saknar reella lösningar. Om vi försöker formellt lösa ekvationen x 1 skriver vi x 1

Transkript

1 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL Inlednng Ekvatonen x 1 har två reella lösnngar, x 1, dvs x 1, medan ekvatonen x 1 saknar reella lösnngar Om v försöker formellt lösa ekvatonen x 1 skrver v x 1 Igen samma problem: roten 1 är nte defnerat som ett reellt tal Hstorskt utvdgade man mängden av reella tal genom att formellt beteckna 1 = För talet som kallas för magnär enhet gäller alltså 1 (Anmärknng: I modern komplex analys betraktar man att 1 har två värden där kallas prncpalvärdet av 1 ) Exempel 1 Lös ekvatonerna a) x b) x 3 c) ( x 3) 3 d) x x 0 Lösnng: a) ekvatonen x två lösnngar x eller x b) Ekvatonen x 3 har två lösnngar x 3 eller x 3 c) Ekvatonen ( x 3) 3 löser v på lknande sätt x 3 3 x 3 3 x 3 3 d) Ekvatonen x x 0 löser v med pq-formeln V har x , Ett tal som kan skrvas på formen a b där a, b R kallas ett komplext tal Tll exempel är 1 ett komplext tal Mängden av alla komplexa tal betecknas C dvs C { a b : a, b R } Specella fall: ) Om b=0 får v a I detta fall är ett reellt tal t ex = 8 ) Om b=0 får v b I detta fall är ett rent magnär tal Sda 1 av 11

2 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR POTENSER AV Potenser av kan beräknas enlgt följande: 0 1, 1, 1, 3, ( 1)( 1) 1 För att beräkna högre potenser n där n >, använder v resultatet 1 V skrver n på formen n=k+r ( där r är resten om n delas med, r kan vara 0, 1, eller Då gäller n nr n r r (eftersom n ( n n ) 1 1 Exempel Beräkna a) 38 b) 3 Lösnng: a) n 1 (eftersom ( ) b) 1 Defnton: Om a b och a, b R då gäller: a kallas realdelen av och betecknas Re( ) b kallas magnärdelen av och betecknas Im( ) a b kallas konjugatet tll och betecknas a b kallas absolutbeloppet av och betecknas Följande relatoner används vd olka beräknngar: ( a b)( a b) a b a b Med andra ord:, dvs produkten av ett komplext tal och dess konjugat är alltd ett reellt tal 0 Exempel 3 Låt 3 Bestäm Re( ), Im( ),, och Lösnng: Re( ), Im( ) 3, 3, ( ) ( 3) 3, ( 3)( 3) RÄKNEOPERATIONER med komplexa tal rektangulär form (dvs a+b form) Addton, multplkaton och dvson av komplexa tal (på rektangulär form) Addton: Låt 1 a b och c d Då gäller a b c d ( a b) ( c d ) 1 Multplkaton: 1 ( a b)( c d) ac ad bc bd ( ac bd ) ( ad bc) Sda av 11

3 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Anmärknng: Man kan strängt defnera mängden av alla komplexa tal som mängden av talpar ( a, b) där a och b är reella tal, med följande räkne operatoner: addton: ( a, b) ( c, d ) ( a c, b d ) och multplkaton: ( a, b) ( c, d ) ( ac bd, ad bc) Paret (0,1) representerar den magnära enheten Dvson: Låt 1 a b och c d 1 a b a b c d ac bc ad bd Då gäller (notera att 1) c d c d c d c d ( ac bd) ( bc ad) ac bd bc ad = c d c d c d Exempel Låt 1 3 och 1 Beräkna a) 1 b) 1 och c) Lösnng: a) ( 3) ( 1 ) 3 1 b) ( 3)( 1 ) c) Räknelagar för komplexkonjugerng ( w) w, ( w) w, w w Räknelagar för absolutbelopp w w (w 0) w w n n w w (trangelolkheten) ( )(1 ) Exempel Låt Beräkna 1 Lösnng: V kan först beräkna och sedan bestämma men det är mycket enklare att använda räknelagar för absolutbelopp Enlgt ovanstående räknelagar har v Sda 3 av 11

4 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR ( )(1 ) ( 1 11) ( ) DET KOMPLEXA TALPLANET Komplexa tal kan v framställa som punkter det komplexa talplanet som nnehåller en reell och en magnär axel b a b a b a Absolutbeloppet a b är lka med avståndet, det komplexa talplanet, från punkten a b tll orgo ========================================== Avståndet mellan två punkter det komplexa talplanet x y 1 x1 y1 Låt P 1 och P vara två punkter det komplexa talplanet som representeras av komplexa talen x y och x y För avståndet mellan punkterna gäller d( P1, P ) ( x x1) ( y y1) 1 ======================================== Crkelns ekvaton det komplexa talplanet: Crkeln med raden r och centrum punkten 0 a b har ekvatonen (på komplex form) 0 r dvs ( a b) r eller a b r Sda av 11

5 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR b r a 0 b x y O a Om crkelns centrum lgger orgo O (svarar mot enkel: 0 r dvs r 0+0=0 ) då d är crkelns ekvaton väldgt Exempel 6 Rta det komplexa talplanet mängden av alla punkter som bestäms av a) 3 Lösnng: b) 1, c) 1 d) 1 a) Relatonen 3 satsferas av de punkter som lgger nut och på crkeln med centrum punktenn 0 och raden 3 (Detta är en sluten crkelskva) b) Från 1 (genom att bryta ut 1) har v ( ) 1Detta är ekvatonen för crkeln med centrum punktenn och raden 1 Sda av 11

6 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR x y 0 c) 1 satsferas av de punkter som lgger nut och på själva crkelns lnje med centrum punkten och raden 1 (Detta är en sluten crkelskva) x y 0 c) 1 satsferas av de punkter som lgger utanför och på själva crkelns lnje x y 0 ================================================== ÖVNINGSUPPGIFTER Uppgft 1 Låt talplanet 3 Bestäm Re( ), Im(), och Rta och det komplexa Svar: Re( ) 3, Im( ), 3, 9 16 Sda 6 av 11

7 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR y 3 O 3 x 3 Uppgft Rta det komplexa tal planet mängden av alla komplexa tal som satsferar a) Re b) Re c) Im 3 d) både Re och Im 3 Svar: Den färgade delen fgurerna representerar den sökta mängden a) b) c) d) Sda 7 av 11

8 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Uppgft 3 Rta det komplexa tal planet mängden av alla komplexa tal som satsferar a) b) både och Im( ) Svar: Den färgade delen fgurerna representerar den sökta mängden a) b) Uppgft 1 a) Bestäm Re(w ) om w b) Rta det komplexa tal planet mängden av alla komplexa tal 1 ( betecknar - konjugat) som satsferar Lösnng: a) w Re( w) 1 Svar a) Re( w) b) Eftersom ( x y)( x y) x y skrver v 1 som 1 1 Ssta relatonen är uppfylld om punkten lgger mellan (och på) två crklar 1 och Svar b) Sda 8 av 11

9 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Uppgft a) Bestäm w om 3 w 3 b) Ekvatonen 1 beskrver en rät lnje det komplexa tal planet Sätt x y och skrv ekvatonen på formen y kx m Lösnng: a) 3 w 1 3 b) 1 x y x y 1 x ( y 1) x 1 y x x x ( y 1) ( x 1) y (V kvadrerar båda leden ekvatonen) ( y 1) ( x 1) y y y 1 x x 1 y y x y x Svar: a) w 1 b) y x Uppgft 6 Bestäm det reella talet a så att 1 a blr reellt Lösnng: 1 a 1 a ( a) (a ) = 9 Om detta tal skall vara reellt måste magnärdelen vara 0, vlket ger a 0 d v s a / Svar: a Sda 9 av 11

10 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Uppgft a) Bestäm magnärdelen av (1 ) ( ) b) Bestäm absolutbeloppet av w då w 10 Lösnng: a) (1 ) Svar a) Im()= (1 ) ( ) b) w = Svar b) w 8 ( 8) = Uppgft 8 a) Bestäm magnärdelen av b) Ekvatonen beskrver en rät lnje det komplexa talplanet Sätt y kx m x y och skrv ekvatonen på formen Lösnng: 3 11 a) (beräkna själv) 11 Svar a) Im( ) Im( ) 11 b) Substtutonen x y ekvatonen ger x y 1 x y 3 3 ( 1) ( 1) ( 3) ( 3) x y x y ( efter kvadrerng) ( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y x x 1 y y 1 x 6x 9 y 6y 9 y x 16 y x Svar b) y x Sda 10 av 11 3)

11 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Uppgft 9 Bestäm 3 då 3 (s 3 ), där s å år ett reellt tal Lösnng: 3 ( s 3) 3 ( s 3) ( s 3) s 6s 13 Svar: s 6s 13 Uppgft 10 a) Bestäm w om w 1 b) Skssera det komplexa talplanet området som består av allaa som satsferar 1 ( ) 3 3 Lösnng: a) w Svar a: w 1 Svar b: Sda 11 av 11