Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx)."

Ingeborg Arvidsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 TENTAMEN 9 jan 01, HF1006 och HF1008 Moment: TEN1 (Lnjär algebra), hp, skrftlg tentamen Kurser: Analys och lnjär algebra, HF1008, Lnjär algebra och analys HF1006 Klasser: TIELA1, TIMEL1, TIDAA1 Td: , Plats: Campus Hannge Lärare: Rchard Erksson, Inge Jovk och Armn Hallovc Examnator: Armn Hallovc Betygsgränser: Maxpoäng = För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs, 19, 16, 1, 10 respektve 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN1: Utdelad formelblad Mnräknare ej tllåten Kompletterng: 9 poäng på tentamen ger rätt tll kompletterng (betyg Fx) Skrv endast på en sda av papperet Skrv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgfter skall markeras med kryss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas n tllsammans med lösnngar Fullständga lösnngar skall presenteras tll alla uppgfter Uppgft 1 (p) a) Beräkna volymen av den parallellepped som spänns upp av vektorerna (1, 1, 1), (1,, ) och (1,, 5) b) Beräkna även volymen av den parallellepped som spänns upp av (1,, ), (, 1, ) och (1, 1, -7) c) Tolka svaret du får b Uppgft (1p) Bestäm k så att vektorerna (, 5, ) och (, 7k+1, 6) blr parallella Uppgft (p) Lös följande ekvatonssystem genom Gausselmnerng: z = 6 x y z = 8 x + 6y + 8z = 5 Uppgft (p) x + Lös olkheterna a) > 0 och b) x x + < 0

2 Uppgft 5 (p) Antag att vektorn är summan av de två vektorerna och a) (1p) Beräkna om =(1,5,9) och =( 1,, 1) b) (1p) Bestäm en vektor som är vnkelrät mot och har en negatv z-komponent Uppgft 6 (p) a) (1p) Bestäm ekvatonen för den lnje som går genom punkterna (0,1,5) och (1,1,6) b) (1p) Bestäm skärnngspunkten mellan denna lnje och planet x + y = 5 c) (p) Bestäm vnkeln mellan lnjen och planet Uppgft 7(p) Bestäm avståndet mellan de två parallella planen x + y z = 7 och x + y z = 0 Uppgft 8 (p) Låt (1 + ) z = 1 Bestäm z och arg(z) Uppgft 9 (p) Ekvatonen z z z + 6 = 0 har en lösnng z = 1+ Bestäm alla lösnngar 1 Uppgft 10 (p) Bestäm alla lösnngar tll ekvatonen z = 1 Uppgft 11 (p) x Låt A = V betraktar ekvatonen A v = k v med avseende på v = 1 Talet k är en y konstant Det är uppenbart att en lösnng ( den trvala lösnngen) tll ekvatonen är nollvektorn 0 v = 0 0 a) Bestäm de värden för k, för vlka ekvatonen har lösnngar v som nte är nollvektorn ( v ) 0 0 b) Bestäm alla lösnngar v för vart och ett av dessa k värden 0 Lycka tll

3 FACIT Uppgft 1 (p) a) Beräkna volymen av den parallellepped som spänns upp av vektorerna (1, 1, 1), (1,, ) och (1,, 5) b) Beräkna även volymen av den parallellepped som spänns upp av (1,, ), (, 1, ) och (1, 1, -7) c) Tolka svaret du får b a) 1 = ( ) ( 5 + ) + ( ) = Volymen V1 = 7 1 = 7 ve b) 1 = ( 7 ) ( 1 + ) + ( 1) = "Volymen" V=0 c)de tre vektorerna är lnjärt beroende ( lgger samma plan) Svar: a) V1 = 7 ve b) V=0, c) de tre vektorerna är lnjärt beroende ( lgger samma plan) Rättnngsmall: +1p för varje del Uppgft (1p)Bestäm k så att vektorerna (, 5, ) och (, 7k+1, 6) blr parallella Vektorerna (, 5, ) och (, 7k+1, 6) är parallella om det fnns ett tal t så att (, 7k+1, 6) = t (, 5, ) Härav får v tre skalära ekvatoner = t 7k + 1 = 5t 6 = t Från första (eller tredje) ekvatonen har v t = / Substtutonen den andra ekvatonen ger 7k + 1 = 15 / 7k = 17 / k = 17 /1 Svar: k = 17 / 1 Rättnngsmall: Allt korrekt=1p

4 Uppgft (p) Lös följande ekvatonssystem genom Gausselmnerng: z = 6 x y z = 8 x + 6y + 8z = 5 z = 6 x y z = 8 x + 6y + 8z = 5 R = R - R1 R = R+ R1 z = y + z = 0 + z = 1 z = y + z = R = R+ R z = 1 z = z = sätts n R ger y = Från R1 får v slutlgen x = 1 Svar: x = 1, y =, z = Rättnngsmall: +1p för korrekt Gaussmetoden med mndre räknefel +1p för korrekt svar Uppgft (p) x + Lös olkheterna a) > 0 och b) x x + < 0 a) Teckentabell: 1 x x ej + def x + Alltså > 0 om x < eller x > 1 b) Först x x + = 0 x = 1, x = V kan faktorsera olkheten ( )( x ) < 0 1 och gen använda teckentabell

5 x 0 x x ej + def Alltså: x x + < 0 om 1 < x < Alternatv för b delen: V kan skssera grafen tll f ( x) = x x + Från grafen har v att x x + < 0 om 1 < x < Svar: a) De reella tal som uppfyller x < eller x > 1 dvs x (, ) (1, ) b) 1 < x < Rättnngsmall: a) allt korrekt =1p, b) allt korrekt =1p Uppgft 5 (p) Antag att vektorn är summan av de två vektorerna och a) (1p) Beräkna om =(1,5,9) och =( 1,, 1) b) (1p) Bestäm en vektor som är vnkelrät mot och har en negatv z-komponent a) = + = = (1,5,9) ( 1,, 1) = (,,10) Svar a) = (,,10) b) En vektor =(,, ) är vnkelrät mot om skalärprodukten =0 (1,5,9) (,, ) = =0 Det fnns oändlgt många lösnngar (även då z-komponenten <0) T ex = (,1, 1) Svar b) Oändlgt många lösnngar T ex = (,1, 1) Rättnngsmall: a) allt korrekt =1p, b) allt korrekt =1p

6 Uppgft 6 (p) a) (1p) Bestäm ekvatonen för den lnje som går genom punkterna (0,1,5) och (1,1,6) b) (1p) Bestäm skärnngspunkten mellan denna lnje och planet x + y = 5 c) (p) Bestäm vnkeln mellan lnjen och planet a) Lnjens rktnngsvektor ges av vektorn = (1,0,1) Om v väljer P som punkt på Lnjen blr lnjens ekvaton på vektorform (,, ) = (0,1,5) + (1,0,1) Svar a) (,, ) = (0,1,5) + (1,0,1) = b)lnjens ekvaton på parameterform: =1 =5+ planets ekvaton x + y = 5 Gemensam punkt (=gemensamt x,y,z) fås då t + 1 = 5 t = x =, y = 1, z = 9 Svar b) Skärnngspunkten är (,1, 9) c) Vnkeln mellan lnjen och planet fås med hjälp av skalärprodukten mellan lnjens rktnngsvektor och planets normalvektor Om v kallar vnkeln mellan dessa vektorer för u fås sedan den sökta vnkeln v som 90 cos =, där = = (1,1,0) och = = (1,0,1) (1,1,0) (1,0,1) cos = = 1 = 60 = = 0 Svar c) (eller o 0 ) 6 Rättnngsmall: a) allt korrekt =1p, b) allt korrekt =1p c) Korrekt vnkeln mellan lnjens rktnngsvekor och planets normal =1p Allt korrekt=p Uppgft 7(p) Bestäm avståndet mellan de två parallella planen x + y z = 7 och x + y z = 0

7 Plan 1: x + y z 7 = 0 Plan : x + y z = 0 Metod 1 Välj en godtycklg punkt plan 1, tll ex P1 = (7,0,0) av formeln (fnns på formelblad): Ax1 + By1 + Cz1 + D d = = = A + B + C ( 1) och beräkna avståndet tll plan med hjälp Svar: 7 Metod Välj en godtycklg punkt plan 1, ex (7,0,0) och en punkt plan, ex (1,0,1) Blda = (6,0, 1) Normera plan :s normalvektor: = (1,1, 1) = (,, ) Då blr avstånden mellan planen s projekton på, dvs = (6,0, 1) (1,1, 1) = Svar: Rättnngsmall: Allt korrekt=p Korrekt metod med mndre räkne fel =1p Uppgft 8 (p) Låt (1 + ) z = 1 Bestäm z och arg(z) 1+ 1 ( ) ) z = = = = 1 ) V kan ange varje faktor uttrycket på exponentalformen

8 e = 1, Därför e 1+ =, = e 1 e e 7 (1 + ) e e z = = = = e 1 Härav ser v att arg(z) Svar: z =, arg(z) e e 7 = ( + k ) ( V ser gen att z = ) 7 = ( alternatvt svar, arg(z) = ) Rättnngsmall: Allt korrekt=p Korrekt metod med mndre räkne fel =1p Uppgft 9 (p) Ekvatonen z z z + 6 = 0 har en lösnng z = 1+ Bestäm alla lösnngar 1 Ekvatonen har reella koeffcenter och en komplex rot z = 1+ 1 Därför är z = 1 också en rot tll ekvatonen Ekvatonen är delbart med ( z z1 )( z z) = ( z 1 )( z 1 + ) = ( z 1) = z z = z z + Polynomdvson ger (z z z + 6) /( z z + ) = z + Från z + = 0 får v den tredje lösnngen z = / Svar: z 1 = 1+, z = 1, z = / Rättnngsmall: Allt korrekt=p Korrekt metod med mndre räkne fel =1p Uppgft 10 (p) Bestäm alla lösnngar tll ekvatonen z = 1 ( + k ) z 1 z = e z = e =, k=0, 1,, Svar: ( + k ) z e =, k=0, 1,,

9 Rättnngsmall: Allt korrekt=p Korrekt metod med mndre räkne fel =1p Uppgft 11 (p) x Låt A = V betraktar ekvatonen A v = k v med avseende på v = 1 Talet k är en y konstant Det är uppenbart att en lösnng ( den trvala lösnngen) tll ekvatonen är nollvektorn 0 v = 0 0 a) Bestäm de värden för k, för vlka ekvatonen har lösnngar v som nte är nollvektorn ( v ) 0 0 b) Bestäm alla lösnngar v för vart och ett av dessa k värden 0 a) Ekvatonen A v = k v ger 1 x x x + y kx = k = y y x + y ky Detta kan v skrva som två skalära ekvatoner + y = kx eller x + y = ky ( k) x + y = 0 x + ( k) y = 0 (sys1) Anmärknng: Systemet (sys1) är homogent och därför är alltd lösbart, det kan ha exakt en lösnng (om D 0 ) eller oändlgt många lösnngar om D = 0 ( k) Systemets determnant är D = = k 5k + 1 ( k) D = = k 5k + = 0 k = 1, k = 0 1 Om D 0, dvs om k 1 1 och k y=0 ( V söker cke-trvala lösnngar), har systemet exakt en lösnng, den trvala lösnngen x=0, Det homogena systemet (sys1) har oändlgt många lösnngar om D = 0 dvs om k 1 och k b) V löser systemet k = 1 1 och k = Om k 1 blr systemet ( v substtuerar k 1 sys 1): 1 = 1 = 1 = =

10 + y = 0 + y = 0 x + y = 0 0 = 0 V har en fr varabel y = t Från x + y = 0 har v en fr varabel, y=t, och därmed x = t Därmed blr lösnngen) x t v = = y t, där t är ett godtycklgt reellt tal, t 0 ( För t=0 får v den trvala Om k = får v systemet x + y = 0 x + y = 0 x + y = 0 x y = 0 x y = 0 0 = 0 Härav y = t och x = t Därför x t v = =, t 0 y t Svar: a) Icke-trvala lösnngar (oändlgt många) fnns om k = 1 1 och k = b) För k = 1 1 får v t v =, t 0 För t k = har v t v =, t 0 t Rättnngsmall: Allt korrekt=p Korrekt metod med mndre räkne fel =1p

Relevanta dokument

TENTAMEN Datum: 11 feb 08

TENTAMEN Datum: 11 feb 08 TENTAMEN Datum: feb 8 Kurs: MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK (TEN: Dfferentalekvatoner, komplea tal och Taylors formel ) Kurskod 6H, 6H, 6L Skrvtd: :5-7:5 Hjälpmedel: Bfogat formelblad och mnräknare av vlken