Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(1,0,3), B=(2,1,4 ), C=(3, 2,4).

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(1,0,3), B=(2,1,4 ), C=(3, 2,4)."

Ann-Marie Gustafsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 TETAME 08-Okt-, HF006 och HF008 Moment: TE (Linjär algebra), hp, skriftlig tentamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF008, Linjär algebra och anals HF006 Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 8-, Plats: Campus Flemingsberg Lärare: Maria Shamoun och Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betgsgränser: Mapoäng = För betg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng. Hjälpmedel på tentamen TE: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betg F) Skriv endast på en sida av papperet. Skriv TYDLIGT AM och PERSOUMMER på varje blad, (speciellt tdligt på försättsbladet, eftersom tentorna skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på försättsbladet) Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på försättsbladet. Tentafrågor (dvs. det här bladet) ska lämnas in tillsammans med lösningar. Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar Uppgift. (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(,0,), B=(,, ), C=(,,). a) (p) Beräkna arean av triangeln ABC. b) (p) Bestäm vinkeln mellan AB och AC. ( Svara med arccos ) c) (p) Bestäm projektionen av AB på AC. Uppgift ) (p) För vilka värden på parametern a har ekvationssstemet a i) eakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning. Var god vänd.

2 Uppgift. (p) Beräkna 86 i. Svara på rektangulär form (dvs. på a+bi form). Uppgift. (p) Ekvationen 7 8 0, har en lösning i. Bestäm de övriga lösningarna. Uppgift 5. (p) a) (p) Lös matrisekvationen XA XB C (med avseende på X) 0 0 där A, B, C. b) (p) Lös matrisekvationen YM (med avseende på Y) M. där, 5 Uppgift 6. (p) Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen M. Uppgift 7. (p) Låt vara en ekvation till planet. a) (p) Bestäm den punkt i planet som ligger närmast punkten A=(5,,). b) (p) En laserstråle som går genom punkten B=(,,) och är parallell med linjen (,, ) (,5,6) t(,,) reflekteras i planet. Bestäm en ekvation för den reflekterade laserstrålen. Uppgift 8. (p) Låt V vara volmen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna u, v och. Bevisa formeln V ( u v). Lcka till!

3 FACIT Uppgift. (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(,0,), B=(,, ), C=(,,). a) (p) Beräkna arean av triangeln ABC. b) (p) Bestäm vinkeln mellan AB och AC. ( Svara med arccos ) c) (p) Bestäm projektionen av AB på AC. a) AB (,, ), AC (,,) i j k AB AC i j (,,0 ) Härav AB AC Arean(ABC)= AB AC. Låt beteckna vinkeln mellan AB och AC. Då gäller AB AC 5 5 cos (= ). AB AC Härav arccos( ). AB AC 5 c) proj AC ( AB ) (,,) AC AC AC 9 Svar: a) 5 a e. b) arccos( ) 5 c) (,,) 9 Rättningsmall: a) Korrekt b),c) Rätt eller fel. AB AC ger p. allt korrekt=p

4 Uppgift ) (p) För vilka värden på parametern a har ekvationssstemet a i) eakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning. Sstemets determinant är a a D a D a. Om 0 D dvs om a har sstemet eakt en lösning. Vi undersöker sstemet för a=. För a= får vi sstemet (Gaussmetoden) (bta plats på E och E) 5 5 E E E E E E. Sstemet är lösbart med en fri variabel. Därmed har sstemet oändligt många lösningar om a=. Svar: i) Eakt en lösning om a ii) Oändligt många lösningar a=. iii) Fallet ingen lösning kan inte förekomma i denna uppgift.

5 Rättningsmall: a) Korrekt D 9 a ger p. Därefter: p för korrekt metod och rätt svar till i-delen. p för korrekt metod och rätt svar till ii-delen. p för korrekt metod och rätt svar till iii-delen. Uppgift. (p) Beräkna 86 i. Svara på rektangulär form (dvs. på a+bi form). Först skriver vi basen i på eponentialform: r, arctan( ) arctan(). (Alternativt kan man se i det komplea planet att Därmed är i i e ) 86 i i i i u har vi e e e cos( ) isin( ) cos(0 ) isin(0 ) (periodiska egenskaper) cos( ) isin( ) i Svar: i Rättningsmall: Korrekt Allt korrekt=p. i i e ger p.

6 Uppgift. (p) Ekvationen 7 8 0, har en lösning i. Bestäm de övriga lösningarna. Ekvationen har reella koefficienter och en komple lösning i i är också en lösning till ekvationen. Därför är ekvationen delbart med ( )( ) ( i)( i) ( ) Polnomdivision ger (beräkna själv) ( 7 8 )/( ). Den tredje roten får vi ur 0. Svar. ( i ) i, Rättningsmall: p för korrekt till ( )( ). p om allt är korrekt. Uppgift 5. (p) a) (p) Lös matrisekvationen XA XB C (med avseende på X) där 0 0 A, B, C. b) (p) Lös matrisekvationen YM (med avseende på Y) M. där, 5 a) XA XB C X ( A B) C

7 Beteckna D A B. Med denna beteckning får vi ekvationen XD C (Ekv). Då är det( D ) 0. Därmed är D inverterbar och har inversen D. Vi multiplicerar Ekv från höger med XDD CD eller D och får 0 6 X CD. 5 8 Svar: a) X Rättningsmall a: p för korrekt till p om allt är korrekt. D. b) Matrisen M är inte kvadratisk och därmed är M inte inverterbar. Först måste vi bestämma dimensionen av matrisen Y. Anta att tp( Y ) m n. Vi analserar dimensioner i ekvationen Y n M m, och drar slutsats att m och n (dvs matrisen Y har en rad och kolonner). u kan vi göra en ansats för matrisen Y, Y, som vi substituerar i ekvationen YM och får. 5

8 Efter multiplikationen får vi ( ) ( ) ( ) 5. Härav får vi tre skalära ekvationer 5, som ger. Därmed är Y Kontroll: 5 Svar: b) Y., OK. Svar: b) Y.. Rättningsmallb) : p för korrekt till 5 p om allt är korrekt. Uppgift 6. (p) Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen M. Steg. Vi löser den karakteristiska ekvationen det( A I) 0 ( EKV ) och får matrisens egenvärden. ( ) det( 0 ( ) ( ) 0 0 som ger och. Steg. För varje egenvärden (dvs. lösning till EKV) λ k substituerar vi λ=λ k i ( A I ) v 0 ( EKV)

9 och bestämmer motsvarande egenvektor. 0 i) ger 0 och följande sstem t Härav t och t, och därmed är v, där t R, t 0 tillhörande t egenvektorer. 0 ii) ger 0 och följande sstem t Härav t och t, och därmed är v, där t R, t 0 tillhörande t egenvektorer. (Anmärkning: ollvektorn räknas inte som en egenvektor, därför t 0.) Svar: egenvärden och med tillhörande egenvektorer v t resp. t v t. t Rättningsmall: Korrekta två egenvärden ger p. Korrekt ett egenvärde med tillhörande egenvektor ger p. Allt korrekt=p. Uppgift 7. (p) Låt vara en ekvation till planet. a) (p) Bestäm den punkt i planet som ligger närmast punkten A=(5,,). b) (p) En laserstråle som går genom punkten B=(,,) och är parallell med linjen (,, ) (,5,6) t(,,) reflekteras i planet. Bestäm en ekvation för den reflekterade laserstrålen.

10 a) Låt L vara den linje som går genom punkten A vinkelrät mot planet. Låt Q vara skärningspunkten L och. Då är Q den punkt i planet som ligger närmast punkten A. En riktningsvektor till L är v (,, ) (dvs. planets normalvektor). Linjens ekvation: (,, ) (5,,) t(,, ). Skärningspunkten: 5 t t t substitueras i. Vi får 5 t t ( t) eller 6t som ger t / 6. Därmed 7 5 t t 6 6 t 6 Alltså är (7/6, 5/6, /) den punkt i planet som ligger närmast punkten A. Svar a: (7/6, 5/6, /) Rättningsmall: Korrekt linjens ekvation =p. Allt korrekt =p. b) Linjen genom B=(,,) som är parallell med den givna linjen har en riktnings vektor (,,). Alltså går laserstråle längs linjen L : (,, ) (,,) t(,, ).

11 B T S v s R Skärningspunkten mellan L och planet får vi genom att t t t substitueras i. Vi får t t 6 t som ger t. Därmed är skärningspunkten R=(0,,). Den reflekterade strålen går genom R. Låt v RB (,,) och låt (,, ) (dvs. är planets normalvektor). För att bestämma RS, dvs. riktningen för den sökta linjen, beräknar vi först projektionen proj v ( v) (,,) (,,). 8 0 Då är RS v BT v ( v ) v (,,) (,,) (,, ). 0 Alltså är (,, ) en riktningsvektor för den sökta linjen. Vi kan även välja (,,5) för linjens riktningsvektor. Den reflekterade strålen går längs linjen (,, ) (0,,) t(,,5) Svar: b) (,, ) (0,,) t(,,5 ) Rättningsmall: Korrekt R=(0,,) ger p. Allt korrekt =p. Uppgift 8. (p) Låt V vara volmen av den parallellepiped som spänns upp av

12 vektorerna v u och,. Bevisa formeln ) ( v u V. Bevis: Låt = v u. Då är Bastansarea B= v u. Höjden av parallellepipeden är ) ( proj h. Volmen är ) ( v u B h V.S.B. Rättningsmall: Allt korrekt =p.

Relevanta dokument

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) TENTAMEN 7-Okt-4, HF6 och HF8 Moment: TEN (Linjär algebra, 4 hp, skriftlig tentamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF8, Linjär algebra och anals HF6 Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 8-, Plats: Campus