TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

Transkript

1 TENTAMEN TEN i HF006 och HF008 Moment TEN (analys) Datum 0 aug 09 Tid 8- Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma 4 poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna Uppgift (4p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) + a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) = e + ln( 6) + cos( 8) 9 b) (p) Beräkna gränsvärdet lim sin( 6) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 4 + d) (p) Bestäm derivatan till funktionen f ( ) = + sin[ + ln( + )] (Du behöver inte förenkla svaret i frågan d) Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) (p) ( 4 + ) cos( ) d (Tips: partiell integration) 0 ln + ln + ln b) (p) d (Tips: substitution) c) (p) + 4 d Uppgift (4p) Låt f( ) = + a) (p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ b) (p) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) (p) Rita funktionens graf Var god vänd Sida av 0

2 Uppgift 4 (p) Vi betraktar en tunn metalltråd som har den konstanta snittarean A cm ligger på -aeln mellan = a cm och = b cm Kroppens densitet ρ är en kontinuerlig funktion av en variabel, dvs ρ = ρ() g/ cm Trådens massa kan beräknas med formeln b = A m ρ ( ) d Beräkna trådens massa om och a b = e cm ρ = 0 + g/ cm, A=0 cm, a = cm Uppgift (p) Vi betraktar differentialekvationen y = ( + y ) + ( + y ) a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen b) Ange lösningen på eplicit form c) Bestäm om ekvationen har några singulära lösningar Uppgift 6 (p) Bestäm den lösning till ekvationen y + 4 y + y = som uppfyller y ( 0) = 0, y ( 0) = Uppgift 7 (4p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i nedanstående LRC krets om induktansen L= henry, resistansen R= 0 ohm, kapacitansen C= farad och 00 spänningen U = 0 volt Begynnelse villkor: 0)= ampere, q(0)=0 coulomb, Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( = Uppgift 8 (p) Ange om följande påstående är sanna eller falska : P: Om en funktion f är kontinuerlig i en punkt a så är f också deriverbar i a P: Om en funktion f är deriverbar i en punkt a så är f också kontinuerlig i a P: En funktion f är deriverbar i en punkt a om och endast om f är kontinuerlig i a (Det räcker att ange korrekta svar: sant eller falsk Lycka till Sida av 0

3 FACIT Uppgift (4p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) + a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) = e + ln( 6) + cos( 8) 9 b) (p) Beräkna gränsvärdet lim sin( 6) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 4 + d) (p) Bestäm derivatan till funktionen f ( ) = + sin[ + ln( + )] (Du behöver inte förenkla svaret i frågan d) a) e + är definierad för alla, ln( 6 ) är definierad för om cos( 8) är definierad för alla 6> 0 <, Svar a: Funktionen är definierad om < Alltså Df = { : < } eller D f = 9 0 b) lim =, lh ' = lim = = sin( 6) 0 cos( 6) cos c) lim = lim = lim = d) f '( ) = 4 sin ( ln ( ) ) cos ( ln ( ) ) (, ) Rättningsmall a-d: Rätt eller fel Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) (p) ( 4 + ) cos( ) d (Tips: partiell integration) ln + ln + ln b) (p) c) (p) + 4 d a) 0 d (Tips: substitution) f( ) = 4+ f '( ) = 4 (4 + )cos( ) d = = ( 4 + ) sin( ) 4sin( ) d = g ( ) = cos( ) G ( ) = sin( ) Sida av 0

4 = ( 4 + )sin( ) + 4cos( ) + C 0 u = ln 6 ln + ln + ln u u u d = = u u u du = C = + + du = d 6 b) 0 ( ) 6 ln ln ln = C = 4 arctan + C = arctan + C = = d (formelblad) c) d [ polynomdivision] Rättningsmall a-c: Rätt eller fel Uppgift (4p) Låt f( ) = + a) (p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ b) (p) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) (p) Rita funktionens graf a) f ( )( ) 6 6 ( 6 6) 6 ( ) '( ) = + + = = ( + ) ( + ) ( + ) stationära punkter bestäms med hjälp av förstaderivatans nollställen + 6 f'( ) = 0 = 0 ( + ) = 0 = 0 = ( + ) Bestämmer vilken typ genom teckenstudium av förstaderivatan (Alternativ: Vi kan använda andraderivatan) för < gäller f '( ) > 0 för < < 0 gäller f '( ) < 0 för > 0 gäller f '( ) > 0 Svar a: = är en maimipunkt och = 0 är en minimipunkt b) Vertikala asymptoten är = Det finns en sned asymptot, y = k + m eftersom polynomet i täljaren har ett gradtal högre än nämnaren Sida 4 av 0

5 f( ) k = lim = lim = lim = = m = lim ( f ( ) k) = lim = lim = + + Alternativ: Polynomdivision ger f( ) = = + + som visar att + + y = + är en sned asymptot Svar: Vertikala asymptoten är = och den sneda asymptoten är y = + c) Se grafen nedan Rättningsmall: a) p för korrekta stationära punkter Alternativ En korrekt stationärpunkt och punktens typ ger p Allt korrekt =p b) p om båda asymptoter är korrekta c)korrekt funktionens graf = p Uppgift 4 (p) Vi betraktar en tunn metalltråd som har den konstanta snittarean A cm ligger på -aeln mellan = a cm och = b cm Kroppens densitet ρ är en kontinuerlig funktion av en variabel, dvs ρ = ρ() g/ cm Trådens massa kan beräknas med formeln Sida av 0

6 b = A m ρ ( ) d Beräkna trådens massa om och a b = e cm ρ = 0 + g/ cm, A=0 cm, a = cm b m = A ρ( ) d = d = 0 a = 0 e [ 0 + ln ] ([ 0e + ln( e )] [ 0 + ln() ]) = 0 ( [ 0e + ) ] [ 0 + 0] ) = 0 ( 0e 48) = e 4 Svar: m = e 4 gram e Rättningsmall: Korrekt till [ ] Allt korrekt, dvs m = e 4 ger p e m = ln ger p Uppgift (p) Vi betraktar differentialekvationen y = ( + y ) + ( + y ) a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen b) Ange lösningen på eplicit form c) Bestäm om ekvationen har några singulära lösningar a) Vi separerar variabler: dy d dy = ( + y = ( + y d )( ) + + ( + y ) ) Vi delar med ( + y ) (Notera att + y 0 för alla y ) och får dy = ( + ) d + y Härav dy ) d eller + y = ( + 6 arctan( y ) = + + C (den allmänna lösningen på implicit form) b) Från y 6 arctan( ) = + + C har vi 6 y = tan( + + C) (den allmänna lösningen på eplicit form) Sida 6 av 0

7 c) Ekvationen saknar singulära lösningar Svar: Se ovan Rättningsmall: p för varje del Uppgift 6 (p) Bestäm den lösning till ekvationen y + 4 y + y = som uppfyller y ( 0) = 0, y ( 0) = Först löser vi tillhörande homogena ekvation y + 4 y + y = 0 Från den karakteristiska ekvationen r + 4r + = 0 får vi r, = ± i och därmed yh = C e sin + Ce cos = e ( C sin + C cos homogena delen) ) (lösningen till den En partikulär lösning får vi med ansatsen y p = A (som ger y = 0, y = 0 ) p p Vi har A = A = dvs y p = Därmed är y = yh + y p = e ( C sin + C cos ) + den allmänna lösningen Kvar står att bestämma konstanterna Först substituerar vi y ( 0) = 0 i = y e C sin + C cos ) + ( och får C + = 0 C = Nu substituerar vi y ( 0) = i y = e ( C sin + C cos ) + e ( C cos C sin ) och får = (0 + C ) + ( C ) eller 6 C = + C = = Därmed = y e ( sin cos ) + är den sökta lösningen Svar: = y e ( sin cos ) + Sida 7 av 0

8 Rättningsmall: Korrekt y Korrekt y p = ger +p Allt korrekt, ger p H = C e sin + C e cos ger +p Uppgift 7 (4p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i nedanstående LRC krets om induktansen L= henry, resistansen R= 0 ohm, kapacitansen C= farad och 00 spänningen U = 0 volt Begynnelse villkor: 0)= ampere, q(0)=0 coulomb, Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( = Från kretsen får vi följande diff ekv d L + R + q( = u( dt C dvs ( efter subst L, R och C) i ( q( = 0 (ekv ) Vi eliminerar q ( genom att derivera ekvationen (notera att q ( = ) Vi får i ( + 0i ( + 00 = 0 (en homogen DE) Härav 0t 0t = Ce + Cte För att bestämma C och C använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) = och q ( 0) = 0 Sida 8 av 0

9 Första villkoret kan vi använda direkt: Vi substituerar 0) = i lösningen 0t 0t = Ce + Cte och får C = (ekv a) För att få ett villkor som innehåller i (0) substituerar vi q ( 0) = 0 (och 0)=) i startekvationen i ( q( = 0 (ekv ) Vi får i ( 0) + 00) + 00q(0) = 0 dvs i ( 0) + 0 = 0 som ger i ( 0) = 0 Eftersom har vi = C e i ( = 0e C te 0t 0t + = 0t + C e 0t e 0t 0C + C te 0t te 0t som med i ( 0) = 0 ger 0 = 0 + C och därför C = 0 Alltså gäller e 0te 0t 0t = + Svar: 0t 0t = + e 0te Allternativ lösningsmetod: Vi kan lösa ekvationen L q ( + Rq ( + q( = u(, C där q( är en obekant funktion, och därefter bestämma strömmen i ( = q ( Rättningsmall: Korrekt till i ( + 0i ( + 00 = 0 (eller till en ekvivalent ekvation med enbart q ( ) ger p Korrekt till Korrekt i ( 0) = 0 ger +p Allt korrekt =4p 0t 0t = Ce + Cte ger totalt p Uppgift 8 (p) Ange om följande påstående är sanna eller falska : P: Om en funktion f är kontinuerlig i en punkt a så är f också deriverbar i a P: Om en funktion f är deriverbar i en punkt a så är f också kontinuerlig i a P: En funktion f är deriverbar i en punkt a om och endast om f är kontinuerlig i a Sida 9 av 0

10 (Det räcker att ange korrekta svar: sant eller falsk Svar: P: falskt, P: sant P: falskt, Rättnings mall: p om alla tre svar är korrekta, annars 0 p Sida 0 av 0