f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =

Transkript

1 Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om f är en strängt monoton funktion så eisterar inversen f. Sats. Om f har inversen f gäller f(f ()) = f (f()) = Eempel. Låt Finn f (). Lösning: Lös ut. f() = y = f() = y = ( ) = y = + y Vi har kommit fram till svaret: f (y) = + y Normalt byter man nu plats på och y och får Vi kollar nu att vi räknat rätt f(f ()) = f f () = + ( + ) = Om vi är riktigt noga kontrollerar vi även ( ) f (f()) = f + = = + = = + = Håkan Strömberg KTH Syd

2 Eempel. Låt f() = +, 0. Avgör om f eisterar. Ange i så fall inversen. Inses genom att rita grafen eller att derivera Lösning: y = + = y = ± y Vi får tydligen flera svar, men vi har tidigare sagt att 0, så därför gäller den positiva roten. f (y) = y eller f () =, D f : { }. Observera att f () och f() är varandras spegelbilder i linjen y =. Detta gäller alltid och kan användas för att rita den ena kurvan när man känner den andra. Problem. Bestäm samtliga vinklar och sträcker i figuren Lösning: ABC = 0 ABC är en halv liksidig BC = AC =, Pythagoras sats ( ) DAB = 5 DB = sin5 = ( +) AD = cos5 = DBA = 75 CBE = BCE = 5 CF = AF = sin5 = CE = BE = sin5 = Håkan Strömberg KTH Syd

3 Arcusfunktionerna Vad är arcsin Odefinierat förstås eftersom det inte finns någon vinkel v sådan att sinv = Vi vet att har f() = sinv har värdemängden sinv. Då förstår vi också att funktionen f() = arcsin har definitionsmängden. Samma sak gäller för f() = arccos. Problem uppstår då kanske när man ska bestämma värdemängden för f() = arcsin och f() = arccos. Man kan först tro att då f() = sin och f() = cos båda har definitionsmängden R (alla reella tal) eller < <, så har motsvarande inversfunktioner, värdemängden < <. Men eftersom vi inte kan använda grafen som f() = arcsin och inte heller grafen nedan som f() = arccos så har man bestämt sig för att använda en del av dessa grafer för att definiera f() = arcsin och f() = arccos. Först grafen f() = arcsin : Håkan Strömberg KTH Syd

4 och sedan grafen f() = arccos: Se till att du kan skissa dem. f() = arcsin har D f = { } och V f = { π/ f() π/} f() = arccos har D f = { } och V f = {0 f() π} Bra att kunna Här följer en tabell som är bra att kunna Vinkel 0 = 0 π/ = 0 π/ = 5 π/ = 0 sin 0 / / / cos / / / tan 0 / Vinkel π/ = 90 π/ = 0 π/ = 5 5π/ = 50 π = 80 sin / / / 0 cos 0 / / / tan / 0 Kan man den inte utantill (vilket är ganska ovanligt) så ska man kunna plocka fram ett värde med hjälp av enhetscirkeln. Till eempel: Hur visar man att tan0 = Håkan Strömberg KTH Syd

5 Med hjälp av likformighet kan vi ställa upp ekvationen sin0 = cos0 = sin0 cos0 / = / = Med tabellen ovan kan man slå upp till eempel arcsin/ = π/ = 0. Men stopp! Kan inte resultatet också vara arcsin/ = π/ = 0? Svaret är nej, därför att π/ inte tillhör värdemängden hos arcsin, π/ > π/ (den övre gränsen)! Problem. Bestäm ( arccos sin 5π ) Lösning: Först måste vi bestämma ( ) 5π ( sin = sin00 = sin π ) = sin 0 Finns inte i tabellen ovan, men med hjälp av enhetscirkeln får vi /. Från tabellen får vi arccos / = 5π/ = 50. Detta fick man poäng för då det förkom på en KS. Problem. Bestäm arcsin arccos Lösning: Från tabellen kan vi avläsa arcsin = π/ = 90. Resultatet ligger i värdemängden. Från tabellen ser vi att arccos / = π/ = 0. Vi får då 90 0 = 0 eller π/ π/ = π/. För detta fick man poäng när uppgiften förekom på en KS För funktionen f() = sin saknas invers Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 som synes Men om vi betraktar den funktionen i intervallet π/ π/, så ser vi att funktionen är strängt monoton här och att inversen därför eisterar: f () = arcsin med definitionsmängden { } och värdemängden { π/ y π/} Eempel. Beräkna ty sin π = och π arcsin = π ligger i värdemängden för arcsin På liknade sätt får vi att f() = cos är strängt monoton i intervallet {0 π} Inversen f () = arccos med definitionsmängden { } och värdemängden {0 y π}. Eempel. Beräkna ( arccos ) = π Man ställer sig alltså frågan: Vilken vinkel ger cosv =. Vinkeln ligger i värdemängden. Håkan Strömberg KTH Syd

7 Eempel 5. Bestäm ( ( arccos cos 7π )) Ett felaktigt svar är 7π eftersom detta värde inte ligger i värdemängden för arccos. ( ) ( ) 7π 7π ( cos = cos +π = cos π ) ( π = cos ) och π ligger i värdemängden för arccos. Alltså ( ( arccos cos 7π )) ( ( ( ) π = arccos cos = arccos = )) π f() = tan är strängt monoton i intervallet π/ < < π/. Observera alltså att tan inte är definierad då θ = 90 +n 80 och n är heltal. Inversen skriver vi f () = arctan som har definitionsmängden R och värdemängden π/ < y < π/ Eempel. Beräkna arctan( ) = π Vilken vinkel v ger tanv =, jo v = π/, som dessutom ligger i värdemängden till arctan Här några samband mellan de trigonometriska och arcusfunktionerna sin(arccos) = sin(arctan) = + cos(arcsin) = cos(arctan) = + tan(arcsin) = tan(arccos) = Dessa formler kan man komma fram till genom att betrakta denna rätvinkliga triangel. Eempel 7. Visa att arcsin+arccos = π π/ arccos ligger mellan π/ och π/. Dessutom vet vi från tidigare att sinπ/ v = cosv. Använder vi det sambandet här får vi sin(π/ arccos) = cos(arccos) = och därmed π/ arccos = arcsin eftersom och påståendet följer arcsin(sin(π/ arccos )) = arcsin Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Problem. Bestäm eakt cos π arcsin ( ) cos ( ) ) 5π arcsin( tan π tan ( ) 5π ( ) arccos arccos ( ) cos(arcsin ) sin(arctan ) tan(arccos ) cos(arctan) sin(arccos ) tan(arcsin ) sin(arcsin ) cos(arccos ) tan(arctan arcsin(cos π ) arccos(sin π ) arctan(sin π ) arctan(tan π ) arcsin(sin π ) arccos(cos π ) arcsin(tan π ) arccos(tan π ) sin ( ) 7π sin ( ) π arctan( ) arctan( ) Svar: π 5π π π π π π π π π π π π π Definitionsmängd Eempel 8. Bestäm definitionsområdet för f() = sin Svar: Då sin = 0 är nämnaren = 0 och så länge som 0 är funktionen odefinierad. Men då = 0 är faktiskt sin =. Vi kommer till detta senare, i samband med gränsvärden. Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Eempel 9. Bestäm definitionsområdet för f() = ln( ) Svar: ln är inte definierad för 0, så då 0 är funktionen inte definierad. Då andragradspolynomet har nollställena = och = betyder detta att D f = { : < eller > }. Eempel 0. Bestäm definitionsområdet för f() = Svar: Polynomet under rottecknet, som inte får vara < 0, har nollställena = och =. Eftersom polynomet beskriver en glad gubbe, så kan vi skriva D f { : eller } Eempel. Bestäm definitionsområdet för f() = arcsin Svar: Efter de diskussioner vi haft om arcsin vet nu alla att D f = { : } Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Eempel. Bestäm definitionsområdet för f() = arcsin+ln Svar: Nu blir det värre. Vi tittar på en elementär funktion i taget och får för ln intervallet D = { : > 0}. För arcsin får vi D = { : }. Dess grafer, som är kända sedan tidigare, ser vi i samma plot, till vänster i figuren. Sedan betraktar vi g() = arcsin + ln, som har sin graf i mitten av figuren. Eftersom h() = har definitionsområdet D h = { : 0}, så måste g() 0. Vi ser, genom att läsa av i grafen, att g() 0 då tillhör intervallet [0.575,] (ungefär). För att få ett bättre värde på den undre gränsen har vi alltså att lösa ekvationen arcsin+ln = 0 Detta är en ekvation som inte låter sig lösas eakt. Man behöver en dator för att uppskatta roten bättre än vi gjort genom att läsa i grafen. Med Mathematica skriver man FindRoot[ArcSin[] + Log[] == 0, {, 0.5}] och vi får svaret = (kanske lite överdrivet). Svaret på uppgiften blir alltså: D f = { : < }. Observera att denna uppgift aldrig skulle kunna finnas på en KS eller tentamen. Tack Andreas! Håkan Strömberg 0 KTH Syd

11 Eempel. Bestäm definitionsområdet för f() = Svar: Nämnaren kan faktoriseras ( + )( ). Täljaren kan inte faktoriseras. Vi kan direkt skriva D f = { : och } Eempel. Bestäm definitionsområdet för f() = Svar: D f = { } Eempel 5. Bestäm definitionsområdet för f() = ln( )+ +e Svar: För e är D = {R}, för får vi D = { och för ln( ) är D = { > }. Snittet av dessa definitionsmängder är D f = { : < } Eempel. Bestäm definitionsområdet för f() = arccos Håkan Strömberg KTH Syd

12 Svar: Vi får direkt D f = { : } Eempel 7. Bestäm definitionsområdet för f() = ln( 5 ) Svar: ln( 5 ) har eftersom rötterna till 5 = 0 är = och = 5 och eftersom det här är en ledsen gubbe D = { : < < 5}. Då 0 eller är nämnaren definierad. Vi skriver D = { : 0 eller }. Men nu är det så att = gör innebär att nämnaren blir 0, så D f = { : < < 5} Håkan Strömberg KTH Syd

13 Problem 5. Bestäm inversen till och därefter inversens definitionsmängd f() = + cos Lösning: y = + cos cos = y = arccos y Vi byter plats på och y och får f() = arccos Vi vet att arccosp har definitionsmängden p. Detta betyder att vi får 5 Svar: f() = arccos med definitionsmängden Problem. Bestäm inversen till f() =. Lösning: Spegeln själv så att säga! f(f ()) Problem 7. Bestäm inversen till f() = /. f () = Lösning: Lös ut ur y = / som ger = /y. Inversen f () = /. Kan det vara så? Vi testar f(f ()) = f(/) = / = Problem 8. Bestäm inversen till f() =. Lösning: Lös ut ur y =, y =, = ± y. Inversen eisterar inte Håkan Strömberg KTH Syd

14 Problem 9. Bestäm inversen till f() =. Lösning: Lös ut ur y = y = (y ) = y y+ = (y+)+y = 0 (y+ = y+ ) ± y = y+ y +y+ y ± = y+ y+ ± Detta var en mycket nyttig övning i bokstavsräkning för att komma fram till att inversen inte eisterar. För de flesta värden på y får vi två värden på. Detta hade man kunnat se redan från början eftersom f() = 0 och f(0) = 0, så kan det inte finnas någon invers funktion. Problem 0. Uttryck funktionen f() = ++ (+)( ) som summan av en polynomfunktion och en rationell funktion där gradtalet i täljaren är mindre än gradtalet i nämnaren Lösning: Först epanderar vi (+)( ) Med hjälp av polynomdivision får vi så + + : = Nu kan vi skriva f() som Problem. Uttryck funktionen + f() = + + f() = som summan av en polynomfunktion och en rationell funktion där gradtalet i täljaren är mindre än gradtalet i nämnaren Här kan vi genast ta till polynom Håkan Strömberg KTH Syd

15 Lösning: : ++ = Vi skriver så funktionen Problem. Partialbråksuppdela Lösning: Vi gör ansatsen där vi nu ska ta reda på A och B f() = ++ f() = (+)( ) A + + B ++ A + + B = A( )+B(+) = A A+B+B = (A+B)+(B A) (+)( ) (+)( ) (+)( ) Vi betraktar nu täljaren i det ursprungliga uttrycket och jämför det med den nyvunna täljaren. Detta leder till ekvationssystemet { A+B = 0 Som har svaret A = och B = Problem. Partialbråksuppdela B A = och vi kan skriva uttrycket (+) + ( ) f() = (+)( ) Lösning: Vi har samma nämnare som i förra uppgiften och får därför samma ansats. Även nästa steg blir identiskt. Skillnaden uppstår i ekvationssystemet { A+B = B A = som har rötterna A = och B =. Det ursprungliga uttrycket övergår då i + + Håkan Strömberg 5 KTH Syd

16 Problem. Partialbråksuppdela f() = (+)( ) Lösning: Även här har vi samma nämnare. Men vänta ett tag! Eftersom täljarens gradtal är nämnarens måste vi först utföra en polynomdivision för att få ned gradtalet. Nämnaren utvecklad blir Vi får då 0 : = + (+)( ) Vi går nu vidare med den andra termen. Eftersom är nämnare även här är samma som i tidigare uppgifter gör vi samma ansats och får ekvationssystemet { A+B = B A = 0 med rötterna A = och B = som ger det slutliga uttrycket + (+) + ( ) Håkan Strömberg KTH Syd