Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas av förklarande tet/figurer. Poäng: anges efter varje uppgift. För Godkänt krävs minst 8 poäng och för Väl godkänt minst 8 poäng. Påbörja varje uppgift på nytt papper och skriv endast på papperets ena sida. Lycka till!. (a) Bestäm gränsvärdet lim 0 sin (b) Använd derivatans definition för att bestämma derivatan till /. (4p) SVAR: 4 och /. (a): lim 0 sin (b) Enligt definition är derivatan av f i Med f() / få vi då d d ( ) lim lim lim sin 4 lim 0 4 sin lim 0 4 lim 0 d f() lim d +h lim 4 sin 4 4. f( + h) f(). h (+h) h h h( + h) lim +h (+h) h lim h h( + h) + h.. Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan + y y i punkten (, 4 ). (4p) SVAR: y Vi deriverar båda leden av + y + y y implicit och får + y y y + y

2 Vi bryter ut y och får Med (, y) (/, 4/) insatt får vi y y y y 4/9 4/ / 6/9 8/9 0/9 4/5. Ekvationen för en linie genom ( 0, y 0 ) med lutning k är y y 0 k( 0 ) så tangentens ekvation blir y 4 4 ( ) dvs y Bestäm derivatorna till funktionerna (a) f() ln( + ( + ) ). (b) g() arctan. + SVAR: (a) / +, (b) /( + ). (a): ( ) f () ( ) ( + ) + (b): g () ( ) ( + ) ( ) ( ) + ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) + ( ) ( + + ) + ( + ) Bestäm integralerna (a) (b) 0 0 cos d. sin cos d.

3 SVAR: (a) , (b) /. (a) Vi bestämmer en primitiv function till cos med hjälp av partiell integration: cos d sin sin d sin + cos + C. Då blir den bestämda integralen 0 cos d [ sin + cos ] 0 sin + cos cos b) Vi ansätter t sin och gör substitution sin cos d [t sin, dt cos d] Så 5. Lös begynnelsevärdesproblemen (a) (b) 0 tdt t + C sin sin cos d [sin ] 0 sin. { y + y y(0) { y y y y(0) y (0) + C. SVAR: (a) y() 5 e, (b) y() 5 e e +. (a) Alternativ : Vi löser differentialekvationen y +y med hjälp av en integrerande faktor. En primitiv function till är så den integrerande faktorn blir e. Vi får då d ( ye ) y e + ye (y + y)e e. d Integration av båda leden ger ye Bryter vi ut y får vi e d { t, dt d, dt } d e t dt et + C e + C. y() e ( e + C Insättning av begynnelsevilkoret y(0) ger ) + Ce. y(0) + Ce0 + C

4 som ger att C 5/. Lösningen blir alltsä y() 5 e. Alternativ : Differentialekvationen är separabel ty vi kan skriva om den som y y ( y) och får den då på formen dy y d. Vi integrerar båda leden och får ln y + C Vi multiplicerar båda leden med och får ln y + C och då är y e +C C e. Eftersom y(0), dvs y > 0 så kan vi ta bort absoluttecken och då har vi y() C e + C 4e. Sätter vi in begynnelsevilkoret får vi y(0) / + C 4 dvs C 4 5/. Svaret blir då y() 5 e. (b) För att lösa den inhomogena differentalekvationen y y y löser vi först den homogena ekvationen y y y 0. Den har karakteristisk ekvation r r (r+)(r ) 0 dvs rötterna är r och r. Den allmänna lösningen till den homogena ekvationen blir alltså y h Ae + Be. Vi söker nu en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen. Eftersom högerledet är ett polynom av andra graden ansätter vi y p a + b + c. Då är y p a + b och y p a. Insatt i ekvationen får vi y y y a (a + b) (a + b + c) ( a) + ( a b) + (a b c). Vi får ekvationerna a, a b 0 och a b c 0 som har lösning a, b och c /. Partikulärlösningen är härmed bestämd. Den allmänna lösningen till den inhomogena ekvationen blir alltså y y h + y p Ae + Be + /. Återstår att bestämma A och B med begynnelsevillkoren. Det första villkoret y(0) ger y(0) Ae 0 + Be / A + B / och därmed den första ekvationen A + B 5/. Deriverar vi y får vi Det andra villkoret y (0) ger y () Ae + Be +. y (0) A + B 0 + B A + dvs den andra ekvationen B A 0. Ekvationerna tillsammans har lösningen A 5/ och B 5/6. Lösningen till den inhomogena differentialekvationen är då y() 5 e e +. 4

5 6. En cylindrisk konservburk med volym 0.4 dm skall tillverkas. Ange de dimensioner (radie och höjd) som minimerar den totala arean av burkens ytor (topp + botten + sida). ( ) ( ) SVAR: Radie 0.99 dm. och höjd dm. Volymen av en cylinder med höjden h och radien r är V r h som är bestämd att vara 0.4. Då är h 0.4 r. Arean av burkens ytor är A r }{{} topp+bottom + rh }{{}. sidan Med formlen för h insatt får vi arean uttryckt enbart i variabeln r: Denna har derivatan A(r) r r. A (r) 4r 0.8 r 4r 0.8 r och vi sökar de r som ger A (r) 0. Det får vi då täljaren i derivatans uttryck är noll dvs då r r 0 ( ) ( 0. ) 0.99 dm. Detta är en minimum-punkt ty om r > r 0 så är A (r) < 0 och om r > r 0 så är A (r) > 0. Om vi sätter in uttrycket för radien i formeln för höjden får vi h ( ) / ( ) dm. 7. Ett badkar som står i ett rum med temperaturen 0 fylls med vatten som har temperaturen 55. Enligt Newton s kylningslag är vattentemperaturens ändringshastighet proportionell mot skillnaden mellan vattnets och rummets temperatur. En mätning visar att efter en timme har vattnets temperatur sjunkit med 0. När har vattnet uppnått en mer behaglig temperatur, dvs 5? (6p) SVAR: Efter ln 7 ln timmar. Låt T vara vattnets temperatur och låt t vara tiden i timmar. Enligt Newton s lag är då dt k(t 0), dt 5

6 som är en separabel differentialekvation. Vi får dt k dt T 0 ln T 0] kt + C t 0 e kt+c Ae kt. Eftersom T > 0 så kan vi ta bort absoluttecken och får då T (t) Ae kt + 0. Vid t 0 är T 55 dvs T (0) Ae A som ger A 5. Då är T (t) 5e kt + 0. Vid tiden t är T 45 som ger T () 5e k och då blir e k 5/7. Då är Vi söker tid t då T 5, dvs Vi får: T (t) 5(5/7) t (5/7) t (5/7) t 7 t ln 7 ln timmar. 8. Ett snöre med längden meter delas i två delar: den ena delen formas till en cirkel och den andra till en kvadrat. Hur skall snöret delas för att minimera respektive maimera den totala arean av cirkeln och kvadraten? (6p) SVAR: Den största arean fås för en cirkel av hela snöret dvs vid, arean blir då / Den minsta arean fås då vi delar snöret vid /(4 + ) 0.44, arean blir då /(6 + 4) Antag att vi delar snöret i två så att cirkeln får meter och kvadraten får meter. Då skall ligga i intervallet 0. Cirkeln har alltså omkretsen meter. Om cirkelns radie är r, så ges omkretsen av r dvs r /. Den area som cirkeln får är då ( ) A c r 4. Om kvadraten har sidlängd a så gäller 4a, dvs a ( )/4. Kvadratens area blir A k a ( ) 6 ( ). 6 Den totala arean A kan nu uttryckas i enbart variabeln. Vi får A() A c () + A k () 4 ( ) +. 6 För att bestämma etrempunkterna deriverar vi och söker nollställena: A () ( ) , 6

7 dvs Arean i denna punkt blir ( + 8 ( ) ( ) Vi beräknar nu arean i ändpunkterna 0 resp : ) 4 + A(0) 0 (0 ) A() ( ) Den största arean fås då vi för en cirkel av hela snöret dvs vid, arean blir då / Den minsta arean fås då vi delar snöret vid /(4+) 0.44, arean blir då /(6+4)