en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir"

Transkript

1 Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, ] ] där C är en konstant. Derivering av F ger att F 3 C / 3 3C 3 +. För att detta ska vara lika med 3 + måste C 3. Alltså är F / en primitiv funktion till 3 +. Vi får ] h Beräkna integralen e. 6d Beräkna integralen För att kunna räkna ut integralen behöver vi bestämma en primitiv funktion till integranden. Vi behöver alltså bestämma en funktion F som uppfyller F 3 +. Om integranden istället hade varit skulle vi direkt veta att en primitiv funktion är 3/ 3/ 3 3/. Nu är vår integrand roten ur ett förstagradsuttryck och just att vi har ett förstagradsuttryck under rottecknet gör att den inre derivatan av motsvarande formel / är en konstant, så vi borde därför ha en primitiv funktion i formen Integranden finns faktiskt med i tabellen över primitiva funktioner till elementära funktioner. Skriver vi integranden som så vet vi att en primitiv funktion är Integralen blir e e a, där a e, a ln a e ln e e. ] e e e e e. F 3 C3 + 3/,

2 5 6j Beräkna integralen 7. Vi kan känna igen integranden som ett uttryck i formen f f, för om vi sätter f 7 så är f och f f 7. Med formeln för logaritmisk derivering vet vi att en primitiv funktion är Alltså är 5 6l Beräkna integralen ln f ln 7. ] 5 7 ln 7 ln ln 6 ln 6 ln ln 6 ln Integranden är en funktion i formen f f, sånär som på en faktor. Med f är nämligen f + + och vi har att f f. Formeln för logaritmisk derivering ger att en primitiv funktion är Vi får 5 log f ln ] ln ln ln ln 4 ln 5 ln 4 5 ln 8 ln 3 3 ln. 6o Beräkna integralen coth. När det inte finns med några integrationsgränser betyder det att vi ska bestämma alla primitiva funktioner till integranden. Cotangens hyperbolicus är i själva verket funktionen coth cosh sinh e + e e e e + e e e. Genom att stirra på kvoten ser vi att täljaren är derivatan av nämnaren. Alltså är de primitiva funktionerna lika med coth ln e e + C, där C är en konstant. Anm. Vi kan skriva om den primitiva funktionen till ln e e + C ln e e + C ln sinh + C ln + ln sinh + C ln sinh + C.

3 6q Beräkna integralen π/6 sin + cos 3. Först delar vi upp integralen i två delar, Sammantaget får vi π/6 sin + cos π/6 π/6 sin + cos 3 sin + π/6 cos 3 I + I. Vi ska beräkna de två integralerna i högerledet med substitutioner. I : När vi ska beräkna en integral med hjälp av en substitution gäller det att kunna känna igen integranden som en uttryckskombination av typen fu u, där u är ett uttryck i och f någon funktion. I vår integral kan vi se att med u så är u och integranden kan skrivas som sin u u. Med substitutionen u blir alltså integralen sin { u, du u } sin u du. 6b Beräkna integralen e. Om vi tittar på formeln för partialintegrering, f g F g F g, I : När vi gör substitutionen måste vi också byta integrationsgränserna till u och uπ/6 π/6 3π. Alltså blir uträkningen π/6 sin { u, du, u: π/3 } π/3 På motsvarande sätt får vi π/6 ] π/3 sin u du cos u cos π 3 + cos 4. cos 3 { u 3, du 3, u: π/ } π/ ] π/ 3 cos u du 3 sin u 3 sin π sin 3. så ser vi att om vi väljer g så kommer den faktorn att deriveras till en konstant i högerledets integralterm. För att detta ska vara en förbättring förutsätter detta givetvis att vi kan hitta en primitiv funktion F till den andra faktorn f e och dessutom kunna integrera denna. Med en liknande omskrivning som vi gjorde i uppgift 6h får vi att F e. Med partiell integration får vi alltså e ] e e + e e e e + 3 e e ] e + 3 e + e e e + e.

4 6d Beräkna integralen cos. Integranden består av två faktorer och cos så partialintegration borde vara lämplig. Om vi ska använda partialintegration måste vi bestämma vilken faktor vi ska derivera och vilken vi ska integrera. I detta fall verkar det vara lämpligt att derivera för då sjunker dess gradtal med en enhet, cos sin sin. Integralen i högerledet är fortfarande inte en integral som vi direkt kan bestämma, men problemet har faktiskt reducerats något. Istället för har vi som faktor. Om vi partialintegrerar ytterligare en gång försvinner, sin cos cos cos + cos cos + sin + C. faktorn och integrera den andra. Ofta när logaritmfaktorer förekommer väljer man att derivera dessa, 9 3 ] 9 9 ln ln ln Den rationella integranden i högerledet förenklar vi med en polynomdivision, + 3 Sammanställer vi uträkningarna fås cos sin cos + sin + C sin + cos + C. Anm. Istället för att beteckna integrationskonstanten med C i det sista ledet som vi egentligen borde göra skriver vi C och underförstår att vi har olika konstanter de i olika leden. Alltså är En primitiv funktion är Vi har alltså att log. 6h Beräkna integralen 9 3 ln. Vi kan utläsa två faktorer i integranden, och ln, vilket antyder partialintegration. Om vi tänker använda partialintegration ska vi derivera den ena 9 3 ] 9 ln 8 ln 8 9 ln + + ln 3 8 ln 3 9 ln ln ln ln ln ln ln ln.

5 6k Beräkna integralen arctan. Återigen har vi en integrand bestående av två faktorer. Vid första påsyn kan det verka smart att derivera för då blir den en konstant, men det betyder att vi måste hitta en primitiv funktion till arctan och det verkar svårt. Vi deriverar därför arctan istället. Partiell integration ger arctan arctan arctan +. + Förenklar vi integranden i högerledet med en polynomdivision får vi Vi har alltså + +. arctan arctan + arctan + arctan + C + arctan + C. faktorerna vara lika enkla att derivera och integrera, så låt oss integrera e och derivera sin utan speciell anledning, e sin e sin e cos e sin + e cos. Integralen förenklades inte särskilt mycket; istället för faktorn sin har vi cos. Kanske får vi tillbaka sinus-funktionen om vi partialintegrerar ytterligare en gång, e cos e cos e sin e cos e sin. Vi får alltså tillbaka vår ursprungsintegral! Alltså har vi visat att e sin e sin e cos 4 e sin. Samlar vi integraltermerna i ena ledet får vi e sin 5 e sin 5 e cos + C. 63b Beräkna integralen sin. 6m Beräkna integralen e sin. Eftersom integranden består av två faktorer som är elementära funktioner kan det ligga nära till hands att prova med partiell integrering. I detta fall verkar båda Det som är besvärande med integranden är argumentet till sinus-funktionen. För att försöka bli av med den provar vi med substitutionen u, sin { u, du u, u du } u sin u du. u

6 Nu har vi fått en integral som lämpar sig för partiell integrering. Vi deriverar u och integrerar sin u, u cos u u cos u I den ursprungliga variabeln blir detta, cos u du cos + sin + C. cos u du u cos u + sin u + C. Anm. Som en etra kontroll att vi räknat rätt kan vi derivera den primitiva funktionen och se om vi får tillbaka vår integrand, d cos + sin + C cos sin + cos + cos + sin + cos sin. 63f Beräkna integralen / arcsin. Vi första påsyn kan integralen verka hopplös. Hemligheten är att se integranden som en produkt, arcsin, och sen derivera bort arcsin-funktionen i en partiell integrering, / ] / / arcsin arcsin. I integralen i högerledet förekommer uttrycket i nämnaren och detta uttrycks derivata i täljaren sånär som på en faktor, så substitutionen u verkar given, arcsin arcsin + / { u, du, u: 3 4 } 6 π + π + 3 3/4 du u π + u / 4 π + 3. ] 3/4 63d Beräkna integralen + ln +. 63i Beräkna integralen arctan +. Integranden är ett förstagradsuttryck multiplicerat med en logaritm. Då kan det vara lämpligt att derivera bort logaritm-faktorn med partiell integrering, + ln + + ln + ln ] + ln + ln + + ] ln. Integranden är lite intressant. Kom ihåg att derivatan av arctan är +, så om u arctan då kan integranden skrivas som u u. Med andra ord ska vi substituera u arctan, arctan {u arctan ; du + + } u du u + C arctan + C.

7 + 64e Beräkna integralen +. Om vi delar upp integralen i två delar, , får vi först en integral där täljaren är nämnarens derivata och sedan en integral som vi vet den primitiva funktionen till, ] ] ln + + arctan ln ln + arctan arctan ln + 4 π. Den andra integralen i högerledet av liknar mycket en integral som har arctan som primitiv funktion, men vi har inte riktigt den situationen. För att få en :a i nämnarens konstantterm bryter vi ut en faktor 4, / Substituerar vi nu u / så får vi eakt den integrand som ger arctan, { u /, du, u: } + Sammantaget har vi du ] u + arctan u arctan arctan 8 π ln 8 π. 64f Beräkna integralen + 4. Vi delar upp integralen i två delar, I den första integralen i högerledet är täljaren derivatan av nämnaren förutom en faktor så vi har att + 4 ] + 4 ln + 4 ln 8 ln 4 ln 8 4 ln. 64g Beräkna integralen +. I nämnaren har vi uttrycket + och dess derivata förekommer i täljaren, så vi substituerar u +, + { u +, du, u: } du u ] u 4.

8 64h Beräkna integralen Om vi skriver om integranden som så ser vi att uttrycket u + har en derivata som förekommer i täljaren. Dessutom ingår faktorn i täljaren, men den kan vi skriva som u. Alltså verkar det upplagt för substitutionen u +, { u + ; du } u u u 3 du u 3 du u + u + C C C. Eftersom vi har ett förstagradsuttryck i täljaren kan vi utnyttja det som nämnarens derivata efter en omskrivning, Den första integralen i högerledet är nu en logaritmisk derivata, ln + + ] + +. ln 5 ln ln 5. Den andra integralen är en arctan-integral vilket vi ser efter en enkel substitution, + { u + ; du ; u: } + du ] u + arctan u arctan arctan arctan 4 π. Sammantaget har vi ln 5 + arctan 4 π. 64i Beräkna integralen k Beräkna integralen Eftersom integranden är en rationell funktion finns en fastlagd arbetsgång. Vi bestämmer först nämnarens rötter. Om vi börjar med att kvadratkomplettera nämnarpolynomet får vi Polynomet har alltså komplea rötter och då kan vi inte faktorisera det i reella förstagradsfaktorer. Vi undersöker först vilka nollställen nämnarpolynomet har. Kvadratkomplettering ger { 3 ±.

9 Enligt faktorsatsen kan alltså integranden skrivas som Vi kan nu partialbråkuppdela detta uttryck, vilket betyder att det finns konstanter A och B så att + + A + + B +. För att bestämma konstanterna A och B ska vi använda två olika metoder. Metod Identifikation av båda led Vi skriver högerledet i med gemensam nämnare, A + + B A + + B A + B + A + B, + + och jämför med vänsterledet i. Eftersom båda led ska vara lika för alla måste täljarpolynom vara identiska, d.v.s. koefficienterna måste vara lika, Metod Handpåläggning A + B A + B A B. Handpåläggning är en teknik som man kan använda för att bestämma de konstanter som svarar mot enkla faktorer och multipla faktorer med maimalt gradtal, mer om detta i uppgift 64l. För att bestämma konstanten A tar vi handen och täcker över den faktor i vänsterledet som svarar mot A, +, och stoppar sedan istället för in nollstället till den faktor vi täcker över; i detta fall. Vi får då värdet på konstanten A, A På motsvarande sätt får vi fram B, B Varför denna magiska metod fungerar står förklarat i eempel 7.6 i kursboken. Nu när vi partialbråkuppdelat integranden blir resten enkelt, l Beräkna integralen 3 + ] 3 ln + ln + + ln 4 ln 5 ln 3 ln 4 ln ln Eftersom vi har en rationell integrand och täljaren är inte nämnarens derivata så bestämmer vi först nämnarens rötter. Nämnaren är ett tredjegradspolynom och även om det finns formler för att beräkna rötterna är de så pass komplicerade att det är bättre att först försöka gissa rötterna. Vi börjar med att prova några enkla -värden, : 3 3 +, : 3 3 +, : , : , : Vi undersöker inga fler heltal eftersom ett polynom med heltalskoefficienter kan inte ha några heltalsrötter som till beloppet är större än beloppet av polynomets konstantterm. Eftersom vi nu vet två av rötterna och ger faktorsatsen att polynomet kan skrivas som A. Den tredje roten A får vi reda på genom att t.e. stoppa in i sambandet ovan, A A.

10 Alltså kan integranden skrivas som +. Med partialbråkuppdelning kan detta skrivas som + A + B + C +. Eftersom + är en enkel faktor i nämnaren ger handpåläggning C 9. Konstanten A kan vi också bestämma med handpåläggning eftersom den svarar mot faktorn som har maimalt gradtal, A + 3. Konstanten B kan vi däremot inte bestämma med handpåläggning eftersom den svarar mot och samma faktor finns upphöjd till en högre potens i partialbråkuppdelningen. Hittills har vi alltså visat att Stoppar vi in fås B B 9 B 9. Vi får nu att ] ln 9 ln ln 3 9 ln ln 9 ln ln ln. 64m Beräkna integralen Eftersom täljaren har högre gradtal än nämnaren förenklar vi integranden med en polynomdivision, Alltså är och , För att räkna ut integralen i högerledet bestämmer vi först nämnarens nollställen. Genom prövning ser vi att är en rot. Faktorsatsen ger att nämnaren kan skrivas A + B, där vi får den andra faktorn med en polynomdivision Vi har alltså att

11 Vi kvadratkompletterar den andra faktorn , och ser att den saknar reella rötter. En partialbråkuppdelning av integranden i högerledet av är alltså i formen Handpåläggning ger A + B + C + + A Stoppar vi in i fås 6 Stoppar vi in i fås + + C B 5 Vi kan nu beräkna integralen i, C. B. + ln arctan + + C. + + Vi behöver partialbråkuppdela kvoten i högerledet för att beräkna en primitiv funktion. Genom gissning får vi att och + är rötter till nämnaren. Faktorsatsen ger därmed att Stoppar vi in fås Vi ansätter alltså A. A A A + B + C +. Handpåläggning ger d.v.s. A + 4 +, C + 4, B + +. Sätter vi in fås + B + B. 64n Beräkna integralen För att undvika att behöva utföra en polynomdivision kan vi lägga till och dra ifrån, Alltså är ] ln ln + ] ln ln 4 + ln ln 3 + ln 3.

12 64o Beräkna integralen 3 4. Eftersom vi har en udda potens av i täljaren är det lämpligt att göra substitutionen u 4 för att först förenkla integralen, { u 4; du ; u: 4 3 } 3 4 u + 4 u du ln u 4 ] 3 u 4 ln ln ln u + 4 u du Anm. Notera att integranden har singulariteter i nπ för n, ±, ±,... så den primitiva funktionen gäller bara inom intervall mellan singulariteterna. T.e. är användningen av integralkalkylens huvudsats i uträkningen 3π/4 π/4 tan ] 3π/4 tan tan 3π 3π tan π π π/4 3π 4 + π 4 π felaktig. Varför är förresten svaret orimligt? 67d Beräkna integralen tan 3. 67c Beräkna integralen tan. Med hjälp av trigonometriska formler kan vi skriva om integranden, tan 3 sin 3 sin sin cos 3 cos cos 3 cos 3 sin. Här ser vi att vi har sin som är derivatan av cos som en faktor. Vi substituerar därför t cos, Variabeln förekommer i integranden endast som tan och detta är ett av standardfallen då man ska substituera t tan fall 3 på sidan 58 i kursboken, tan { t tan ; dt + tan } t t + + t dt + t dt + t dt t arctan t + C tan arctan tan + C tan + C. Anm. Vi har att t { t cos, dt sin } t 3 t 3 + dt + ln t + C t t cos + ln cos + C. så svaret stämmer med facit. cos { cos + tan } tan + dt

13 67e Beräkna integralen tan 4. 67h Beräkna integralen π/ π/3 sin. Integranden innehåller bara tan så vi substituerar t tan, tan 4 { t tan, dt + tan + t } t 4 dt { polynomdivision } t + + t + t dt 3 t3 t + arctan t + C 3 tan3 tan + + C. Vi förlänger med sin och använder trigonometriska ettan, π/ π/3 π/ sin π/3 sin π/ sin π/3 sin cos { t cos ; dt sin ; t: } / dt { partialbråkuppdelning } t t + / / t ] dt t + ln t ln t + / ln ln ln ln 3 3/ ln / ln 3. t dt 67e Beräkna integralen π/ sin sin. Med formeln för dubbla vinkeln har vi att. Beräkna integralen sin. π/ sin sin π/ sin cos sin π/ Faktorn cos är derivatan av sin, så vi substituerar t sin, { t sin ; dt cos ; t: } ] 3 t3 3. t dt sin cos. Formeln för halva vinkeln ger att cos sin cos { t ; dt } 4 cos t dt 4 sin t + C 4 sin + C.

14 .3 Beräkna integralen sin 3. Med den trigonometriska ettan kan vi skriva om integranden, sin 3 sin sin cos sin. 7. Beräkna b c, α. Nu passar substitutionen t cos t bra, { t cos ; dt sin } t dt 3 t3 t + C 3 cos3 cos + C. b Eftersom integranden har en singularitet i är integralen generaliserad och lika med lim lim ] lim a. a + a a + a a + c I detta fall är integrationsintervallet obegränsat och integralen är därmed en generaliserad integral som ska tolkas som.4 Beräkna integralen sin 4. Vi använder formeln för halva vinkeln upprepade gånger, cos sin 4 4 cos + 4 cos + cos sin + 4 cos 4 4 sin sin sin 4 + C sin + 3 sin 4 + C. R α lim α+ ] R { om α } lim R α R α + α lim R α {, om α >, R α divergent, om α <., om α >, α divergent, om α <. Om α så blir integralen R lim R lim ln R ] R lim ln R divergent. R Alltså blir svaret α, om α >, α divergent, om α.

15 7.3b Beräkna + Ledning: Sätt tan t. Integrandens nämnare blir aldrig noll så integranden har ingen singularitet i integrationsintervallet. Däremot är integrationsintervallet obegränsat så integralen är generaliserad. Vi har + lim R R + { tan t, + tan t dt + dt, t: arctan R } lim R arctan R dt + tan t { R arctan R π/ ; + tan t cos t } lim s π/ lim s π/ s s s π/ lim cos t dt { formeln för halva vinkeln } + cos t dt ] s lim s π/ t + 4 sin t s + 4 sin s 4 π + 4 sin π 4 π. 97d Avgör om den generaliserade integralen är konvergent eller divergent. a b Om a < så har integranden en singularitet i och om b < så finns en singularitet i. Det är i dessa fall integralen är generaliserad. Eftersom vi har två singulariteter delar vi upp integrationsintervallet i två delar så att singulariteterna hamnar i varsina intervall, a b / a b + a b I + I. / För att integralen i vänsterledet ska eistera måste båda integralerna i högerledet eistera. Vi undersöker integraltermerna separat. I : Det som avgör om integralen är konvergent är integrandens storleksordning då +. Vi ska alltså tänka smått! I närheten av origo är a b a. så vi kan förvänta oss att integralen konvergerar/divergerar samtidigt med / a. Denna integral är ett känt integralfall som man ofta använder som jämförelsefall, { / a konvergent, om a >, divergent, om a. För att göra detta lösa resonemang giltigt använder vi jämförelseprincipen sats 9.5 och jämför de två integranderna när +. Vi har att Jämförelseprincipen ger nu att a b lim + a lim + b. / konvergerar samtidigt, d.v.s. / a b a b och / a { konvergent, om a >, divergent, om a. I : Resonemanget liknar det vi gjorde för integralen I. I närheten av har vi att a b b

16 så vi jämför vår integral med Vi har att / b { konvergent, då b >, divergent, då b. a b lim b lim a. så vi har att ln + Alltså är vår integral divergent. R lim R lim ln R ln + ] R R lim R lim ln R. R Alltså konvergerar I samtidigt med b, d.v.s. { a b konvergent, då b >, divergent, då b. / Sammanfattningsvis har vi att { a b konvergent, om a > och b >, divergent, annars. 97g Avgör om den generaliserade integralen är konvergent eller divergent. + 97e Avgör om den generaliserade integralen är konvergent eller divergent. ln + Nämnaren är inte noll i integrationsintervallet så vi har inga singulariteter utan vi har bara ett obegränsat integrationsintervall. Konvergensen hos integralen bestäms av om integranden avtar tillräckligt fort när. I detta fall ser vi att ln + för >, Nämnaren antar värdet för och. Integranden har alltså singulariteter i dessa punkter. Eftersom ligger utanför integrationsintervallet påverkar den inte konvergensen. Förutom den singulära punkten är integrationsintervallet obegränsat. Vi delar därför upp integrationsintervallet i två delar, en del som innehåller singulariteten i origo och en del som är obegränsad men utan singulariteten, I + I. För att integralen i vänsterledet ska vara konvergent måste båda integralerna i högerledet vara konvergenta. I : Nära origo har integranden storleksordningen och eftersom integralen +

17 I : är konvergent så kan vi misstänka att vår integral också är konvergent. Jämför vi de två integranderna i får vi att lim + + lim + + och jämförelseprincipen ger att I är konvergent. När har integranden storleksordningen +. 3/ Integralen 3/ är konvergent se uppgift 7.c, så eftersom + lim lim + lim 3/ + ger jämförelseprincipen att I är konvergent. Alltså är integralen konvergent. + Som vanligt gäller att integralen är konvergent om både i / ln och ii / ln är konvergenta. Singulariteten i verkar lite besvärlig så vi börjar med att undersöka integralen i punkt ii. När vi undersöker integranden nära har vi att ln + { Maclaurinutveckling av ln + + O } + O + O + O. Integranden har en singularitet av typen / i och då är integralen divergent punkt i sats 9.5. Eftersom integralen ii är divergent är integralen divergent. ln 97m Avgör om den generaliserade integralen är konvergent eller divergent. ln Vi har två singulariteter i integrationsintervallet, eftersom lim ln, +, eftersom lim ln.

18 68b Visa att ln. 7 d.v.s. från integralen Hmm..., vi har att +. När man ska visa olikheter av den här typen använder man oftast integralens monotonicitet, d.v.s. Om f g i ett intervall a, b] så är b a f b a g, Sats 7.3iv Tanken är att vi hittar en enkel funktion g som går att integrera analytiskt och som ger värdet i högerledet. Detta kan vara ganska knepigt ibland. Låt oss först titta på ett misslyckat försök. Metod misslyckande I intervallet, ] är men nu kommer faktorn 5 in och förstör det roliga eftersom 5 inte uppfyller 5 7 i hela intervallet. Metod 3 Lyckosamt Efter att ha tittat lite noggrannare på integralen ser vi att om vi ersätter 5 i täljaren med det mindre uttrycket 6 så får vi i täljaren derivatan av nämnaren och det ger just en logaritmisk primitiv funktion. Det verkar lovande! ln + 7 ] 7 ln Alltså har vi att och integralens monotonicitet ger att ]. Vi har visserligen fått fram en undre gräns på integralens värde men vår gräns är mindre än det önskade 7 ln. Vi har alltså misslyckats. Felet vi gjorde var att olikheten 7 vi utgick från är för grov. Vi måste på något sätt skatta integranden bättre. Metod misslyckande 68c Visa att e + π. Det som förhindrar oss från att enkelt hitta en primitiv funktion är e i nämnaren. Tittar vi dessutom på högerledet π/ så skulle den kunna uppstå av ] arctan π/, Istället för att planlöst försöka skatta integranden kan vi titta lite på vad vi har i högerledet och försöka arbeta baklänges. Uttrycket ln skulle kunna komma från ] ln + ln, d.v.s. av integralen +.

19 En tänkbar strategi är alltså att ersätta e med. Vi får se om det fungerar. Funktionen e är avtagande och eftersom e så är Detta ger att e e + + Integralens monotonicitet ger för i intervallet,. e + +. öppnar för en substitution. Vi provar! e sin e s ds e { s,, s: } e s ] e. e + + arctan ] π/. 75 Beräkna arean inom kurvan { + cos t + sin t, y cos t sin t, t π. 68d Visa att e sin e. Just faktorn e brukar vålla besvär vid analytiska integralberäkningar. Dess primitiva funktion går inte att uttrycka i elementära funktioner, så en naiv skattning av typen sin e sin e har vi inget för. Samtidigt vill vi inte försöka skatta bort e eftersom talet e förekommer i högerledet och det är ett tecken på att eponentialfunktionen på något sätt är inblandad och bör möjligtvis sparas. Från tidigare i kursen kanske vi kommer ihåg olikheten sin, för. Sats. Den är värd att prova, för om vi ersätter sin med får vi dessutom derivatan av eponentialfunktionens argument som en faktor i integranden och detta Kurvan är en parameterkurva så arean ges av π ẏ ẋy dt, om kurvan genomlöper randen i positivt led. Det där med positivt led är viktigt att komma ihåg. Problemet är inte så mycket att vi skulle råka integrera kurvan i negativt led för då blir areaintegralen negativ och det räcker om vi byter tecken för att få arean. Problemet är om kurvan har öglor, för då kan kurvan innesluta olika delområden med olika omloppsriktningar och delareorna börjar kancellera varandra. +

20 Vi kan upptäcka möjliga öglor genom att undersöka om det finns punkter på kurvan som genomlöps fler gånger, d.v.s. om det finns två olika parametervärden t t och t t som ger samma punkt, t t, yt yt. Så låt oss undersöka detta, Adderar vi och fås Detta insatt i t.e. ger Vi måste alltså ha att t, yt t, yt + cos t + sin t + cos t + sin t, cos t sin t cos t sin t. + cos t + cos t cos t cos t. sin t sin t. cos t cos t, 3 sin t sin t. 4 cos t+t : Då är sin t+t eftersom cosinus och sinus har olika nollställen. 5 ger därför att sin t t vilket är fallet ovan. Vi har alltså visat att förutom kurvans start- och ändpunkt finns det ingen punkt som svarar mot två parametervärden, d.v.s. kurvan är enkel och saknar öglor. Areaintegralen blir nu π ẏ ẋy dt π + cos t + sin t sin t cos t sin t + cos tcos t sin t dt { förenklingar och trigonometriska ettan } π 4π π. sin t + cos t + dt cos t + sin t + t ] π Eftersom areaintegralen har ett negativt värde har vi alltså integrerat kurvan i negativ led och arean ska vara π. Flytta över allt i vänsterledet och använd additionsformlerna cos t cos t sin t sin t sin t t sin t t För att 5 ska vara uppfylld måste vi ha ett av fallen sin t + t cos t + t Beräkna arean inom kurvan cos 3 t, y sin 3 t, t π. sin t t : Då är 5 också uppfylld. Detta ger att t t nπ t t + nπ för något heltal n. Eftersom parameterintervallet, π] har längd π kan den enda lösningen som uppfyller t t vara t och t π eller ombytta roller, vilket betyder att kurvans startpunkt och ändpunkt sammanfaller. Vi ska först undersöka om kurvan har några öglor, d.v.s. om det finns någon punkt på kurvan som svarar mot olika parametervärden t t och t t, m.a.o. cos 3 t cos 3 t, sin 3 t sin 3 t.

21 Eftersom funktionen 3 är en-entydig är dessa båda ekvationer ekvivalenta med cos t cos t, sin t sin t. Detta är precis samma system som vi undersökte i uppgift 75. Vi visade då att, förutom start- och ändpunkten, finns det inga punkter som uppfyller sambanden. Arean ges då av beloppstecknen tar vi med eftersom vi inte vet i vilken riktning vi genomlöper kurvan, π ẏ dt π π cos 3 t 3 sin t cos t dt π 3 cos 4 t sin + cos t cos t t dt 3 dt π { konjugatregeln } cos t cos t dt π + cos t cos t cos 3 t dt 3 8 π 3 8 π dt + π π cos t dt sin t cos t dt + cos 4t { s sin t, ds sin t dt, s: } 3 8 π + π 3 8 π. dt 78 Beräkna arean av var och en av de öglor i, y-planet som bildas av kurvan sin t, y sin t. Eftersom sin t är π-periodisk och y sin t är π-periodisk så har de minsta gemensamma period π vilket betyder att kurvan genomlöps helt om vi väljer ett parameterintervall med längd π. Vi kan för enkelhets skull välja parameterintervallet, π]. Vi bestämmer öglorna genom att undersöka i vilka punkter kurvan skär sig själv, d.v.s. när det finns två parametervärden t t och t t som ger samma punkt. Med andra ord söker vi lösningarna till Vi skriver om med formeln för dubbla vinkeln, För att lösa och undersöker vi två fall sin t : Då får vi från och att sin t sin t, sin t sin t. sin t cos t sin t cos t. cos t cos t. 3 Vi har alltså att sin t sin t, cos t cos t, och detta system har inga lösningar t t vilket vi visat tidigare i uppgift 75. sin t : I detta fall är båda ekvationerna uppfyllda, och vi har att t, t π eller t π.

22 Kurvan skär alltså sig själv i punkten som svarar mot parametervärdena t, t π och t π. 7 Beräkna arean av det område som i polära koordinater definieras av r sin v + cos v och v π/. t, t π, t π/. Kurvan har därmed två öglor med randkurvorna { sin t, y sin t, t π} respektive { sin t, y sin t, π t π}. Områdena som innesluts av respektive ögla har areorna och π π π ẏ dt π 4 π sin t cos t dt { formeln för dubbla vinkeln } sin t cos t dt 4 ] π 3 cos3 t + cos t ] π 4 3 π cos t sin t dt ẏ dt { Samma primitiva funktion som ovan } ] π 4 3 cos3 t + cos t π ] π π π sin t dt + 4 3, Det man måste se upp med är att den polära representationen inte är unik. De två polära koordinaterna r, v och r, v + π svarar mot samma punkt. Det kan innebära att två kurvsegment som till synes är olika har olika vinklar ändå innesluter samma område eftersom den ena kurvan har negativ radie och då speglas över till motstående vinkelområde. r < v I vårt fall är vinkeln begränsad till, π/] så detta fenomen kan inte uppstå. Arean ges av formeln π/ rv dv π/ π/ dv sin v + cos v dv sin v + sin v cos v + cos v { v, dv, : π } 4 π π/ + sin. dv + sin v

23 Det kan vara svårt att direkt se någon metod för att räkna ut integralen, men eftersom integranden är ett rationellt uttryck i en trigonometrisk funktion kan vi alltid ta till universalsubstitutionen t tan. Denna inverssubstitution fungerar eftersom tan är strängt väande på, π/]. Vi behöver uttrycka sin i t, sin sin sin cos tan cos tan + tan Vi har också att dt + tan + t dt + t. och integrationsgränserna blir π/ t, t. t + t. 73b Beräkna arean av det område som begränsas av r sin 3v, polära koordinater. Vi måste först undersöka om vi har problemet med att den polära kurvan beskriver samma kurvområde två gånger på grund av identifikationen r, v r, v + π. Vi ritar upp hur radien r beror av den polära vinkeln v, r π 3 π Här ser vi att vi just drabbas av detta eftersom alla vinklar v + π till höger om π ger en radie med omvänt tecken än den med vinkel v. π v Integralen blir alltså 4 + t dt + t + t dt t + lim R dt + t + t ] R t +. Analytiskt ser vi detta också v r r v + π rv + π sin3v + 3π sin 3v rv. Alltså beskriver parametervärdena mellan π och π samma kurva som parametervärdena mellan och π. Kurvan innesluter därmed arean π rv dv π π cos 6v sin 3v dv { formeln för halva vinkeln } dv 4 4 π 4 π. v 6 sin 6v ] π

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + d 4 + + Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4 + d [ ] +

Läs mer

1 Primitiva funktioner

1 Primitiva funktioner Primitiva funktioner Definition. F ( är en primitiv funktion till f( om F ( f(. Antag att vi har hittat en primitiv funktion F ( till f(. Finnsdetflerprimitivafunktionerochvilken form har de i så fall?

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kapitel 5: Primitiva funktioner Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Lösning : Substitution

Lösning : Substitution INTEGRALER AV RATIONELLA FUNKTIONER Viktiga grundeempel: Eempel. (aa 0) aaaabb aaaabb = tt = aa aa = aa llll tt CC llll aaaa bb CC aaaa bb = tt aaaaaa = = aa Eempel. (aaaabb) nn (nn, 0) (aaaa bb) nn =

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform. Kap 4.8 4.9. Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

8.4. Integration av trigonometriska uttryck

8.4. Integration av trigonometriska uttryck 68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts. 5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

18 Kurvintegraler Greens formel och potential

18 Kurvintegraler Greens formel och potential Nr 8, 6 april -5, Amelia 8 Kurvintegraler Greens formel och potential 8. Greens formel Vi studerar i detta avsnitt kurvor i planet, i R. En kurvintegral är som vi sett en integral på en kurva i planet.

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Referens :: Komplexa tal

Referens :: Komplexa tal Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Lösning av trigonometriska ekvationer

Lösning av trigonometriska ekvationer Lösning av trigonometriska ekvationer Uppsala universitet 06 Per Engström per.engtrom@math.uu.se Inledning För att lösa problem i som innehåller trigonometriska funktioner kan mab bahöva lösa trigonometriska

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x 33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos

Läs mer

vilket är intervallet (0, ).

vilket är intervallet (0, ). Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.

Läs mer

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2 Lektion 6, Flervariabelanals den februari 6.. Beräkna div F och rot F av F e + e. Divergensen och rotationen ges av div F F,,,, + + + +, rot F F,,,, e e e z, +,,,. rot F F,, e e e z z, z, z z z, + z, z

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen

Läs mer

1 Tal, mängder och funktioner

1 Tal, mängder och funktioner 1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π 48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x =

Läs mer

Om komplexa tal och funktioner

Om komplexa tal och funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Gränsvärdesberäkningar i praktiken

Gränsvärdesberäkningar i praktiken Gränsvärdesberäkningar i praktiken - ett komplement till kapitel i analsboken Jonas Månsson När man beräknar gränsvärden använder man sig av en rad olika strategier beroende på det givna problemet. Avsikten

Läs mer