Vektorgeometri för gymnasister
|
|
- Kristina Bengtsson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I
2 Innehåll Räta linjer i planet Räta linjens ekvation på parameterform Räta linjens ekvation på normalform Normalformen i ortonormerade system Räta linjens ekvation i rummet 26 januari (27)
3 Räta linjer i planet Vi är bekanta med linjens ekvation i planet på så kallad k-form y = kx +m. Här är k riktningskoefficienten; ett mått på linjens lutning, medan m anger skärningen mellan linjen och y-axeln. Ekvationen för en lodrät linje kan inte skrivas på k-form, utan här blir istället ekvationen på formen x = c (0,m) (c,0) för någon konstant c (som anger skärningen x = c mellan linjen och x-axeln). Ovanstående tolkningar av koefficienterna k, m och c, bygger på att vi arbetar med ett ortonormerat koordinatsystem, d.v.s. att koordinataxlarna är vinkelräta mot varandra och har samma skala. Vi kommer nu att släppa kravet på att koordinatsystemet är ortonormerat... y = kx +m 26 januari (27)
4 Räta linjens ekvation på parameterform Antag att vi har givet ett koordinatsystem (O,e x,e y ) för punkterna i planet. Här alltså O en punkt i planet, som tjänstgör som origo, medan (e x,e y ) är en bas för planets vektorer, vilket innebär att e x och e y inte är parallella. Till att börja med förutsätter vi inte att (e x,e y ) nödvändigtvis är en ON-bas. För att entydigt kunna bestämma en linje L i planet, behöver vi känna till en punkt P 0 = (x 0,y 0 ) som vi vet ligger på linjen en vektor v = (α, β) 0 som är parallell med linjen. Vektorn v är en så kallad riktningsvektor för linjen. P 0 P P 0P Låt P = (x,y) vara en godtycklig punkt i planet. Då ligger P på L, om och endast om P 0 P är parallell med v, d.v.s. P 0 P = tv för något reellt tal t. v L 26 januari (27)
5 Med P = (x,y) och P 0 = (x 0,y 0 ) så blir P 0 P = (x x 0,y y 0 ). Eftersom vidare v = (α, β), så kan ekvationen P 0 P = tv skrivas (x x 0,y y 0 ) = (tα,tβ). Vi får de två ekvationerna x x 0 = tα och y y 0 = tβ, vilka vi kan sammanfatta i den räta linjens ekvation på parameterform: { x = x0 + tα y = y 0 + tβ. Variabeln t kallas parameter. Om vi varierar på t, kommer punkten (x,y) = (x 0 +tα,y 0 +tβ) att förflytta sig längs med linjen. Ekvationen { x = 4 + 3t y = 3 t kan vi tolka som den räta linje L, som går genom punkten P 0 = ( 4,3) och har riktningsvektorn v = (3, 1). För t.ex. t = 2 får vi (x,y) = ( ,3 2) = (2,1), som är en punkt på L. Andra punkter på L är t.ex. ( 7,4) (som svarar mot t = 1) och (296, 97) (som svarar mot t = 100). Punkten ( 1,1) är ett exempel på en punkt som inte ligger på L, eftersom det inte finns något t så att ( 4 +3t,3 t) = ( 1,1). 26 januari (27)
6 Bestäm en ekvation på parameterform för den räta linje som går genom punkten P 0 = (1,0) och har v = (0, 2) som riktningsvektor. Lösning. Vi kan skriva linjens ekvation på parameterform som { x = t y = 0 + ( 2) t { x = 1 y = 2t. Gemensamt för alla punkter på linjen är alltså att x-koordinaten är januari (27)
7 Bestäm en ekvation på parameterform, för den räta linje som går genom punkterna P = (3,1) och Q = (1,5). Lösning. För att kunna teckna en ekvation på parameterform, behöver vi veta koordinaterna för en punkt på linjen (vilket vi gör; vi kan välja P eller Q), samt en riktningsvektor. Som riktningsvektor kan vi välja PQ = ( 2,4). Väljer vi punkten till P, så kommer ekvationen att bli { x = 3 2t y = 1 + 4t. Observera att utseendet på ekvationen beror valet av punkt på linjen samt riktningsvektor. Ekvationen { x = 1 + t y = 5 2t beskriver faktiskt samma räta linje. Ser du varför? 26 januari (27)
8 De två räta linjerna L 1 : { x = 1 t y = 1 + 3t och L 2 : { x = 2 + t y = 3 + 2t är inte parallella, eftersom deras respektive riktningsvektorer v 1 = ( 1,3) och v 2 = (1,2) inte är det. Alltså har linjerna en gemensam skärningspunkt. Vi kan bestämma koordinaterna för denna punkt, genom att lösa ekvationssystemet { { 1 t1 = 2 + t 2 t1 t 2 = t 1 = 3 + 2t 2 3t 1 2t 2 = 4. Observera att vi har bytt namn på parametern till t 1 i ekvationen för L 1 och till t 2 i ekvationen för L 2 ; detta för att det ju inte säkert att skärningspunkten svarar mot samma värde på parametern i ekvationen för L 1 som i ekvationen för L 2. Ovanstående ekvationssystem visar sig ha lösningen t 1 = 2, t 2 = 1. Sätter vi t = t 1 = 2 i ekvationen för L 1 (eller t = t 2 = 1 i ekvationen för L 2 ) får vi den gemensamma skärningspunkten ( 1,5). 26 januari (27)
9 Räta linjens ekvation på normalform Betrakta ekvationen { x = 1 + t y = 5 2t från ett tidigare exempel. Om vi löser ut parametern t ur båda ekvationerna får vi dels t = x 1, dels t = (5 y)/2. Alltså måste x 1 = 5 y 2(x 1) = 5 y 2x +y 7 = 0. 2 Vi har här skrivit den räta linjen på så kallad normalform (kallas ibland också för allmän form eller affin form). Det visar sig att varje rät linje kan skrivas på normalform, oavsett vilket koordinatsystem man använder sig av. Sats Varje rät linje i planet kan i ett godtyckligt koordinatsystem framställas på formen ax +by +c = 0 för några konstanter a, b och c, där minst ett av talen a och b är skilt från noll. Omvänt är varje ekvation på ovanstående form en ekvation för en rät linje i planet. 26 januari (27)
10 För att skriva den räta linjen { x = 2 t y = 4 + 2t på normalform, löser vi ut t ur båda ekvationerna och sätter båda dessa uttryck för t lika med varandra. Vi får x = 2 t t = 2 x och y = 4 +2t t = y 4, 2 och därmed 2 x = y 4 2 2(2 x) = y 4 2x y +8 = januari (27)
11 I ett tidigare exempel fann vi att en ekvation på parameterform för den räta linje som går igenom punkten P 0 = (1,0) och har v = (0, 2) som riktningsvektor ges av { x = 1 y = 2t. Här kan vi inte som i föregående exempel lösa ut t ur båda ekvationerna, eftersom den första ekvationen ju inte innehåller något t. Men som vi tidigare noterade, har ju alla punkter på linjen det gemensamt, att deras x-koordinat är 1, så från den första ekvationen x = 1 ovan får vi helt enkelt att en ekvation på normalform för linjen ges av x 1 = 0. I den allmänna formeln ax +by +c = 0 är alltså a = 1, b = 0 och c = januari (27)
12 För att skriva räta linjen 3x +4y 5 = 0 på parameterform, sätter vi antingen x eller y lika med t, och löser sedan ut den andra variabeln. Med t.ex. y = t, så blir 3x +4t 5 = 0 3x = 5 4t x = (5 4t)/3, vilket ger { x = 5/3 4t/3 y = t. Detta är den räta linje som går genom punkten (5/3,0) och har riktningsvektorn ( 4/3, 1). Sätter vi istället x = t och löser ut y, så får vi ekvationen { x = t y = 5/4 3t/4. Linjen går genom punkten (0, 5/4) och har riktningsvektorn (1, 3/4). Även om ekvationerna ser olika ut, beskriver de alltså samma linje. 26 januari (27)
13 Normalformen i ortonormerade system Om det koordinatsystem (O,e x,e y ) vi använder är ortonormerat (d.v.s. om (e x,e y ) utgör en ON-bas), så finns en geometrisk tolkning av en linjes ekvation på normalform (som förklarar varför man kallar det just för normalform.) Låt L vara den räta linje som går genom punkten P 0 = (x 0,y 0 ) och har vektorn v = (α, β) som riktningsvektor. Antag att denna i ett ortonormerat koordinatsystem har ekvationen ax + by + c = 0 på normalform. För varje värde på parametern t är P = (x 0 +tα,y 0 +tβ) en punkt på L, och denna punkts koordinater måste därför uppfylla linjens ekvation på normalform, d.v.s. för alla värden på t gäller a(x 0 +tα) +b(y 0 +tβ) +c = 0. v = (α, β) L P 0 = (x 0,y 0) P = (x 0 +tα,y 0 +tβ) 26 januari (27)
14 v = (α, β) P 0 = (x 0,y 0) L : ax +by +c = 0 P = (x 0 +tα,y 0 +tβ) Ekvationen a(x 0 +tα) +b(y 0 +tβ) +c = 0 kan vi skriva om som (ax 0 +by 0 +c) +t(aα +bβ) = 0. Eftersom punkten P 0 = (x 0,y 0 ) ligger på L, så är ax 0 +by 0 +c = 0, vilket medför att t(aα +bβ) = 0 ska gälla för alla t. Men a, b, α och β är konstanter; de varierar inte. För att t(aα +bβ) = 0 ska kunna vara sant för alla värden på t, måste därför aα +bβ = 0. (1) Sätt n = (a, b). Eftersom vårt koordinatsystem är ortonormerat, kan (1) tolkas som skalärprodukten mellan vektorerna v och n. Vi får alltså att n v = 0, d.v.s. att riktningsvektorn v = (α, β) är ortogonal mot n = (a,b). 26 januari (27)
15 Vi sammanfattar resonemanget i en sats: Sats Om ekvationen för en rät linje ges av ax +by +c = 0 i ett ortonormerat koordinatsystem, så är vektorn n = (a, b) en normalvektor till linjen, d.v.s. den är ortogonal mot densamma. ax +by +c = 0 n = (a,b) 26 januari (27)
16 Bestäm en ekvation på normalform för den räta linje L, som går genom punkten P = (1, 1) och som är vinkelrät mot linjen med ekvationen x 2y + 8 = 0. Koordinatsystemet är ortonormerat. Lösning. Den räta linjen L kommer att som riktningsvektor ha normalvektorn till den givna linjen. En normalvektor till den givna linjen ges av n = (1, 2). Eftersom L dessutom ska gå genom punkten P = (1, 1), så blir { x = 1 + t y = 1 2t en ekvation på parameterform för linjen. Skriver vi om denna ekvation på normalform (på samma sätt som i tidigare exempel), så får vi 2x +y 1 = 0. x 2y +8 = 0 P n L 26 januari (27)
17 En rät linje L har på parameterform ekvationen { x = 4t y = 1 3t. Vi ska bestämma det kortaste avståndet mellan L och punkten P = ( 1, 8). Koordinatsystemet är ortonormerat. Låt Q vara en godtycklig punkt på L. Då är Q = (4t,1 3t) för något t. Vi söker det t som minimerar PQ. Om Q voredenpunktpålsomlågnärmastp, så skulle PQ vara ortogonal mot L:s riktningsvektor, d.v.s. mot v = (4, 3). Alltså ska skalärprodukten v PQ vara noll. P Q Q Q Q Q L 26 januari (27)
18 Med P = ( 1,8) och Q = (4t,1 3t) så blir PQ = (4t,1 3t) ( 1,8) = (4t +1, 3t 7). Detta ger v PQ = 0 (4, 3) (4t +1, 3t 7) = 0 4(4t +1) + ( 3)( 3t 7) = t = 0 t = 1. För t = 1 blir PQ = ( 3, 4). Det är längden av denna vektor som är det sökta kortaste avståndet mellan P och L, d.v.s. PQ = ( 3) 2 + ( 4) 2 = januari (27)
19 Räta linjens ekvation i rummet Låt ett koordinatsystem (O,e x,e y,e z ) för punkterna i rummet vara givet. Precis som i fallet med planet, förutsätter vi inte att detta är ortonormerat, till att börja med. För att entydigt kunna bestämma en linje L i rummet, behöver vi precis som i planet känna till en punkt P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) på L en riktningsvektor v = (α, β, γ) 0 för L. En punkt P = (x,y,z) ligger på L, om och endast om P 0 P = tv för något t. Ekvationen P 0 P = tv blir (x x 0,y y 0,z z 0 ) = (tα,tβ,tγ) på koordinatform. Genom att jämföra koordinat för koordinat får vi räta linjens ekvation på parameterform: x = x 0 + tα y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ. P 0 P P 0P 26 januari (27) v L
20 Ekvationen x = 2 t y = 1 + 2t z = 3t beskriver den räta linjen genom punkten (2, 1,0) med riktningsvektorn ( 1, 2, 3). Om punkten P = (3, 3, 3) ligger på linjen, måste det finnas ett värde på t, så att 3 = 2 t 3 = 1 + 2t 3 = 3t. Vi ser att t = 1 uppfyller samtliga tre ekvationer, så P ligger på L. Däremot ligger inte punkten Q = (2,1,1) på L, eftersom ekvationssystemet 2 = 2 t 1 = 1 + 2t 1 = 3t saknar lösning. 26 januari (27)
21 Bestäm en ekvation på parameterform för den räta linje som går genom punkterna P = (3, 1,2) och Q = (2,0,1). Lösning. Vi behöver veta en punkt på linjen och en riktningsvektor för densamma. Väljer vi punkten till P och riktningsvektorn till PQ = (2 3,0 ( 1),1 2) = ( 1,1, 1), så fås ekvationen x = 3 t y = 1 + t z = 2 t. Ekvationens utseende beror givetvis på valet av punkt och riktningsvektor. Precis som i planet kan alltså flera olika ekvationer beskriva en och samma linje. 26 januari (27)
22 Betrakta linjerna L 1 och L 2, med respektive ekvationer x = 3 + t x = 3 + 2t L 1 : y = 5 2t L 2 : y = 1 + 2t z = 1 + 6t z = 5 + 5t. Linjerna är inte parallella, eftersom deras riktningsvektorer v 1 = (1, 2,6) och v 2 = (2,2,5) inte är det. Har de en gemensam skärningspunkt? För att undersöka detta, sätter vi linjernas ekvationer lika med varandra och löser det då erhållna ekvationssystemet: 3 + t 1 = 3 + 2t 2 t 1 2t 2 = 0 5 2t 1 = 1 + 2t 2 2t 1 2t 2 = t 1 = 5 + 5t 2 6t 1 5t 2 = t 1 2t 2 = 0 6t 2 = 6 7t 2 = Lösning saknas; linjerna skär ej varandra, trots att de ej är parallella. 26 januari (27)
23 Om vi i det förra exemplet modifierar ekvationen för L 2 något, så att vi får linjerna x = 3 + t x = 3 + 2t L 1 : y = 5 2t L 2 : y = 1 + 2t z = 1 + 6t z = 6 + 5t så finns det en gemensam skärningspunkt, ty ekvationssystemet 3 + t 1 = 3 + 2t 2 5 2t 1 = 1 + 2t t 1 = 6 + 5t 2 { t1 = 2 har lösningen t 2 = 1. Sätter vi t = t 1 = 2 i ekvationen för L 1 (eller t = t 2 = 1 i ekvationen för L 2 ) får vi den gemensamma skärningspunkten till (5,1,11). 26 januari (27)
24 Antag nu att det koordinatsystem vi använder oss av är ortonormerat. Då kan vi lösa problem som har att göra med avståndsberäkningar att göra. Vi ska beräkna det kortaste avståndet från punkten P = (0,1,2) till linjen x = 5 + 3t L: y = 4 z = 1 2t. Koordinatsystemet är ortonormerat. Precis som i motsvarande frågeställning i planet, söker vi den punkt Q på L, som är sådan att PQ blir ortogonal mot L:s riktningsvektor, som ges av v = (3,0, 2). Om Q ligger på L, så är Q = ( 5 +3t,4,1 2t) för något t, och därmed PQ = ( 5 +3t 0,4 1,1 2t 2) = ( 5 +3t,3, 1 2t). P Q L 26 januari (27)
25 Detta ger att För t = 1 blir v PQ = 0 (3,0, 2) ( 5 +3t,3, 1 2t) = 0 3( 5 +3t) +0 3+( 2)( 1 2t) = t = 0 t = 1. PQ = ( ,3, 1 2 1) = ( 2,3, 3), vars längd PQ = ( 2) ( 3) 2 = 22 är det avstånd vi söker. 26 januari (27)
26 I en triangel kan man dra tre höjder från vart och ett av hörnen, vinkelrätt mot motstående sida(eller dess förlängning), se vidstående figur. Antag att P = (1,1,2), Q = (2,1,3) och R = (0,1,4) i ett ortonormerat koordinatsystem för rummet. Bestäm längden av var och en av de tre höjderna i triangeln PQR. Linjen som går genom punkterna P och Q har PQ = (1,0,1) som riktningsvektor, och kan därför tecknas som x = 1 + t y = 1 z = 2 + t R P Q på parameterform. Den punkt S = (1 +t,1,2 +t) på sidan PQ (eller dess förlängning) som ligger närmast R ska uppfylla RS PQ = 0. Punkten S blir då samtidigt fotpunkt för höjden mot sidan PQ. 26 januari (27)
27 Med R = (0,1,4) och S = (1 +t,1,2 +t) blir RS = (1 +t,0, 2 +t). Eftersom vi ju hade PQ = (1,0,1), får vi ekvationen RS PQ = 0 (1 +t,0, 2 +t) (1,0,1) = 0 (1 +t) +0+( 2 +t) = t = 0 t = 1/2. Med t = 1/2 blir RS = (3/2,0, 3/2) en vektor av längd RS = ( 1) 2 = På liknade vis kan de övriga höjdernas längder bestämmas (övning!). 26 januari (27)
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs mer===================================================
AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1)
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs mer2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s
Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs mer2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =
Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merx+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2
Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =
Läs merLinjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.
Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät
Läs merEftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:
MATA15 Algebra, delprov, 6 hp Lördagen den 8:e december 01 Skrivtid: 800 100 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Ligger punkterna P 1 = (0, 1, 1), P = (1,, 0), P = (, 1, 1) och P 4 = (, 6,
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merkan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.
vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merVektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.
Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på
Läs mer1 Vektorer i koordinatsystem
1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en
Läs merVektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson
Vektorgeometri En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 01 Innehåll 1 Inledning Geometriska vektorer.1 Definition av vektorer........................
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merVektorer för naturvetare. Kjell Elfström
Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................
Läs merLinjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och
Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merP Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs merBetygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så
Kurs: HF90 Matematik, Moment TEN (Linjär Algebra) ) Datum: 4 augusti 08 Skrivtid 08:00 :000 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävss 0 av maxx 4 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D,
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem
Läs merMoment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument
Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella
Läs merSeptember 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och
Fö : September 3, 205 Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har i en riktning, och ii en nollskild längd betecknad P Q. Man använder riktade sträckor
Läs merAtt beräkna:: Avstånd
Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merInledande kurs i matematik, avsnitt P.2. Linjens ekvation kan vi skriva som. Varje icke-lodrät linje i planet kan skrivas i formen.
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..15 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = ( 1, 1) och har riktningskoefficient k = 1. P..17 Bestäm en ekvation för den linje som går genom
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merMoment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så
Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll
Läs mer14. Minsta kvadratmetoden
58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?
Läs merDatum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.
Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,
Läs merFöreläsningsanteckningar i linjär algebra
1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41
Läs merÖvningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1
Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merStudiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra
Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merÖvningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0
Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs mer{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.
34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merTENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
RTNRMERADE BASER I PLAN (D) CH RUMMET (D) RTNRMERAT KRDINAT SYSTEM Vi säger att en bas i rummet e x e e z följande villkor är uppfllda: ( e x e i plan) är en ortonormerad bas om basvektorerna är parvis
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merKontrollskrivning i Linjär algebra ,
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra 7 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje
Läs merProof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0.
1. Punkt och Linjer När du läser denna text är det bra om du ritar bilder för att exemplifiera innehållet. Det är lite komplicerad med i.tex, och därför avstår jag från att lägga vid illustrationer även
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merAB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys
AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma
Läs merVEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb
VEKTORGEOMETRI Christian Gottlieb Matematiska institutionen Stockholms universitet 2:a upplagan 2001 2014 Förord Detta kompendium har sedan några år använts i utbildningen av grundskolelärare i matematik
Läs mer2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 2
Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merVektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v.
Kapitel 1 Vektorer Vektorbegreppet 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v. 1.2 Rita ut vektorerna u=(3,1) och v=( 2,2) i samma koordinatsystem. Illustrera additionerna/subtraktionerna
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs mer3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merVektorgeometri och funktionslära
Vektorgeometri och funktionslära Xantcha 009 Del A: Beräkningsdel Räkningar behöver inte redovisas. Samtliga uppgifter måste vara korrekta om tentamen skall godkännas (möjligen kan något slarvfel tolereras),
Läs merMoment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.
Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller
Läs merFacit/lösningsförslag
Facit/lösningsförslag 06-08- Låt l vara linjen med parameterform x, y, z 0 s, mellan planet x y z och planet z 0 och låt l vara skärningslinjen a) Skriv l på parameterform b) Beräkna avståndet mellan l
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs mere 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2
Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π
Läs mer