TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

Transkript

1 TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge poäng. Poäng Betyg - A 9- B 6-8 C 3-5 D - E 9 Fx Fx är ett underkänt betyg men med möjlighet till komplettering. Kompletteringen kan endast göras upp till betyg E. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Börja varje ny uppgift på ett nytt blad, detta gör att rättningen blir säkrare. Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Skriv klass på omslaget, A, B eller C Undervisande lärare: Elias Said, Jonas Stenholm, Håkan Strömberg Examinator: Armin Halilovic Said, Stenholm, Strömberg STH KTH

2 Har du klarat KS:en hoppar du över de fyra uppgifterna i ramen nedan Uppgift ( poäng) Bestäm definitionsmängden för f(x) Uppgift ( poäng) f(x) = arcsin x 3 + ln x + x A B Para ihop de fyra graferna med funktionerna 3 C. D f(x) = x f(x) = x + 3 f(x) = x f(x) = x Svaret består av fyra kombinationer av: ett tal och en bokstav. Inga andra beräkningar efterfrågas. Uppgift 3 ( poäng) Givet de två funktionerna f(x) = ln x g(x) = x + x Bestäm eventuella x > för vilka f (x) är lika med g (x) Uppgift ( poäng) Bestäm lim x 5 3(x 5) 5( x 5) Said, Stenholm, Strömberg STH KTH

3 Uppgift 5 ( poäng) Kurvan i figuren ovan heter bifolium och har ekvationen Bestäm derivatan i punkten (, ) Uppgift 6 ( poäng) Låt (x + y ) x (x + 3y) = f(x) = x3 x Skissa kurvan y = f(x) med angivande av definitionsmängd samt eventuella asymptoter och lokala extrempunkter Uppgift 7 ( poäng) Betrakta en rätvinklig triangel med omkretsen. Låt a vara längden på den ena kateten. Bestäm triangelns sidor så att arean blir så stor som möjligt. Ange även den maximala arean. Uppgift 8 ( poäng) Bestäm de stationära punkterna samt avgör deras karaktär (max, min eller sadelpunkt) till flervariabelfunktionen f(x, y) = x 5 y + xy 5 + xy Uppgift 9 ( poäng) Bestäm värdet av följande generaliserade integral: Uppgift ( poäng) Bestäm samtliga primitiva funktioner till (Var god vänd) f(x) = x e x dx x + 6x + 8 Said, Stenholm, Strömberg 3 STH KTH

4 Uppgift ( poäng) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området x π, y cos x roteras kring x-axeln. Uppgift ( poäng) Beräkna tyngdpunktskoordinaterna (x c, y c ) för det område som definieras av y x och x + y 9 (se figuren) Said, Stenholm, Strömberg STH KTH

5 Lösningar Uppgift ( poäng) Grafen ger oss en idé om hur definitionsmängden kan komma att se ut Funktion arcsin x 3 Definitionsmängd 3 x 3 ln x x > x x D f är snittet av de tre mängderna ovan {x : 3 x 3} {x : x > } {x : x } = {x : < x < eller < x 3} Svar: D f = {x : < x < eller < x 3} Uppgift ( poäng) Svar: (, B), (, D), (3, C), (, A) Uppgift 3 ( poäng) Vi har att lösa f (x) = g (x) Vi får ekvationen x = x + = x + x x = x = Svar: x = Said, Stenholm, Strömberg 5 STH KTH

6 Uppgift ( poäng) Svar: 6 lim x 5 3(x 5) 5( x 5) lim x 5 3(x 5)( x + 5) 5( x 5)( x + 5) lim x 5 3(x 5)( x + 5) 5(x 5) 3( x + 5) lim x 5 5 3( 5 + 5) = 6 5 Uppgift 5 ( poäng) Vi bestämmer y genom att derivera implicit, men först utvecklar vi för enkelhetens skull uttrycket Svar: y (, ) = 5 (x + y ) x (x + 3y) = x 3 + x 3x y + x y + y = Nu är det dags att derivera 3x + x 3 (6xy + 3x y ) + (xy + x yy ) + y 3 y = Dags att lösa ut y 3x + x 3 6xy + xy = 3x y x yy y 3 y 3x + x 3 6xy + xy = y (3x x y y 3 ) y = 3x + x 3 6xy + xy 3x x y y 3 y (, ) = = 5 = 5 Said, Stenholm, Strömberg 6 STH KTH

7 Uppgift 6 ( poäng) Funktionen har D f = {x R : x ±}. Eftersom f(x) = x3 x lim f(x) = + och lim x ± + så är linjerna x = och x = lodräta asymptoter. Polynomdivision ger f(x) = f(x) = x ± x3 x = x + x x visar att linjen y = x är en sned asymptot åt båda håll (eftersom f(x) x då x ±. Horisontell asymptot saknas. Extrempunkter: Teckenstudie ger f (x) = 3x (x ) x 3 x (x ) = 3x x x (x ) = x (x ) (x ) f (x) = x (x ) = x = x = ± 3 x = 3 3 x x 3 + x f (x) + odef odef + f(x) 3 3 Max Odef Terrass Odef 3 3 Min Said, Stenholm, Strömberg 7 STH KTH

8 Uppgift 7 ( poäng) Låt a vara längden av den ena kateten. Då är den andra kateten b = a h h = a b, där är triangelns omkrets och h hypotenusan. Genom Pythagoras sats är h = a + b. Detta ger Arean är a + b = ( a b) a + b = a + a ( a)b + b a ( a)b = ( a)b = a b = a a A(a) = a b a a a a a a A (a) = (a )(a ) (a a) (a ) 6a 6a a + 8a + a (a ) A (a) = då 8a 6a + (a ) 8(a a + ) (a ) a a + = a = + a = Teckenstudie ger att a = ger att arean blir störst. b = a a ( ) ( ) a Kateterna: a = b medför att hypotenusan blir h = a b a ( ) = Den maximala arean blir A ( ) = ( ) ( ) ( ) 3 Said, Stenholm, Strömberg 8 STH KTH

9 Uppgift 8 ( poäng) f(x, y) = x 5 y + xy 5 + xy δf δx = 5x y + y 5 + y δf δy = x5 + 5xy + x ( δf δx, δf ) = δy medför { 5x y + y 5 + y = y(5x + y + ) = x 5 + 5xy + x = x(x + 5y + ) = Detta medför att den enda lösningen till ekvationssystemet är (x, y) = (, ). Observera att 5x + y + > och x + 5y + > för alla (x, y). Alltså är (, ) den enda stationära punkten. För att bestämma karaktären bestäms andraderivatan A C B δ f δx = x3 y δ f δx = δ f δy = xy3 δ f δy = δ f δxδy = 5x + 5y + δ f δxδy = AC B = < medför (x, y) = (, ) är en sadelpunkt Uppgift 9 ( poäng) Svar: T x e x dx = lim lim lim ( [ x x e x dx = lim e x ] T ) ( T + e x dx = lim ( T e T e T + e ) = lim ( Te T ) + = [L Hospital] = lim ( T e T ) + = [ ] = ( e T ) + = + = T e T [ e x] T ) = Said, Stenholm, Strömberg 9 STH KTH

10 Uppgift ( poäng) x + 6x + 8 dx Vi löser uppgiften genom att först partialbråksuppdela integranden Då x + 6x + 8 = (x + )(x + ) får vi x + 6x + 8 = A x + + B A(x + ) + B(x + ) x(a + B) + (A + B) = x + x = + 6x + 8 x + 6x + 8 Som ger ekvationssystemet { A + B = A + B = med lösningen (A, B) = (, ). Vi har nu att integrera x + 6x + 8 dx = x + x + = (ln x + ln x + ) + C Svar: (ln x + ln x + ) + C Uppgift ( poäng) Vi använder oss av omskrivningen π π cos x dx och får Svar: π π π + cos x dx = π cos x = [ x + + cos x ] π sin x = π ( π + sin π ) = π Said, Stenholm, Strömberg STH KTH

11 Uppgift ( poäng) Cirkelsektorns area är A = π 3 8 y c = A x c = A D D x dx dy = 8 π dθ 9π π 8 9π y dx dy = 8 π dθ 9π 8 π [ cos θ] π ( Svar: (x c, y c ) = π, 8 ) π 3 r cos θ dr = 8 π [ r 3 cos θ 9π 3 π = π 7 cos θ dθ = 8 3 π [sin θ] π = 8 3 r sin θ dr = 8 π [ r 3 sin θ 9π 3 = 8 ( ) ( + = 8 ) π π ] 3 dθ = 8 9π = 8 π ] 3 dθ π 7 sin θ 3 dθ = Said, Stenholm, Strömberg STH KTH