Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. Lös ekvationen z 4 6i. (). Ange en parametrisk ekvation för skärningslinjen mellan planen π : x y + z 0 och π : x + y + z 0.. Bestäm alla egenvärden med tillhörande egenvektorer till matrisen A. 4. Bestäm matrisen i standardbasen för den linjära avbildningen T : R R som ges av ortogonal projektion på planet π : x s(,,) +t(0,,) (). Vilka av följande serier konvergerar? Vilka konvergerar absolut? a) n n n + e n, b) n cos(nπ) ln(n n ), c) n + n n n + n, ()

2 6. Undersök om följande gränsvärden existerar eller inte och beräkna dem om de existerar. a) lim x 0 cos x ( x x, b) lim ) n ln( + x)sinx n n, c) lim (x,y) (0,0) xy x y () 7. Bestäm det minimala och maximala avståndet från origo till skärningskurvan mellan den ( x ) elliptiska cylindern + y och planet x z. 8. Avgör om funktionen f (x,y) som definieras nedan har en stationär punkt i origo eller inte, samt om den har ett lokalt extremvärde där eller inte och om den har ett lokalt extramvärde där bestäm dess karaktär. f (x,y) x + x(y + x ) + cos(x)cos(y) 9. Lös följande diffekvation fullständigt y + y cos(αx) där y y(x) är en funktion av x och α är en reell konstant. 0. Laplaceoperatorn i två dimensioner, (i de kartesiskakoordinaterna x och y) definieras genom att den verkar på en funktion f C på följande sätt: ( ) f x + x f (x,y) f x + f y. a) Skriv om i polära koordinater, x r cosθ, y r sinθ (r ( x + y, θ y arctan ), dvs skriv ange f (r,θ) i termer av derivator m a p r och θ. x) b) En funktion f (x,y) som uppfyller f 0 kallas harmonisk. Hitta den allmänna formen för en harmonisk funktion som endast beror av variabeln r, dvs f (x,y) f (r) med r x + y. (6)

3 Lösningar till tentamen i Matematik MN Lösning till problem. Skriv om på polär form 6i re iθ med r 6 och θ θ n π + π + nπ π + nπ, där n 0,,, (övriga värden ger samma punkter) z ρeφ k ges då av ρ 4 6, och φ k 4 θ n π 8 + kπ + 4k π, där k 0,,,. 8 Lösning till problem. På på skärningslinjen måste båda ekvationerna gälla, dvs den första ger att x y z, stoppa in det i den andra ekvationen ger 0 (y z) + y + z 7y + z, dvs skärningslinjen har ekvationen 7y + z 0. Låt nu z vara parametern z t. Då blir y 7 t och x y z 7 t t 7 7 t och om vi bryter ut får vi en parameterframställning 7 (x,y,z) t( 7,,7), där t R. Lösning till problem. Lös egenvärdes ekvationen p(λ) det(a λi) λ λ ( ) λ 4 0 vilket ger λ ± dvs λ och λ. Lös sedan ekvationen AX λxför dessa båda värden på lambda. Du får då egenvektorerna (linjerna) v t(,), t R samt v t(, ), t R. Lösning till problem 4. Som bas kan vi använda vektorerna u (,,), v (0,,) i planet som du vet fixeras av projektionen (och de är redan ortogonala) samt w u v (,,), deras kryssprodukt som är normal till planet och därmed avbildas på (0,0,0). Ställ sedan upp ekvationssystemet F(u) u, F(v) v och F(w) 0. Använd lineariteten hos F för att göra om det till ett ekvationssystem i de obekanta F(e ),F(e ) samt F(e ) där e,e,e betecknar standardbasen i R. Du får då en matrisekvation med X (F(e )F(e )F(e )) t AX B, lös denna på lämpligt sätt, t.ex. genom att bara lösa det som ett vanligt ekvationssystem eller genom matrisräkning vilket slutligen resulterar i (F(e )F(e )F(e )) 6 Lösning till problem. a) divergent, ty a n n n + e n n + n e n + 0 b) betingat konvergent, ty a n cos(nπ) ln(n n ) ( )n ln(n n ) är alternerande, och a n ln(n n ) nlnn är strikt avtagande mot 0 eftersom nlnn är strikt växande. Ej absolutkonvergent eftersom nlnn är divergent. c) (absolut) konvergent, ty a n n + n n + n n n och n a n n n <

4 Lösning till problem 6. a) cosx x + 4! x4 + O(x 6 ), cos x x + ( 4 + )x4 + O(x 6 ) x + x4 +O(x 6 ) och enligt geometriska serien t +t +t +O(t ) blir alltså cos x x + x4 + O(x 6 ) (x x4 + O(x 6 )) +(x x4 +O(x 6 ))+x 4 +O(x 6 ) +x + x4 + vidare är ln( + x) x + O(x ) sin(x) x + O(x ) sätter vi ihop detta får vi lim n cos x x x ln( + x)sinx x 4 + O(x 6 ) x (x + O(x ))(x + O(x ) + O(x ) ( + O(x))( + O(x ), dåx 0 b) kom ihåg: (A B)(A+B) A B, då får vi lim n ( n ( lim + n) n e n n) e ( ) n ( n lim ) n ( + n n n n) c) om vi närmar oss (0,0) på x-axeln (y 0) blir limes 0, men om vi går längs linjen x y får vi limes till. Alltså kan grånsvärdet inte existera. Lösning till problem 7. Optimera först kvadraten på avståndet istället och ta roten ur den på slutet. Dvs vi ska optimera f (x,y,z) x +y +z underbivillkoren g (x,y,z) ( x ) +y 0 och g (x,y,z) x z 0. Ställ upp ekvationssystemet f λ g + µ g, g g 0, där f (x,y,z), g ( x,y,0) och g (,0, ) x λ x + µ y λy z µ 4 x + y x z ekvation har två lösningar, antingen y 0 eller y 0, λ. Om y 0 ger ekv 4 att x ± och ekvation ger att z x ± dvs punkterna blir (±,0,±) och f (±,0,±) 8. Om y 0 och λ då får vi ekvationerna x x + µ, z x µ dvs µ x och vi får x x x dvs x 0, och därmed också z 0 och y ±. Den stationära punkten i det här fallet blir (0,±,0) och f (0,±,0). Genom att jämföra de olika punkterna ser vi att max f 8 och min f under de givna bivillkoren. Det maximala resp minimala avståndet från origo till skärningskurvan blir alltså 8 resp. Lösning till problem 8. Taylorutveckla cosoch sätt in direkt för att identifiera Taylorpolynomet 4

5 av ordning. f (x,y) x + xy + x + ( x + O(x 4 ))( (y) + O(y 4 )) x + xy + x y + O( (x,y) ) Q(x,y) + R Q(x,y) x y + xy ( x 4y + 6xy ) ((x + y) y ) vilken är indefinit och f (x,y) har alltså en sadelpunkt och inget extremvärde i (0,0). Lösning till problem 9. Den homogena ekvationen y +y 0 löses först genom karakteristiska polynomet p(r) r + som har rötterna r i, r i och den allmänna lösningen blir då y h A e ix + B e ix Acosx + Bsinx För partikulärlösning, lös först hjälpekvationen y + y e iαx genom att sätta y ze iαx får vi y e iαx (z +iαz) och y e iαx (z +iαz α z) insättning i ekvationen samt förkortning med e iαx ger z + iαz + ( α )z vilkem t.ex. har lösningen z α vilket ger ỹ p eiαx cos(αx) + isin(αx) α α och vi vet att en partikulärlösning till den ursprungliga ekvationen ges av realdelen av detta, dvs y p cos(αx) α och den fullständiga lösningen är alltså y Acosx + Bsinx + cos(αx) α Lösning till problem 0. Använd kedjeregeln ett antal gånger och få fram f f r + cosθ f r θ r + f r θ cosθ f r θ + f r r om f (x,y) f (r) får vi ekvationen för en harmonisk funktion till: f f r + f r r 0. Löser man denna m.h.a. integrerande faktor får man där A och B är godtyckliga konstanter. f (r) Alnr + B