Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande tet och figurer. Varje problem ger högst 5 poäng. Vill du räkna din poäng från delprovet ska du ej lämna in lösning på problem och 2. Väljer du att redovisa lösning på något av dessa problem, räknas istället poängen från slutprovet för både problem och 2. För godkänt krävs minst 8 poäng, för väl godkänt minst 28 poäng, inklusive din poäng från delprovet.. Beräkna gränsvärdet lim ( 2 ln ( En rät linje parallell med -aeln skär kurvan y /( 2 + i punkterna A och B. Tangenterna i A och B skär varandra i C. Bestäm linjen AB så att arean av triangeln ABC blir maimal. 3. Bestäm den lösning till differentialekvationen y 6y + 9y 9 som tangerar -aeln i origo. 4. Beräkna integralerna a 2 b Rita kurvan y 2 3 i dess huvuddrag. Genom origo går tre räta linjer som är normaler till kurvan. En av dessa har fotpunkten i origo, dvs den är normal till kurvan i denna punkt. Vilka är de båda andra normalernas fotpunkter? 6. Undersök om följande serier är konvergenta eller divergenta: a k( k k sin k b k2 sin k k( k. 7. Betrakta kurvan y Om den figur som bildas av kurvans del mellan och samt av sträckan y,, roterar kring y-aeln bildas en rotationskropp. Beräkna dess volym. 8. Låt f ( cos 2 för. Kan f ges ett värde även för så att funktionen blir kontinuerlig där. Vilket är i så fall detta värde? Blir även derivatan f kontinuerlig för i detta fall? (V.g.v

2 Några MacLaurin-utvecklingar e ! + 3 3! + + n (n! + O(n sin 3 3! + 5 5! + ( n (2n! 2n + O( 2n+ cos 2 2! + 4 4! + ( n (2n! 2n + O( 2n+2 ln( ( n n ( + a + a + a(a ! n + O( n+ a(a (a n + n + O( n+ n! ( n 2n 2n + O( 2n+ f ( f ( + f ( + f ( 2! f (n ( n + O( n+ n! 2

3 Lösning till problem : Vi använder MacLaurin-utveckling ( 2 ln + 2( O(/3 ( 2 + O(/ 2 + O(/ 2 då Lösning till problem 2: De två skärningspunkterna mellan kurvan y /( 2 + och linjen y b ges av A ( a, /(a 2 + och B (a, /(a 2 + där b /(a 2 +. Av symmetriskäl ligger C på y-aeln. Tangenten i B har ekvation Y a 2 + 2a (a 2 (X a + 2 vilket ger för X att Y a a 2 (a dvs C (, beräkna arean F(a av triangeln ABC som funktion av a. Vi får F(a 2 bas höjd 2 2a 2a 2 (a a 3 a a 2. Vi kan nu (a (a med definitionsmängd a <. Vi ser omedelbart att F( lim a F(a. Vidare är F (a 6a2 (a a 3 2(a 2 + 2a (a a2 (6 2a 2 (a Maimum inträffar för a 3 vilket ger linjen AB:s ekvation y 4. Lösning till problem 3: Den homogena differentialekvationen y 6y + 9y har karakteristiska ekvationen m 2 6m + 9, med dubbelrot m 3. Således är lösningen till den homogena ekvationen y H Ae 3 + Be 3 (A och B godtyckliga konstanter. Den inhomogena differentialekvationen har ett högerled som är ett polynom av grad. Vi ansätter därför en partikulärlösning av formen y P C + D. Insättning i ekvationen ger att 6C + 9(C + D 9. Om vi identifierar koefficienter för -termer och konstanttermer får vi { 9C 9 6C + 9D med lösning Således är y P + 2/3. Den allmänna lösningen blir då { C y y P + y H Ae 3 + Be /3. D 2 3 Villkoret tangering i origo medför att y( och y (. Detta ger { { y( y ( Den sökta lösningen är alltså A A + B + vilket ger att y 2 3 e3 + e /3 / 2 3 e { A 2/3 B 3

4 Lösning till problem 4a: En partiell integration ger [ 2 + ( + 2 π 4 + ( + 2. För att beräkna den andra integralen gör vi en partialbråksuppdelning. Ansätt ( + 2 A + B + C 2 + A( (B + C. Identifiering av koefficienter ger ekvationssystem 2 -koeff: A + B -koeff: C -koeff: A A B C Nu blir ( [ + 2 ln [ 2 ln( + 2 ln ln ln ln Detta ger till slut värdet 2 π 4 + ln 2. 2 Lösning till problem 4b: Den enklaste lösningen fås genom en substitution [ t t 2 dt dt / 2 + t 2 ( 2 t dt t + 2 (ln t ln t + [ ln t 2 t + 2 ln t 2 + Lösning till problem 5: Antag att fotpunkten till normalen ges av (p, 2p p 3. Ekvationen för normalen blir y (2p p 3 ( p. 2 3p2 Eftersom normalen ska gå genom origo måste (2p p 3 p 2 3p 2 vilket ger ekvationen p + (2 3p2 (2 p 2 p eller p(3p 4 8p Den andra faktorn kan delas upp (man kan lösa motsvarande ekvation som en andragradsekvation med p 2 som obekant i p(p 2 (3p 2 5. Vi får följande fall 4

5 . p ger fotpunkt (, på normalen y /2. 2. p och p ger fotpunkter (, resp (, på normalen y. 3. p 5/3 resp p 5/3 ger fotpunkter ( 5/3, 5/3/3 resp ( 5/3, 5/3/3 på normalen y /3. Lösning till problem 6a: Serien konvergerar ej eftersom termerna ej går mot k sin ( k k k + O(/k3 + O(/k 2. Lösning till problem 6b: Serien är absolut konvergent eftersom sin k k( k k( k k 3/2 / k }{{} Jämför med standardserie med eponent 3/2 >. Lösning till problem 7: Kurvan ritas enkelt om vi noterar att det är en jämn funktion och vi kan skriva den som y ( Vi har ett lokalt ma för och lokala minima för ±. Volymen som fås då det streckade området roterar runt y- aeln beräknas enklast med cylindriska skal. Höjden av skalet ges av skillnaden h( y(. Vi får då V 2π 2πh( 2π ( 2 2 π 3 Lösning till problem 8: Vi finner att ( [( 2 3 π 3. f ( cos 2 ( 2 /2 + O( O(2. Alltså gäller f ( /2 då. Om vi definierar f ( /2 så blir f kontinuerlig i per definition. Nu vill vi undersöka derivatan i origo. Först fås för f ( f ( cos ( 2 2! 4 4! + O(6 2( cos k 3/ ! + O(3 då. Detta visar att f (. För att avgöra om f är kontinuerlig i räcker det att visa att f ( f ( då. Men för är f ( 2 sin 2( cos 4 sin 2( cos 3 ( O(3 2( 2 /2! + O( 4 3 O(4 3 O( Vi ser att f ( f ( då, dvs f är kontinuerlig i. 5