Lösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,

Transkript

1 Institutionen för Matematik, KTH. Lösningsförslag till tentan i 5B5 Matematik för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T, 8.. Visa att påståendet P n : n + n < 4 n är sant för n =,, (a) P : + = = < 6 = 4 är sant. (b) P n sant = P n+ sant, ty: n+ + n+ = n + n < ( n + n ) < { enligt P n } < 4 n < 4 4 n = 4 n+. (c) Ovanstående plus induktionssatsen = P n sant för alla heltal.. Karakteristiska ekvationen r = ger att r = ±, varför y hom = A e + B e. Ansatsen y p = u() e ger y p = u e +u e och y p = u e +u e +u e ; detta insatt i differentialekvationen ger e (u + u + u u) = 4 e eller u + u = 4. Här ansätter vi u p = a + b och får a + a + b = 4 = a = och b =, så att u p =. Den enklaste funktionen u p som uppfyller detta är u p =, varför y p = ( ) e är en partikulärlösning. SVAR: y = A e + B e + ( ) e.. d arctan + = + ( ) + = ( + ) ( ) ( ) + + ( ) + ( + ) = = + = d arctan,

2 vilket visar att arctan + = arctan + konstant då <, eftersom funktionerna är deriverbara för dessa. Insättning av = (t.e.) visar sedan att π/4 = + konstant, så att konstanten är lika med π/4. 4. Med handpåläggning får man först att f = ( + )( + + ) = + + A + B + + = + ( + )(A + B), ( + )( + + ) varefter multiplikation med nämnaren ( + )( + + ) visar att = (A ) + (A + B ) + B = A = och B = = f = = Här är det bara mittentermen som inte integreras omedelbart: + + = = + ( + /) + /4 = 4 ( ) = + d = d + arctan. ( Med detta ser man att f har den primitiva funktionen + 4/ ( + /) ) + arctan F () = ln( + + ) + arctan + ln + + C. 5. Taylor säger att f() = f() + f () + f ()! + + f (n () n! n + f (n+) (ξ) (n + )! n+

3 för något ξ mellan och. Här gäller: så att f() = ( + ) / = f() = ; f () = ( + ) / = f () = ; f () = ( + ) / = f ()! f () = 4 ( + ) 5/, = 4 ; f() = + = Insättning av = /4 i detta visar att 5 = f(/4) = ( + ξ) 5/ ( + ξ) 5/! där ξ är något tal mellan och /4, vilket betyder att Vi ser därmed att < <. ( + ξ) 5/ < 5 < , eller, uttryckt på ett annat sätt: 5, ( ) 4 < 5 < ( ) + 4, vilket betyder att 5 = ± 4, där absolutbeloppet av felet är < /4 <,. 6. En enkel geometrisk betraktelse visar att dv = πy, så att här får vi V = π [ = π 4 4 ( ) = π ] ( = π ) 4 ( ) = π..

4 7. I integralen / är punkten = elak, varför integralen egentligen är lika med / lim +. Eftersom integranden är positiv följer det att /... väer då går mot, och det finns då bara två alternativ: antingen blir gränsvärdet ändligt (och då är integralen konvergent), eller också oändligt (och då är integralen divergent). Härav följer att det räcker att undersöka huruvida / är begränsad eller inte. Då / är /, så att Men nu är / / vilket innebär att / / /. = [ln ]/ = ln ln + då +, / detta visar att vår integral är divergent. Den andra integralen i uppgiften är / = lim + Då / är /, varför / ( ) / / + då +; / 4. / ( ) /.

5 Eftersom / följer det att ( ) / = [ ( ) /] / = / / då +, då +, och detta visar att vår integral är konvergent. 8. Termvis derivering av den geometriska serien n + = då < visar att eller n n + = n n = n= multiplikation med ger slutligen att n n = n= ( ) ; ( ). ( ), 9. f() = (π/ arctan ) = f () = π arctan + = f () = ( + ) = + ( + ) = < för alla. ( + ) 5

6 Detta visar att f () är avtagande för alla. Eftersom f () avtar mot lim f () = π π =, då följer det att f () > för alla, vilket i sin tur betyder att f() är väande för alla. Då väer alltså f() mot π/ arctan lim f() = lim + = lim = {} {} = lim + =. = { enligt l Hospital } = SLUTSATS: f() väer mot då går mot oändligheten, varur följer att f() < för alla reellla tal.. (a) (b) f f( + h) f() () = lim h h = lim h h + h sin(/h) h = + lim h h sin(/h) =, eftersom sin för alla. = f () = + 4 sin(/) + cos(/) ( ) = + 4 sin(/) cos(/). = ± nπ = ±nπ = sin(/) = och cos(/) = ( ) ± = f = + =. nπ (c) Om f() vore väande på ett icke-tomt intervall ( δ, δ), så skulle f () för alla i intervallet. Men ett sådant intervall innehåller bergsäkert punkter ± för tillräckligt stora n, och i sådana punkter är derivatan lika med enligt ovan det vill säga att nπ vi får en motsägelse. Så det finns inget intervall ( δ, δ) omkring origo där f() är väande. 6