Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.

Transkript

1 MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 343 kl Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standard LMA55 Matematik KI, del B Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper. Fyll i omslaget ordentligt. För godkänt på tentan krävs 3 poäng på tentamens första del (godkäntdelen). Bonuspoäng från duggor räknas med. För betyg 4 resp. 5 krävs dessutom 33 resp. 43 poäng sammanlagt på tentamens två delar, varav minst 4 resp. 6 poäng på del. Lösningar läggs ut på kursens hemsida. Resultat meddelas via Ladok ca. tre veckor efter tentamenstillfället. Del : Godkäntdelen. Denna uppgift finns på separat blad på vilket lösningar och svar skall skrivas. Detta blad (6p) inlämnas tillsammans med övriga lösningar.. (a) Bevisa att om F och G är två primitiva funktioner till f på I, så gäller att G(x) = (p) F (x) + C för alla x i I. (b) Beräkna integralen x cos x dx. (p) x cos x dx = {PI} = sin(x) sin(x) x dx = sin(x) x + cos(x) 4 + C. 3. (a) Definera strängt växande- och strängt avtagande funktion. (p) (b) Visa att funktionen f(x) = x + ln x är strängt växande. (p) Vi har D f = {x : x > }. Deriverar vi f får vi f (x) = + x = x + >, då x x > f srängt växande. 4. Funktionen f(x) = x + 5 x + är given. (a) Ange samtliga asymptoter till kurvan y = f(x). Vi har lodrät asymptot: x = (visa) och sned asymptot:y = x (visa). (b) Ange eventuella lokala maxima och lokala minima för f. Deriverar vi f(x) får vi f (x) = x(x + ) (x + 5) (x + ) = x + 4x x 5 (x )(x + 5) (x + ) = (x + ). Vi ser i tabellen nedan att vi har lok.max. i ( 5, ) och lok.min. i (, ).

2 x 5 f (x) f(x) / (c) Skissera kurvan y = f(x). (p) y y = x +5 x+ 5 y = x x x = 5. (a) Lös differentialekvationen x y = y + med lösningsmetoden för linjära differentia- lekvationer av första ordningen. Differentialekvationen kan skrivas om på formen; y x y = x Multiplicerar vi båda led med den integrerande faktorn /x e dx = e /x får vi; d ( ) e /x y = dx x e/x e /x y = e /x + C y = Ce /x (b) Lös differentialekvationen x y = y + med lösningsmetoden för separabla differentialekvationer. x y = y + dy y + = dx x dy dx y + = x ln y + = x + D y + = e /x+d y + = ±e }{{} D e /x y = Ce /x C VÄND!

3 Del : Överbetygsdelen I allmänhet kan inte poäng på dessa uppgifter räknas in för att nå godkäntgränsen. 6. Bestäm volymen av den kropp som alstras då området som ges av sin x y och x π roterar kring x axeln. Området D i figuren till höger som vi ska låta rotera kring x axeln. y D y = sinx y = π x Rotationsvolymen blir då π V = π dx π π sin x dx = π π π ( sin x) dx = π cos x dx = π π (+cos x) dx = π (a) Bevisa att om en funktion f är deriverbar i punkten a så måste f vara kontinuerlig i (p) punkten a. (b) Bestäm konstanterna a och b så att funktionen { + ln x, x e, f(x) = ax + b, x < e blir deriverbar i punkten x = e. (Noggrann motivering krävs för full poäng!) För att f ska vara kontinuerlig i x = e krävs att f(x) = f(e).vi har att f(x) = + ln x) = = f(e) och f(x) = + b) = ae + b. + +( (ax Vi har då att ae + b =. För deriverbarheten krävs att f(e + h) f(e) f(e + h) f(e) =. h h h + h Vi har då att f(e + h) f(e) a(e + h) + b ae + b + ah ah = = = (ae+b = ) = h h h h h h h h = a. f(e + h) f(e) + ln(e + h) ( + ln e ln(e + h) ln e = = = f (e) = h + h h + h h + h e.

4 Vi får då att a = e och b =. 8. En vattentank, som har formen av en rak cirkulär cylinder, töms på vatten genom ett hål i botten. Efter timme har vattennivån i tanken sjunkit från 5 meter till meter. Hur lång tid tar det innan tanken är tömd? Antag att utströmningshastigheten(= Volymändring per tidsenhet) är proportionell mot kvadratroten av vattennivån( Torricellis lag). (4p) Sätt: h(t) som höjden av vattnet i tanken vid tiden t timmar. Enligt Torricellis lag får vi då differnetialekvationen dv dt = k h(t), där V (t) = πr h(t) och k en proportionalitetskonstant. Med V (t) = πr h(t) blir differentialekvationen d dt (πr h(t)) = k h(t) dh = K, där K = k h dt πr som är en separabel differentialekvation med lösningen dh = h K dt som ger oss h(t) = Kt + C. Från texten vet vi att h() = 5 och att h() =. Insättning av h() = 5 i DE ger 5 = K + C C = 5. Konstanten K bestämmer vi genom h() = = K + 5 K = ( 5). Differentialekvationen har lösningen h = ( 5)t + 5. Vi söker tömningstiden T d.v.s. för vilken tid T är h(t ) =. Insättning i DE ger

5 = ( 5)T + 5 T = 5 5. Lycka till! Jonny L

6 Anonym kod sid.nummer Poäng LMA55 Matematik KI, del B 343. Till nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats (endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas). (a) Beräkna gränsvärdet x + 7 3x 4. x x + 7 3x 4 = + 7 x x(3 4 x ) = x + 7 x x(3 4 x ) = + 7 x (3 4 = x ) 3. Svar: (b) Beräkna integralen x + 7x + dx. x + 7x + dx = A ( x B x + 4 ) dx = ( x + 3 ) dx = ln x+3 ln x+4 +C. x + 4 Svar: ln x + 3 ln x C (c) Bestäm en primitiv funktion till funktionen f(x) = sin 3 x. (4p) sin x( cos x) dx = { } t = cos x = dt = sin xdx ( t ) dt = t+ t3 3 +C = cos x x+cos3 +C. 3 Svar: cos x + cos3 x + C (d) Beräkna integralen dx. (5x 4) 3 R [ dx = dx = (5x 4) 3 R (5x 4) 3 R (5x 4) ] R = R (5R 4) ( 6 ) = 6. Svar: (e) Lös differentialekvationen y + 3y + y = x + x. KE: r + 3r + = r =, r = y h = C e x + C e x. För partikulärlösningen ansätter vi: y p = ax + bx + c y p = ax + b y p = a. Insättning i DE och identifiering ger y p = x x +. Svar: y = y h + y p = C e x + C e x + x x