom punkterna A=(,,), B=(,3,3), C=(3,3,3). AB (,,), AC (,, ) N AB AC i j k AB AC i j k N (,, ) Planets ekvation: ( x ) ( y ) ( z ) eller y z Svar: y z Rättningsmall: Korrekt en normalvektor =p. Allt korrekt =p. Uppgift 3. (p) Lös följande ekvation (med avseende på x) (x ) 4 ( x ) x. x ) ( 4 x (x )( x ) 4 x x ( x ) x x 4 x Härav x, x Svar: x, x x 3x 4 x

4 Rättningsmall: Korrekt till ( x )( x ) 4 x =p. Allt korrekt =p. Uppgift 4. (3p) a) (p) Bestäm en ekvation för linjen L som går genom punkterna A (,,3) och B (,3,5). b) (p) Bestäm en ekvation för planet som går genom punkten P= (,,) och som är vinkelrät mot linjen L. Lösning a) AB v (,,) L : ( x, y, z) (,,3) t(,,) Rättningsmall (a): Rätt eller fel. b) N (,,) Planets ekvation: ( x ) ( y ) ( z ) eller x y z 4 Rättningsmall: Korrekt en normalvektor =p. Allt korrekt =p. Uppgift 5. (4p) a) (p) Beräkna volymen av pyramiden vars hörn är A=(,,) B=(,,), C=(,,4) och D=(4,3,5). b) (p) Bestäm pyramidens höjd från punkten D till basen ABC. a) Låt u AB(,,), v AC (,,3), w AD(3,, 4) x y z Pyramidens volym är V ( uv) w x y z. 6 6 x y z Först beräknar vi determinanten D Därför V ve Svar a) V ve.. 3 Rättningsmall: Korrekt determinanten D ger p. Allt korrekt =p. Uppgift 6. (4p) 3 Låt A, B, C. 5 3 Lös följande matrisekvationer (med avseende på X) :

5 a) (p) A X BX C b) (p) A X XB C a) AX BX C ( A B) X C X ( A B) C A B X ( A B) C Svar: X ( ) Rättningsmall: Korrekt till ger p). Allt korrekt =p. X ger p. (Fel ordning i matrismultiplikaton b) AX XB C a b a b3 c d c d 5 3 a b a b3 ab a c d c d 4c d c 3d ab a b a a 4c d c 3d 5 3 4cd 5 c3d 3 Från systemet har vi a, b, Alltså X 7 Svar: X 7 7 c, d..

6 Rättningsmall: Korrekt till systemet ab a 4cd 5 c3d 3 ger p. Allt korrekt =p. Uppgift 7. (4p) a) Bestäm en ekvation för linjen som går genom punkten A=(,,3) och som är vinkelrät mot planet x y4z. b) Bestäm spegelbilden av punkten P (3,5,3) i planet xyz 4. a) En riktningsvektor till linjen är N (,,4). Linjens ekvation är ( xyz,, ) (3,5, 3) t(,, 4) Svar a) ( xyz,, ) (3,5, 3) t(,, 4) Rättningsmall a) Korrekt N (,, 4) ger p. Allt korrekt =p. b) Metod : Linjen genom P vinkelrät mot planet är L: ( xyz,, ) (3,5,3) t(,,) Skärningspunkten mellan linjen och plan får vi genom att lösa systemet 3t y 5 t z 3 t xyz 4 Vi får punktent, x, y, z och därmed är Q (,,) den sökta skärningspunkten. Låt S beteckna spegelbilden av P och låt O=(,,,). Då gäller OS OP PQ (3,5,3) (, 4, ) (, 3, ) Alltså S=(, 3, ). Svar: (, 3, ) Rättningsmall b(metod ): Korrekt linjens ekvation ( xyz,, ) (3,5,3) t(,,) och kärningspunkten Q ger p. Allt korrekt =p. Metod : Vi väljer en punkt i planet:, exempelvis P (,,). Då är PP (,4,)

7 PP Projektionen av PP på planets normalvektor n (,,) n är h n(,4,) n PS ( s, s, s3 ) där S är en spegelpunkt. PS h PP PS PP h ( s, s, s3) (, 4, ) S ( s, s, s3) (, 3, ) Svar: (, 3, ) PP n Rättningsmall b (metod ): Korrekt projektionen på normalvektorn (,4,) n ger n p. Allt korrekt =p. Uppgift 8. (3p) Följande ekvationssystem är givet x y z x y z x 3y az 3 För vilket vilka värden på a har systemet i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning? Systemets determinant är D a. 3 a a a. Om a har systemet exakt en lösning. För a= får vi systemet x y z y z y z x y z ~ y ~ y x 3y z 3 y Vi har två ledande variabler x och y. Variabeln z varierar fritt och därför har systemet oändligt många lösningar. Svar i) oändligt många lösningar om a= ii) exakt en lösning om a iii) Fallet ingen lösning kan inte förekomma i denna uppgift. Rättningsmall: För korrekt i,ii eller iii +p.