Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys

Transkript

1 Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys Måndagen den 4 maj, klockan 8:-3:. Bestäm gränsvärdena a) Ñ lnp 3 q b) Ñ8 lnp 3 q. Lösning..a) Gränsvärdet är på formen { så vi kan använda l Hospitals regel. Vi får Ñ lnp 3 Svar: {3 q cos Ñ p3 q{p 3 q cos p3 q{p 3 q 3..b) Eftersom Ñ 8 kan vi utan problem anta att. Eftersom och lnp 3 q lnp q ln gäller att ln lnp 3 q ln. Det betyder att eftersom Ñ8 ln så måste enligt inklämningssatsen. Svar: Ñ8 lnp 3 q. Visa att ln pln q 9 har anti-derivatan pln q. (Ibland används ordet primitiv funktion istället för anti-derivata.) Lösning. Vi ska visa att om fpq pln q så är f pq ln pln q 9. Låt oss beräkna derivatan: f pq pln q pln q 9 pln q pln q 9 ln pln q 9. Detta var precis det som skulle visas. 3. Hitta en funktion ypq sådan att ypq och där 3 y pq 3 y. och separerar vari- Lösning. Ekvationen är separabel. Vi skriver y pq som dy d ablerna. Detta ger dy y 3 p 3 q d

2 som kan förenklas till " * y 3 u p 3 q d 3 du du 3 d u u C 3 C. Alltså är ypq 3 C 3 Cp 3 q. Vi vet att ypq och nu är det dags att använda detta villkor. Vi får att ypq så 6C 3 varför C {6. Alltså är Svar: ypq Beräkna a) ypq 3 Cp 3 q 3 3C 3 p 3 q{ ln d b) 3 d. Lösning. 4.a) Vi partialintegrerar (med fpq 5 och gpq ln enligt den notation jag brukar använda) och får 5 ln d ln 6 5 d 6 6 ln 6 6 d ln C Svar: ³ 5 ln d ln 36 C. 4.b) Nämnaren kan skrivas som p med ansatsen 3 A Vi sätter detta på gemensam nämnare och får 3 A q så vi gör en partialbråksuppdelning B C. B C Ap q pb Cq 3 A C pa Bq 3. Detta gäller för alla och vi sätter A, B, C så att A, C och A B. Det sista villkoret ger B. Med andra ord är 3. Detta ger att 3 d d ln arctan C. Svar: ³ 3 d ln arctan C.

3 5. Skissa kurvan ypq ln e. Bestäm speciellt alla asymptoter och lokala etrempunkter. Lösning. En del av räkningarna blir lättare om vi skriver om funktionen genom e ypq ln e ln e ln pe q ln ln e e och vi arbetar med detta uttryck, även om man lika gärna kan använda det uttryck som gavs i uppgiften. (Detta uttryck är bra för här syns tydligt att funktionen är jämn så att man kan hoppa över halva arbetet. Vi kommer dock låtsas att vi inte sett detta och arbeta på utan denna observation.) Vi börjar med att söka asymptoter. Det finns ingen punkt där funktionen är obegränsad så den saknar vertikala asymptoter. Då är stor är e stor och e liten så ypq ln pe q. Vi studerar därför Ñ8 ypq. Detta ger ypq ln e e ln pe q ln e Ñ8 Ñ8 Ñ8 lnp q. Alltså är y en sned asymptot som kurvan närmar sig då Ñ 8. Då är väldigt mycket mindre än noll är e stor och e liten. Detta gör att ypq ln pe q så vi ska studera Ñ 8 ypq. Vi får att ypq ln e e ln pe q ln e Ñ 8 Ñ 8 Ñ 8 lnp q. Med andra ord närmar sig kurvan ypq den sneda asymptoten y då Ñ 8. Vi söker nu lokala etrempunkter. Funktionen är deriverbar överallt och det finns inga ändpunkter så den enda möjligheten till etrempunkter är kritiska punkter, dvs punkter där y pq. Vi får att y pq e e e e så y pq leder till e e. Multiplicerar vi med e så får vi e, vilket har lösningen. För är y ypq lnpe e q ln som måste vara ett lokalt minimum om vi kommer ihåg vad vi räknat fram om asymptoterna. Svar: Det finns två asymtoter, y och y och ett lokalt minimum som inträffar i. Figuren, med dessa inritade, ser ut så här: e 3

4 a) Har funktionen fpq e någon anti-derivata (primitiv funktion) på intervallet r, 8q? 6.b) Är funktionen fpq e integrerbar på intervallet r, 8q? Med andra ord; är den generaliserade integralen ³ 8 fpq d konvergent? Lösning. 6.a) En sådan är F pq cos e, så svaret är ja. Svar: Ja. ³ t 6.b) Frågan är om gränsvärdet tñ8 fpq d eisterar. Enligt lösningen av 6a) är tñ8 t fpq d tñ8 r cos e s t tñ8 cos t e t p cos e q tñ8 cos t e t. Eftersom cos t antar alla värden mellan och även för stora t kan detta gränsvärde inte eistera. Svar: Nej. 7. Avgör om serien 8 n p q n ln pe n q är absolutkonverget, betingat konvergent eller divergent? 4

5 Lösning. Vi börjar med att reda ut om serien är absolutkonvergent. Med andra ord studerar vi serien 8 ln pe n q n och försöker avgöra om denna serie är konvergent eller inte. Då n är stort är ln pe n q ln pe n q n så vi vill jämföra serien 8 n lnpe n q med 8 n n. Eftersom vi vet att 8 n n är divergent kan vi dra slutsatsen att även 8 n är divergent om vi kan visa att Ñ8 lnpe q Ñ8 ln pe q lnpe n q eisterar och är ett nollskilt tal. Vi använder l Hospitals regel eftersom gränsvärdet är på formen 8{8 och får Alltså är Ñ8 ln pe q Ñ8 e e 8 ln pe n q n varför serien inte är absolutkonvergent. Ñ8 e. Låt oss nu se om serien är konvergent, om den är detta vet vi nu att serien är betingat konvergent. Eftersom ln och e är väande funktioner måste { ln pe q vara avtagande. Dessutom gäller nñ8 så enligt Leibniz konvergenssats gäller att 8 n är konvergent. Svar: Serien är betingat konvergent. ln pe n q p q n ln pe n q 8. Då en cirkelskiva med radien cm, och vars centrum är 3 cm från y-aeln, roteras kring y-aeln, bildas en kropp som ser ut som en munk. Bestäm volymen av "munken". Lösning. Låt oss välja att placera y i centrum av cirkelskivan. Av symmetrin framgår att volymen av hela munken är dubbelt så stor som volymen av den övre halvan (den som har y ) av munken. Vi försöker nu beräkna denna del: Cirkelbågen ges av p 3q y, dvs y a p 3q. Den övre cirkelbågen, den vi är intresserade av, är den med plustecken så y a p 3q där 4. Enligt formel ges volymen av V 4 πypq d π 5 4 a p 3q d.

6 Vi byter variabel till u 3, detta ger V π pu 3q a u du π u a u du a 6π u du. Båda dessa integraler kan beräknas med metoder vi lärt oss under kursens gång, men det går att göra två observationer som gör att man inte behöver göra några räkningar alls. För det första är integranden i den första integralen en udda funktion så den integralen måste vara. För det andra är? u bågen till en halvcirkel med radie så ³? u du är arean av en halvcirkel med radien, dvs den är π{. Alltså är volymen av övre halvan av munken 6ππ{ 3π och därför har hela munken volymen 6π. Svar: 6π cm 3 6