TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 21 dec 2017 Skrivtid 8:00-12:00

Transkript

1 TENTAMEN Kurs: HF9 Matematik, moment TEN (analys) Datum: dec 7 Skrivtid 8:-: Examinator: Armin Halilovic Rättande lärare: Jonas Stenholm, Elias Said, Nils Dalarsson För odkänt bety krävs av max poän. Betysränser: För bety A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poän. Kompletterin: 9 poän på tentamen er rätt till kompletterin (bety F. Vem som har rätt till kompletterin framår av betyet Fx på MINA SIDOR. Kompletterin sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om kompletterin är odkänd rapporteras bety E, annars rapporteras F. Hjälpmedel: Endast bifoat formelblad (miniräknare är inte tillåten). Till samtlia inlämnade uppifter fordras fullständia lösninar. Skriv endast på en sida av papperet. Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydlit på omslaet, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaet) Inlämnade uppifter skall markeras med kryss på omslaet Skriv klass på omslaet, A, B eller C (eller omreistrerad). Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösninar Uppift.(p) x a) Ane för vilka x-värden är funktionen f cos x + ln( ) definierad. x 5 x+ b) Bestäm inversa funktionen till + 5e. + x c) Beräkna ränsvärdet lim. x sin(x 5 d) Låt z cos( x + x y + y. Bestäm z z yy (dvs. bestäm ). y x x + Uppift.(p) Vi betraktar funktionen f. x a) Bestäm definitionsmänden och eventuella skärninspunkter med x-axeln. b) Bestäm eventuella asymptoter (lodräta/våräta/sneda). c) Bestäm samtlia stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass). d) Rita rafen. Var od vänd. Sida av 9

2 Uppift. (p) Beräkna följande interaler a) x x 5 e + dx (Tips: substitutionsmetoden) (p) b) x cos( x + ) dx (Tips: partiell interation) (p) c) dx (Tips: dela i partiella bråk) (p) x x Uppift. (p) Bestäm en ekvation för tanenten till kurvan x + xy + y i punkten P(,). Uppift 5. (p) Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området y sin x, x roterar krin y-axeln. Uppift 6. (p) Beräkna volymen av det område som lier mellan xy-planet och ytan ovanpå rektaneln x, y. z x + xy Uppift 7. (p) Vi betraktar funktionen f ( x, x + y x y +. a) (p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (MIN/MAX/SADEL). b) (p) Bestäm största och minsta värde för funktionen i ( den slutna) trianeln med hörn i A(,), B(,) och C(,). Uppift 8. (p) Beräkna yttröhetsmoment krin orio ( polär tröhetsmoment) för området D som definieras av x + y 9, < y < x (se fiuren). Lycka till! FACIT: Sida av 9

3 Uppift.(p) x a) Ane för vilka x-värden är funktionen f cos x + ln( ) definierad. x 5 x+ b) Bestäm inversa funktionen till + 5e. + x c) Beräkna ränsvärdet lim. x sin(x 5 d) Låt z cos( x + x y + y. Bestäm z z yy (dvs. bestäm ). y a) cos x är definierad för alla x. x ln x är definierad då x >, d.v.s. vi måste kräva att >. x 5 Teckenschema: x-värden: 5 x + + x 5 + x + Ej def + x 5 Funktionen är definierad då x < eller x > 5. b) y ( + 5e x + Lös ut y: y 5 x + e y ln x + 5 x ln y 5 Sida av 9

4 Invers funktion: x ln 5 c) + x lim x sin(x Insättnin av x er. Använd L Hospitals reel: + x lim x sin(x lim x cos(x 5 d) z cos( x + x y + y 5 Partiell deriverin er: sin( x x + x y + z y och z yy cos( x x + 5 x y Svar: a) Funktionen är definierad då x < eller x > 5. b) Invers funktion: x ln 5 c) + x lim x sin(x d) z yy x cos( x + 5 x y Rättninsmall: p för varje korrekt del. x x + Uppift.(p) Vi betraktar funktionen f. x a) Bestäm definitionsmänden och eventuella skärninspunkter med x-axeln. Sida av 9

5 b) Bestäm eventuella asymptoter (lodräta/våräta/sneda). c) Bestäm samtlia stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass). d) Rita rafen. a) Funktionen är definierad för alla x då nämnaren är skild från noll, d.v.s. x. Skärninspunkter med x-axeln fås då y, d.v.s. då täljaren. x x + x x + x ± ± Lösnin saknas, d.v.s. skärninspunkter med x-axeln saknas. b) Lodräta asymptoter då nämnaren och täljaren ej är noll. Det finns alltså en lodrät asymptot vid x (täljaren är då ej noll). För vårät/sned asymptot örs en polynomdivision: x x + f x + x x f x då x är ett, till beloppet, stort tal. (Mer precis f (x ) om x ± ) Det finns alltså en sned asymptot y x, men inen vårät asymptot. c) f ( ( x ) f ( x ( x ) ( ) Härav två stationära punkter: x och x. Funktionens värden i punkterna: + f ( ), f () Typ: f (, f ( ) < Max. ( x ) ( ) f ( ) > Min. ( ) d) Så här ser funktionsrafen ut: Sida 5 av 9

6 Svar: a) Definitionsmänd: x. Skärninspunkter med x-axeln saknas. b) Lodrät asymptot: x. Vårät asymptot saknas. Sned asymptot: y x. c) En maxpunkt x, och en minpunkt i x. d) Se ovan. Rättninsmall: p för varje korrekt del. Uppift. (p) Beräkna följande interaler a) x e x + 5 dx (Tips: substitutionsmetoden) (p) b) x cos( x + ) dx (Tips: partiell interation) (p) c) dx x x (Tips: dela i partiella bråk) (p) a) x e + dx (substitutionsmetoden) ( du u x + 5 du x dx dx x x + 5 u du u u x + 5 x e dx x e e du e + C e + C x b) x cos( x + ) dx (partiell interation) x x cos( x + ) dx x sin(x + ) sin(x + ) dx sin(x + ) + cos(x + ) + C 9 c) dx (dela i partiella bråk) x x Sida 6 av 9

7 x x x( x ) A x B +. x Härav (Bestäm A och B själv) A / och B/. Därför / / dx dx + dx x + x + C x x x x ( ) ln ln ( ) x x Rättninsmall: a) och b) rätt eller fel. c) Korrekt partialbråksuppdelninp Uppift. (p) Bestäm en ekvation för tanenten till kurvan x + xy + y i punkten P(,). dy dy dy x + y Implicit deriverin er: x + y + x + y dx dx dx x + y dy Tanentsekvation: y ( x ) y x + dx dy dy Rättninsmall: Korrekt deriverin till x + y + x + y er p dx dx Allt korrekt p. Uppift 5. (p) Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området y sin x, x roterar krin y-axeln. V xsin xdx x cos x + sin x Svar: V. [ ] Rättninsmall: Korrekt till V [ x cos x + sin x] Allt korrekt p. er p Uppift 6. (p) Beräkna volymen av det område som lier mellan xy-planet och ytan z x + xy ovanpå rektaneln x, y. Volymen av området räknas som dubbelinteralen ovanpå rektaneln R : x, y. Sida 7 av 9

8 V ( x + x dxdy dx ( x + x dy x dx dy + x dx R y dy + Rättninsmall: Korrekt uppställnin av interalen med korrekta ränser V dx ( x + x dy er p. Allt korrekt p. Uppift 7. (p) Vi betraktar funktionen f ( x, x + y x y +. a) (p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (MIN/MAX/SADEL). b) (p) Bestäm största och minsta värde för funktionen i ( den slutna) trianeln med hörn i A(,), B(,) och C(,). a) Vi börjar med att räkna första derivator av funktionen f ( x, och sätta dessa lika med noll för att få fram stationära punkter f f x, y ( x, (, ) x y Den enda stationära punkten är alltså ( x, (, ) och för att bestämma dess typ behöver vi andra derivator av f ( x, som är f f f A, B, C AC B > x x y y, A > och vi ser att den stationära punkten (, ) är en lokal minimipunkt. b) Den stationära punkten (,) lier utanför trianeln med hörn i A(,), B(,) och C(,), varför vi bara behöver undersöka randen av denna trianel. Randen består av linjestycket på x-axeln ( x ), linjestycket på y-axeln ( y ) samt linjestycket läns med linjen y x mellan B(,) och C(,). L: Först undersöker vi funktionen läns sträckan AB, där y och x. Vi har f ( x,) x x +. Derivatan x x som inte lier i intervallet x. I ändpunkterna av intervallet har vi f (,) ( a) f (,) 7 (b) L: Läns sträckan AC äller x och y. Vi har ( f (, y y +. Derivatan ( y y som inte lier i intervallet y. I ändpunkterna av intervallet har vi f (,) (a) f (,) 7 (b) Sida 8 av 9

9 L: Läns sträckan BC äller y x, x. Vi har f ( x, x x + 7 Derivatan x x (lier i intervallet x ). ( ) (a) (Alternativt f (, ) ). I ändpunkterna har vi f (,) f (,) 7 (b) Från ( a), ( b), ( a), ( b), ( a) och ( b) har vi på trianeln med hörn i A(,), B(,) och C(,) f MAX f (,), f MIN f (, ) 6.5 Svar: f MAX f (,), f MIN f (, ) 6. 5 Rättninsmall: a) Korrekt stationär punkt p. Allt korrektp b) Korrekt f MAX f (,) er +p ; Korrekt f MIN f (, ) 6. 5 er +p Uppift 8. (p) Beräkna yttröhetsmoment krin orio ( polär tröhetsmoment) för området D som definieras av x + y 9, < y < x (se fiuren). Området D kan i polära koordinater beskrivas som r, θ /, och då är yttröhetsmomentet enlit formelsamlinen I / r dr dθ dθ r dr D Svar: 6 Rättninsmall: a) Korrekt till / dθ r dr er p. Allt korrekt p. Sida 9 av 9