lösningar! ger 0 poäng.) i partiella bråk. och deras typ.

Transkript

1 TENTAMEN Introduktionskurs i Matematik H1009 Datum: augg 018 Tid: 8:15-10 (1.5 hp) Tentamen ger maimalt 1p. För godkändd tentamen krävs 6p. Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar! Inga hjälpmedel tillåtna. Skriv din klass på omslagett (TIMEL1, TIELA1, TIDAA1,, TIBYH1A, TIBYH1B eller TIBYH1C). Denna tentamenslapp får ej behållas efterr tentamenstillfället, utan ska lämnas in tillsammans med lösningar. 1. (1p) Ställ upp en sanningsvärs rdestabell till följande logiska l uttryck ( A B).. (p) Relationen från A={1,,,,5} till B={7,8,9,10,11} definieras som {(1,,7),(,8),(,, 9),(,9)}. a) Bestäm om relationen är en funktion och motivera svaret. (Ett svar utan motivering ger 0 poäng.) b) Bestäm inversrelationen tilll.. (p). Dela uttrycket i partiella bråk.. (1p ) Lös följande ekvation cos( 10 ) (p) Låt f ( ). Bestäm funktionens lokala etremvärden och deras typ. 6. (p). Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att är ä delbart med för n 0. (Man får 0 poäng om man inte använder den matematiska induktionen utan bevisar påståendet på ett annat sätt.) 7. (p) Rita följande punktmängder i a) {(, R : y } y-planet b) {(, R : 9 y 9} Lycka till! Sida 1 av 5

2 FACIT 1. (1p) Ställ upp en sanningsvärdestabell till följande logiska uttryck ( A B). A B A A B A B ( A B) S S F S S S S F F F F S F S S S S S F F S S S S (Anmärkning. Från tabellen följer att ( A B) är en tautologi dvs. alltid sant) Rättningsmall: Rätt eller fel.. (p) Relationen från A={1,,,,5} till B={7,8,9,10,11} definieras som {(1,7),(,8),(,9),(,9)}. a) Bestäm om relationen är en funktion och motivera svaret. (Ett svar utan motivering ger 0 poäng.) b) Bestäm inversrelationen till. a) Relationen är INTE en funktion eftersom förekommer två gånger som den första komponenten ( Tvåan finns fins i (,8) och (,9) ). b) 1 {(7,1),(8,),(9,),(9,)} Rättningsmall: a=1p b=1p (Rätt eller fel för varje del.). (p). Dela uttrycket i partiella bråk. Först faktoriserar vi nämnaren: ( ) Därefter gör vi följande ansats: A B (multiplicera med (+) ) ( ) A( ) B (*) Eftersom (*) gäller för alla kan vi välja två (vilka som helst) värden på och substituera i (*) för att få två ekvationer på A och B. i) Om t e. =0 har vi från (*) följande ekvation 0 A (0 ) B 0 dvs A som ger A=/. ii) Om t e. = har vi från (*) följande ekvation Sida av 5

3 A( ) B dvs 1 B som ger B=1/. Enligt ansatsen har vi / 1/ ( ) Svar: 1 ( ) Rättningsmall: Korrekt till ( ) A B ger 1p. Allt korrekt=p.. (1p ) Lös följande ekvation cos( 10 ) 1. cos( 10 ) 1 10 k k 10 k 10 k, där k är ett heltal. 0 5 k Svar:, där k är ett heltal. 0 5 Rättningsmall: Rätt eller fel. 5. (p) Låt f ( ). Bestäm funktionens lokala etremvärden och deras typ. f ( ) f ( ) 1 Stationära punkter: f ( ) Alltså, två stationära punkter 1 1 och 1. Vi avgör punkternas typ med hjälp av andraderivatatestet: f ( ) i) f ( 1 ) 0 1 är en minpunkt. Funktionens värde i punkten : y min f ( 1 ). ii) f ( ) 0 1 är en mapunkt. Funktionens värde i punkten : y ma f ( 1). Grafen till f() (ritad med hjälp av ett dataprogram) Sida av 5

4 Svar: Funktionen har ett lokalt minimumm ymin i punkten =1 och ett lokalt maimum yma i punkten = 1. Rättningsmall: Korrekta stationära punkter =1p. Korrekt en stationärpunktt och punktens typ=1p. Allt korrekt=p. 6. (p). Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att är ä delbart med för n 0. (Man får 0 poäng om man inte använder den matematiska induktionen utan bevisar påståendet på ett annat sätt.) a) (Induktionsbas) För n 0 får vi =0 vilket är delbart med. Alltså gäller påståendet för n = 0. b) (Induktionssteg) Antag att det för givet n gällerr påståendet, P(n), dvs =c (*), där c är ett helt tal. Vi vill visa att då gäller P(n+ 1) d v s att ( n 1) 5( n 1) = d för ett heltal d. Vi utvecklar ( n 1) 5( n 1) = n n 1 5n 5 n 6 c n 6 (c n ) dd (enligt (*) gäller =c ) (där d c n är uppenbart ett heltal). Detta betyder att ( n 1) 5( n 1) är delbart med. Alltså P( n) P( n 1). Från a) och b) får vi, enligt den matematiska induktionen, att påståendet gäller för alla heltal n 0. Rättningsmall: Korrekt induktionsbas =1p. Korrekt induktionsst teg =1p. Sida av 5

5 7. (p) Rita följande punktmängder i y-planet a) {(, R : y } b) {(, R : a) Cirkeln med centrum i origo och radien r=. 9 y 9} b) Om vi delar 9y 9 med 9 får vi y 9 1 centrum i origo och halvalarna a = och b = Därmed är grafen en ellips med Svar: Se ovan. Rättningsmall: a=1p b=1p (Rätt( eller fel för varje del.) Sida 5 av 5