Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

Transkript

1 Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 5-- Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer aril 5, kl 9:-: (a) Vi använder artialintegrering å så sätt att vi får derivera faktorn ln t Den första faktorn har rimitiv funktion t + t och derivatan av ln r är r Den sökta integralen blir Z ale t (t Z t + ) ln tdt + t ln t + t t dt ale t Z t + t ln t + dt ale t ale t + t ln t 8 + t + ln + ln (8 + ) ln ( + ) ln 8 (b) Integralen kan beräknas med hjäl av variabelsubstitution Sätt u Dåär u, vilket ger d du u,alltså d udu Z e Z e u Z d u udu e u du e u + e +, där är en godtcklig konstant (c) Vi ska bestämma gränsvärdet av h() e då Om ersätts med blir både täljare och nämnare Med l Hoitals regel får vi lim e 99 derivera täljare och nämnare lim e, vilket gäller om detta gränsvärde eisterar Här är insättning av möjligt Gränsvärdet blir lim e (a) Serien X 5(a ) k är geometrisk med första term A 5 och kvot K a k Summan av de första termerna är K s A K 5 (a ) (a ) 5 (a ) (a ) 5 (a ) a

2 (b) Serien konvergerar då K <, vilket ger a <, < a <, < a <, <a< Alltså: serien konvergerar om <a< (c) Eftersom a ligger i detta intervall kan seriens summa beräknas för detta värde a ger kvoten K Summanär s A K 5 5 För att bestämma den kvadratiska aroimationen nära för funktionen f() e behöver vi dess första och andra derivata, samt värden för funktionen och derivatorna i unkten Vid derivering används roduktregeln och kedjeregeln (där den inre derivatan är D( ) ) f () e + e f () e e e + e Vid beräkning av värdena då, notera att faktorn e blir e e Det ger f() e, f () + e e och f () + e 5 8 e Den sökta aroimationen (Talorolnomet av ordning ) är f() e +e( ) e( ) e +e( ) e( ) Vi har matrisen M Dess transonat är Produkterna av dessa är MM M A A

3 och M M Slutligen är determinanterna A A det MM ( + ) ( ) +6 + och det M M ( + ) ( + ) ( + ) 9( + ) ( + ), där den sista beräknats med Sarrus regel och efter förenkling bara ger 5 Funktionen k() ( ) ( + ) + är definierad för alla värden å Vi bestämmer först derivatan: k () +8 ( + 8) ( )( ) Det sista steget i faktoriseringen finner man genom att hitta lösningarna till andragradsekvationen + De stationära unkterna ges av att k (),dvs, och Om dessa är etremunkter samt var funktionen väer res avtar är lättast att se med hjäl av en teckentabell för derivatan ( ) + + ( ) + k () + + k() & % & % I tabellen har även värden för funktionen i de stationära unkterna satts in, allstå k(), k() och k() Slutsats så långt kommet: k är avtagande då ale och då ale ale k är väande då ale ale och då k har lokala minimum i och i, båda med värdet k har lokalt maimum i med värdet För att avgöra konveitet behöver vi andraderivatan: k () +8 Infleionsunkter ges av att k () Andragradsekvationen +8 har lösningarna ±, så dessa är de två infleionsunkterna När funktionens värden i dessa unkter ska beräknas kan man dra ntta av konjugatregeln, enligt k( + )(+ ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) 9 och å liknande sätt fås även k( ) 9 Dessa värden är användbara vid skissandet av funktionens graf

4 Lösning till inlämningsugift (A) estäm största och minsta värde som funktionen f (, ) ( + )e antar å det komakta område i lanet som ges av en triangel med hörn i (, ), (, ) och (, ) Lösning: 5 kontinuerlig och definierad å ett komakt område låt oss kalla Att funktionen lokalt området D medför enligt sats att största och minsta värde antas Funktionen är ma artiellt deriverbar överallt så etremvärden antas antingen i det inre av D i en unkt där båda artiella derivatorna är eller i en unkt å randen D infleions- infleions- 5 unkt unkt Vi börjar med att undersöka det inre De artiella derivatorna beräknas till min - 5 f (, ) ( + + )e 5 5 f (, ) ( )e min Grafen för funktionen k() (, 5 ) (ugift 5) e Eftersom för alla och är (, ) stationär (dvs ufller f (, ) f (, ) ) om och endast om ( + att + sätta in,värden å som ligger till höger, Antingen med hjäl av en teckentabell ellergenom emellan, resektive till vänster om infleionsunkterna ser man att k () > då < ( ) ) ekvationen )ger Den ekvivalent konve Insättning den övre och då > ( + nedre å dessa är intervall är med funktionen Dåi ( < ekvationen < ( + + ( ) +, vilken har lösningen / Detta svarar mot unkten så är k () < vilket innebär att funktionen är konkav där ( /, /) Men denna ligger å randen saknas i det inre av D 6 Området som ges av att D Vi drar slutsaten att etremunkter och + är en halv cirkelskiva med radie Härnäst undersöker vi randen D längs -aeln, -aeln och linjen + : På -aeln är och funktionen f :s värde där ges av )+ e g () f (, Derivatan g () ( + )e är alltid större än och g () saknar alltså stationär unkt där På -aeln är och funktionen f :s värde ges av g () f (, ) e Vi ska bestämma största och minsta värde för funktionen f (, ) ( )( + ) + å detta område () Vi söker först stationära unkter i det inre av området De artiella artiella derivatorna är f (, ) f (, ) och ( + ) )

5 ( f (, ) f (, ), ( ( + ) Den andra ekvationen ger eller ligger inte i området, så är enda möjligheten Detta insatt i den första ekvationen ger, Vi har då den stationära unkten (, ), vilken ligger i området Värdet där är f( 5, ) () Nu undersöker vi randens två delar På -aeln är vilket ger g () f(,),, alltså origo Värdet där är g () Från villkoret g () fås För att undersöka funktionen å cikelbågen + kan vi ersätta i uttrcket för funktionen med och å så sätt få en funktion som bara beror av -värdet: g () ( ( ))( + ) ( + )( + ) + Derivatan är g () som är noll då Det ger värdet g () () Slutligen beräknar vi värdena i de två hörnen f(, ) ( ) och f(, ) ( ) De möjliga ma- och min-värdena vi fått fram är 5 5, och, såstörstavärdeär värde är och minsta 7 En funktion () definieras imlicit av sambandet ienomgivningav ln (a) () är det värde antar då Det kan bestämmas genom att sätta in i sambandet ln,, Alltså är () (b) Derivatan () kan bestämmas genom imlicit derivering Med hjäl av roduktregeln och kedjeregeln får vi följande: 6 + ln, ( ln ) 6 + Här skulle vi kunna lösa ut (), men då vi endast behöver (), vilket är derivatan där (, ) (, ) kan vi istället först sätta in dessa värden Notera att ln Det ger ()( ) + 8, () 9 6 5