Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Transkript

1 Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x e x c. y = x + x + x + och y = x + x + d. y = x 5/ x / + x / och y = x / x / e. y = x 4x + x x + f. x + y = 6x och x axeln 4 x 8. (B) Kurvan y = (x + 4)(x + x + 4) skär x axeln i två punkter. Beräkna arean av den yta som begränsas av kurvan och x axeln. 8. (B) Bestäm arean inom kurvan a. y = x + x, x b. y = 4x 4x 4 c. y = (x ) ( x) 84. (B) Beräkna arean av det område som begränsas av a. y 5 + 4y 4 x =, y b. (y x) = y och x axeln c. x = y, x(y + ) = och x axeln d. y = arcsin x, y = arccos x och x axeln 85. (B) Kurvan y = arctan x och dess normal i punkten, π 4 begränsar tillsammans med x-axeln ett ändligt område. Beräkna dess area., a x a +, och x ax- 86. (B) Arean mellan kurvan y = ( x + x) a eln betecknas A(a). Beräkna lim A(a). a

2 87. (A) Beräkna längderna av följande kurvor: a. y = x 9, x b. y = x x, x 9 c. y = ln (x + x ), x d. y = ln ( x ), x e. y = x 8a a ln x, a x ea, a > f. y = ln cos x, x π g. y = arcsin x, x h. y = e x + arcsin e x, x 88. (B) Bestäm längderna av följande kurvor: a. y = ln x, x 8 b. y = ln ( x + x + ), x c. 4 y = ln 4 x, x x d. y = π/ cos t dt, π x π 89. (B) Beräkna längden av den del av y = x som ligger inom x + y. 8. (C) Beräkna längden av den ögla som bildas av kurvan 9ay = x(x a), a >. 8. (A) Beräkna den volym som uppkommer vid rotation runt x axeln av det område i xy planet som bestäms av olikheterna x och x y x. 8. (A) Beräkna volymen av den kropp som uppstår vid rotation av området mellan y = x och y = x, kring x axeln. 8. (B) Bestäm den rotationsvolym som alstras då ytstycket mellan kurvan y = cos x, linjerna x =, x = π och y = roterar ett varv kring x axeln.

3 84. (B) Beräkna volymen av den kropp som uppstår vid rotation av kurvan y = x 4 4 x, kring x axeln. 85. (B) Beräkna volymen av den kropp som uppstår vid rotation av området mellan y = 4 x och y = x, kring x axeln. 86. (B) Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området i föregående uppgift i stället roteras kring y axeln. 87. (B) Den vitala delen av ett champagneglas har formen av den yta som sin x uppstår då kurvan y = + sin x, x π, roterar kring x axeln. Hur mycket rymmer glaset maximalt? 88. (B) Kurvan x + y = och den räta linjen x + y = begränsar ett område i första kvadranten. Detta område roteras kring x axeln. Beräkna volymen av rotationskroppen. 89. (B) Beräkna volymen av den kropp som uppstår då asterioiden roterar kring x axeln. x / + y / = a /, a > 8. (B) Beräkna volymen av den kropp som uppstår vid rotation av området x arccos y, y, kring y axeln. 8. (C) Kurvan y = arcsin + x, linjen y = π 6 och y axeln begränsar ett ändligt område. Beräkna volymen av den kropp som uppkommer då detta område roterar kring y-axeln. 8. (A) Parabelbågen y = x, x 4, roterar ett varv kring x axeln. Bestäm arean av rotationsytan. 8. (B) Kurvbågen y = x, x, roterar ett varv kring y axeln. Beräkna arean av den så uppkomna rotationsarean. 84. (B) Beräkna arean av den rotationsyta som bildas då kurvbågen y = ( x) x, x roterar kring x axeln. 85. (B) Beräkna arean av den yta som uppstår vid rotation av parabelbågen y = 4ax, x a, kring x axeln.

4 86. (B) Kurvan 9x = y( y) består bland annat av en ögla. Beräkna arean av den rotationsyta som bildas då öglan roterar ett varv kring x axeln. 87. (B) Kurvbågen y = e x, x ln, roterar ett varv kring x axeln. Beräkna rotationsytans area. 88. (C) Det område i första kvadranten som begränsas av cirkeln x + y =, parabeln y = 4x och x axeln från origo till punkten (, ) roterar ett varv kring x axeln. Beräkna den erhållna rotationskroppens totala area. 89. (C) Beräkna arean av den rotationsyta som alstras, då parabeln y = x x, y, roterar ett varv kring y axeln. 8. (C) Beräkna arean av den rotationsyta som alstras, då kurvan y x =, x, y >, roterar ett varv kring x axeln. 8. (C) Beräkna arean av den yta som uppstår vid rotation av x 5 + y 6 =, kring y axeln. 8. (C) Kurvbågen y = tan x, x π 4, roterar kring x axeln. Beräkna rotationsytans area. 4

5 Ledningar till uppgifterna a. + x x dx b. (x + x )e x dx. Partialintegrera. c. ( x ) dx d. (x 5/ 4x / + 4x / ) dx e. x 4 + x + x + dx x 4 + x + x + dx. En primitiv funktion till integranden är x / 4x + ln (x + ) + 4 arctan x. f. Observera att kurvan är en cirkel med radie. 8. Skärningarna med x axeln är ±. Partialbråksuppdela integranden. Man får x x + x a c. Skriv ekvationerna på formen y = ±f(x). a. x x + dx b. x x dx c. (x ) x dx 84. a c. Skriv ekvationen på formen x= ± f(y). a. y y + 4 dy 4 b. y dy 5

6 84. c. y + y dy d. Använd partiell integration för att lösa integralerna arcsin x dx och arccos x dx. Alternativt kan området uppfattas såsom liggande mellan en sinus- och en cosinuskurva: {(x,y); sin y x cos y, y π 4 }. π/4 Man får då: (cos y sin y) dy 85. Normalen skär x axeln i punkten + π 8,. Man får integralerna arctan x dx + + π/8 π 4 (x ) dx. Använd partiell integration för att lösa integralen arctan x dx. Alternativt kan man skriva områdets begränsningskurvor på formen x = ± f(y), man får då π/4 y π 4 tan y dy 86. Obs att = x + + x. Man får att x + x A(a) = a ((a + )/ a / ). Gränsvärdet kan beräknas t.ex efter serieutveckling i a. 87.a. + x 4 dx b. Obs att + y = ( + x) 4x. Man får 9( x / + x / ) dx c. x x dx 6

7 87. d. / + x x dx e. Obs att + y är en jämn kvadrat. Man får x 4a + a x dx a f. g. π/ dx cos x x x x 4 dx. Man kan också betrakta y som oberoende variabel dvs. skriv kurvans ekvation på formen x = f(y) man får integralen sin y dy π/4 π/ h. Man får att y = e x och + y = e x ea 88. a. b. c. d. 8 x + x dx. Observera att integranden är av formen f(x)x dx varför substitutionen x = t förenklar. x + x + x dx 4 + x 4 x dx π/ π/ cos t dt 89. y = x, x, ligger inom cirkeln. Man får + 4x dx. 7

8 8. Öglan ligger mellan x värdena och a. Man får a a x + x a dx 8. Uppfatta kroppen som differensen av de två rotationskroppar som uppkommer då områdena, som bestäms av olikheterna x och x y resp x och y x, roterar kring x axeln. Man får π ( 4x x 4 ) dx. 8. π (x x 4 ) dx 8. π dx cos 4. För lösning av integralen observera att integranden är en x π/ "enkel" funktion av tan x. 84. π x 4 x dx. Sätt t ex x = sin t. 85. π ( x ( x) ) dx 86. Behandla y som oberoende variabel. Man får π (( y 4 ) ( y) ) dy 87. π sin x + sin x dx. För att lösa integralen sätt t.ex. tan x = t π/ 88. π (( x) ( x) 4 ) dx 89. π a(a / x / ) dx 8. π π/ x cos x dx 8

9 π/ π/ 8. Använd att volymen = π x dy = π π/6 π/6 sin y dy. 8. π 4 x + dx / 8. π x + 9x 4 dx. Substituera x = t. 84. Observera att + y är en jämn kvadrat, man får integralen π ( + x x ) dx a π a x + a dx. 86. Man får integralen π y(y / + y / ) dy 87. π ln e x + e x dx. 88. Kurvorna skär varandra i punkterna (,± ). Beräkna var för sig areorna som alstras av parabeln respektive cirkelbågen. Dessa är 8π 8π respektive 4π 8π 89. π x + (x ) dx. Sätt t ex x = t. 8. π + x dx. 8. Skriv kurvan på parameterform: x = 5 cos t y = 4 sin t ; t π. Man får då π/ π cos t sin t dt. Sätt här t ex sin t = 4u. π/ 9

10 8. π tan x cos x π/4 cos 4 x + dx. För att lösa integralen: Observera att /cos x = + tan x och sätt + tan x = t och sedan + t = u.

11 Svar till uppgifterna a. c. e. π 8 + π + ln 5 b. 8 e d. 4 arctan f. 9π a. 8 5 b. 8 c a. 5 7 = b. 8 c. ln d. 85. π 64 + π 4 ln a. b. c. 8 d. ln e. a 8 (7 + e ) f. ln (cot π/) = ln ( + ) g. π 4 h. e 88. a. + ln b. c. ln 9 d ln ( + 5) 8. 4 a

12 π 5 π 5 8. π 84. π 85. π π π π π π 5 πa 5 8. π(π ) 8. π ln ( + ) π. (Obs! cot π/ = + ) 8. 5π 8. π ln 84. π πa

13 86. 56π π 5 + ln π 89. π( + ln ( + )) 8. π( + ln ( + )) 8. 5π + 6 π ln 8. π ln 5 + = = π u + ln u u + 5