= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)

Transkript

1 Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4 ) i) y = 7 j) = 5. Ange utan att räkna en punkt på följane linjer. a) y = ) b) 5 y =. Ange en ekvation för linjen genom punkten,) me riktningskoefficient Ange på formen a + y b = en ekvation för linjen genom a) 6, 0) och 0, 5) b) 9, 0) och 0, 5) 5. Ange på formen y y = k ) en ekvation för linjen genom a), ) och, 4) b), 5) och, ) c),4) och 5,4) ) 4,) och 4,5) 6. Ange en ekvation för linjen genom origo, vinkelrät mot linjen + y =. 7. Ange en ekvation för linjen genom 4, ), vinkelrät mot linjen y = Ange skärningspunkterna mellan följane par av linjer. a) y = + och y + + = 0 b) 5y = och 5y + 4 = 0 c) + y = och 4 + y = 5 ) + y = 4 och + 6y = 9. Skissera områet i planet är a) y = + b) y < + c) y > +

2 Svar till övningarna. a) resp. 5/, 0) och 0, 5) b) / resp. 5, 0) och 0, 5/) c) /5 resp. 5,0) och 0,) ) / resp. /, 0) och 0, /) e) / resp. 4/, 0) och 0, ) f) / resp.,0) och 0,) g) 5/ resp., 0) och 0, 5) h) 4 resp. /4,0) och 0, ) i) 0 resp. saknas och 0,7) j) Saknas resp. 5, 0) och saknas. a) T e,) b) T e 5,0). y = 4 ) 4. a) 6 y 5 = b) 9 + y 5 5. a) y = b) y 5 = c) y 4 = 0 ) Går inte. 6. y = 7. y + = /) 4) 8. a) 4/5, 7/5) b),4) c) Saknas. ) + y = 4

3 Anragraskurvor. Ange et största eller minsta väret av f) samt för vilket et antas. Ange nollställena till f). Rita slutligen kurvan y = f), är f) = a) b) c) ) e) ) f) + ) g) + ) h) + 4) + i) ) ) j) + ) 4) Hur fås e senare kurvorna ur en första?. Betrakta kurvan y =. Vilken ekvation får en om en a) parallellförflyttas så att et minsta väret av y är å =? b) först speglas i -aeln och sean parallellförflyttas så att et största väret av y är å =? c) trycks ihop mot y-aeln till en ny parabel som går genom 0,0) och,8)? ) ras ut från y-aeln till en ny parabel som går genom 0,0) och,)?. Lös följane ekvationer. a) = b) = c) 5) + 6) = 0 ) ) + 9 = 0 e) ) = 0 f) + ) = 4. Kvaratkomplettera f), lös ekvationen f) = 0 och faktorisera om möjligt f) samt rita kurvan y = f) om f) = a) b) 0 c) 4 4 ) e) Använ konjugatregeln till att faktorisera a) 4 b) + c) + 6 ) Lös, genom att först faktorisera och sean stuera tecknet av faktorerna, följane olikheter a) + 8 < 0 b) c) Ange skärningspunkterna mellan kurvan y = + + och linjerna a) y = 7 b) y = 4 7 c) y =

4 Svar till övningarna. a) Minsta väre 0 å = b) Minsta väre 0 å = c) Största väre 0 å = ) Minsta väre å = 0. ±. e) Minsta väre 0 å =.. f) Största väre å =. ±. g) Minsta väre å =. ±. h) Minsta väre å = 4. Saknas. i) Minsta väre 4 å =. och. j) Minsta väre 9 å =. och 4.. a) y = + ) b) y = + ) c) y = ) y =. a) = ± b) Reella lösningar saknas. c) = 5 eller = 6 ) Reella lösningar saknas. e) = f) = ± 4 4. a) + 5 ) 4, = 5 ±, + ) + ) b) ) 4, = ±, + 5) 6) ) c) ), = ±, ) + ) ) 4 ), =, ) e) 4 ) + ), reella lösningar saknas, reell faktorisering omöjlig. 5. a) ) + ) b) ) ) c) + ) ) ) + 5) 6. a) 4 < < b) eller 6 c) = 5 7. a), 5) och 4, 4) b), 5) c) Saknas. 4

5 Bokstavsräkning. Förenkla följane uttryck. a) + ) + ) b) + y y) + y) c) 7 + 5a + b ) a + 4b ) ) ) + 4 ) + ) e) 5 )) f) ab c) bc a) g) a + b + c) b a + ) c h) + ) i) ) j) + ) ) k) + ) ) l) a + by) m) a + by) c + y) n) a + by + cz) + cy) o) a + b + c) p) a + b c) q) + a + b a c) r) ) s) ) + ) ) ) t) + ) + 4 ) u) ) ) v) ) ) w) a + 4a + 8 ) a 4a + 8 ) ) + ) ) y) + ) + ) z) a) + a) + a ) + a 4) + a 8) + a 6). Skriv följane uttryck me ett bråkstreck. a) a/b b) b/c c) a + b e) g) i) + ) ) + 4a / a ) h) + + ) + / ) + ) j) k) u+ u + l) n) a) b) c a) c b) + a) c) b a) b c). Visa att om + y + z = 0 så är a b b a f) a a + a + a + a a a a a a b b a m) + b) c) a b) a c) + y + z = yz. y + y y + 5

6 Svar till övningarna. a) 4 4 b) + y c) 6 + a b ) e) f) ab ac bc g) a + ac + b bc h) + + i) j) k) 9 4 l) a + aby + b y m) ac + a + bc)y + by n) a + bcy + ac + b)y + cz + c yz o) a + b + c + ab + ac + bc p) a + b + c + ab ac bc q) + b + ac r) s) t) + 8 u) v) 4 w) a ) y) z) a. a) ac b b) + c) ab a+b ) a+) a ) e) + f) a aa ) g) h) 58 i) ) ) j) a + k) u ab u+ l) a +b m) y + y n) 6

7 Olikheter Lös följane olikheter.. a) 5 b) 5 > c) 6 ) + ) ) + + ) < a) < < b). a) ) ) 0 b) 0 < < c) ) + ) > 0 ) + 0 e) ) ) ) > 0 f) ) ) ) < 0 + ) + ) g) ) ) 0 h) + ) + ) ) ) 0 i) + ) ) > 0 4. a) + ) ) < 0 b) 6 + < 0 c) + > ) > 7 5. a) e) + < 8 f) + > g) 5 4 < h) 5 5 < c) 5 ) + ) 0 b) + < ) + 4 e) f) + + g) < h) 7

8 Svar till övningarna. a) b) < c) 0 9 ) >. a) < < b) 7 4 < < 7. a) b) < c) < < ) < eller e) < < eller > f) < < eller < < g) eller < eller > h) < eller < < i) < eller > + 4. a) < < b) < < c) ) < eller > e) 0 < < 6 f) 0 < < eller > g) 5 < < 0 eller 0 < < 5 h) < 5 eller 0 < < 5 5. a) < eller < 5 b) < eller < 5 c) < 0 eller > ) > 4 e) 7 < f) eller < g) > h) eller = 8

9 Potenser och logaritmer. Skriv som en potens av a > 0: a) a 4 a b) a ) c) a a ) a a. Förenkla a ) ) b a) b) b c a b ) c a c c) a ) a ) ab) cb). Förenkla a) 7 b) + c) Visa att = 9 4 är en rot till ekvationen = ). 5. Vilket är störst av talen / och /5? Lening: Bila en lämplig potens av talen.) 6. Lös följane ekvationer utan att använa logaritmer): a) = 4 ) c) 5 = 5 e) ) = 9 9 g) + + = 7. Bestäm å b) 4 = ) 8 ) = 5 8 f) 8 4 = 4 h) = a) 0 = b) = 0 c) e = ) e = 8. Beräkna eakt: a) log 6 b) log c) ln e 9 ) e ln 4 e) e ln f) e ln 9. Förenkla så långt möjligt me hjälp av logaritmlagarna: a) lg a + lg b + lg c b) ln e + ln e c) log log 5 40 ) ln a b ln a b 0. Lös följane ekvationer eakt: a) log + log 5 = 6 b) log + ) + log ) = c) ln ) = ln ) ln = ln. Lös följane ekvationer eakt: a) 5 = 0 b) lg = 0 c) 5 5 =

10 Svar till övningarna. a) a 4 b) a 6 c) a ) a 4. a) a b c b) a bc c) a ) a b 6 c. a) 9 b) + c) a) = b) = 4 c) = 4 ) = e) = f) = g) = h) = 0 eller = 7. a) = lg b) = log 0 = lg c) = ln ) = e 8. a) 4 b) c) ) 4 e) 4 f) 9. a) lg abc b) 0 c) ) ln ab 4 0. a) = 64 5 b) = c) = eller = e ) = eller = e 4. a) = lg 50 b) = 0 eller = 0 c) = 0

11 Komplea tal. Skriv följane komplea tal på formen a + bi är a,b R.,y R.) a) + i) b) i) + i) c) + i) i) ) + iy) iy) e) + iy) f) i) 4 g) i 7. Skriv följane komplea tal på formen a + bi. i) i) a) b) + i) i) + i) i) ) e) i i g) + i + + i h) i) + i) i. Skriv följane komplea tal på formen a + bi. c) f) i + i 5i 6 + i a) + i b) i c) + i) i) ) i) e) + i) i) 4. Ange absolutbeloppet av följane komplea tal. a) i b) i c) cos 9π 9π + isin ) cos isin e) + 5i f) 58i g) 5 + i h) + 4i) 4 i) i) 7 j) + i) 7 k) + i)5 i ) 7 l) m) i)5 + i) + i) 4i) n) i + + i i) + i) i) i) 5. Skriv följane komplea tal på polär form och markera em i et komplea talplanet. a) i b) c) 5 ) i e) i f) i + g) i h) +i 6 i) + i j) i 6. Skriv följane komplea tal på polär form. ) 5 + i) + i a) b) 6 ) i ) + i + i e) + i 7. Skriv följane komplea tal på formen a + bi. c) + i) i ) a) e iπ b) e iπ/ c) e iπ ) e iπ/ e) e iπ/6 f) e iπ/4 g) e iπ/4 h) e i5π/6 i) e i5π/4 j) e iπ/ e iπ/4 k) e iπ/ e iπ/4 8. Ange följane komplea tal på formen a + bi. ) 7 a) + i) b) i c) 4e iπ/ + i) 5

12 9. Rita följane mänger i et komplea talplanet. a) Rez = 0 b) Im z = 0 c) Rez = och Im z = ) Rez = eller Imz = e) < Rez f) Rez + Imz = g) Rez < Im z 0. Rita följane mänger i et komplea talplanet. a) z = b) z < c) z > ) < z e) < z f) z och z i g) z + i) < h) z + i i) z + + i > j) z i = k) i)z. Rita följane mänger i et komplea talplanet. a) z < och 0 < arg z < π b) z = och arg z < π 4 c) z i < och Re z + Im z > ) π < arg z < π e) z = z + 4 f) z i = z + + i g) z a z b = h) z a < z b

13 Svar till övningarna. a) i b) 7 i c) ) + y. a) e) y + i y y ) f) 7 4i g) i b) 5 i c) 5 i ) i e) + i f) i g) 5 5 i h) i. a) i b) i c) 5 ) i e) 4 7i 4. a) b) c) ) e) 9 f) 58 g) h) 65 i) 8 j) 7/ k) 4 5 l) m) 50 n) a) e iπ/ b) c) 5e iπ ) e iπ/ e) e iπ/4 f) e iπ/6 g) e iπ/4 h) e iπ/ i) e iπ/ j) e iπ/ 6. a) e iπ/4 b) 8 e i4π/ c) e iπ/ ) e i5π/6 e) e iπ/ 7. a) b) i c) ) + i e) + i f) + i g) i h) + i i) + i j) + )) + i k) + i ) 8. a) + i b) i c) + i )) + 4 4

14 4

15 Trigonometri. Uttryck följane vinklar i raianer. a) 0 b) 45 c) 60 ) 50. Uttryck följane vinklar i graer. a) π b) π 8. Bestäm eakt me hjälp av enhetscirkeln c) 4π ) π 5 a) sin 5π 6 e) cos 5π b) cos 5π 6 f) tan π 4 c) sin 4π g) sin 7π ) tan 5π 4 h) cos 5π ) 4 4. Rita följane par av kurvor i samma koorinatsystem. a) y = sin och y = sin b) y = sin och y = sin + π ) c) y = tan och y = tan + π ) 6 5. Lös följane ekvationer. a) sin = b) cos = c) tan = ) cos = sin π 5 6. Lös följane ekvationer. a) sin = sin b) cos = cos c) sin = sin + π ) 6 ) sin = cos e) tan = tan 4 f) tan = tan π ) 7. Bevisa följane formler. a) cos 4 α sin 4 α = sin α b) c) tan α = sin α cos α cos α 8. Förenkla följane uttryck så långt möjligt. tan α a) + tan b) tan α α + tan α π ) π ) ) sin + sin e) cos 9. Bevisa följane formler. Lening: α = α + α.) sin α + cos α ) = + sin α c) cos α sinαsin α sin4α π ) 4 π 4 ) sin a) sin α = sin α 4sin α b) cos α = 4cos α cos α c) tan α = tan α tan α tan α 0. Visa att om α + β + γ = π så är Lening: γ = π α + β).) tan β + tan γ tan α + tan γ = sin α sin β. 5

16 Svar till övningarna. a) π 6 b) π 4 c) π ) 5π 6. a) 0 b),5 c) 70 ). a) e) b) c) f) g) h) ) 5. a) = π 6 + n π eller = 5π 6 + n π b) = ±π 4 + n π c) = π + n π ) = ± π 0 + n π är n är ett gotyckligt heltal. 6. a) = n π eller = π 5 + n π 5 c) = π 6 + n π eller = π 6 + n π 5 e) = n π är n är ett gotyckligt heltal. 8. a) sin α b) cos α c) sin α b) = n π ) = π 0 +n π 5 eller = π +n π f) = π + n π ) sin e) sin 6

17 Faktorisering och ivision av polynom. Faktorisera följane polynom så långt som möjligt i reella faktorer. a) ) + 4 ) b) ) + ) 4 ) c) ) 8 4 ) 4 ). Bestäm kvoten och resten vi följane polynomivisioner. a) + 7 ) / ) b) ) / ) c) ) / + + ) ) 4 / ) e) 6 ) / ). Unersök om + elar a) b) Faktorisera följane polynom så långt som möjligt i reella faktorer. a) + + b) + + c) + ) + 4 e) f) Lös olikheterna a) 5 > 5 4 b) + 4 > 7

18 Svar till övningarna. a) ) ) + 4) b) ) ) + 4) c) ) ) 7 ) ) ) + ). a) resp. 5 b) resp. 5 c) + resp ) + resp e) resp. 0. a) Ja b) Nej 4. a) + ) + ) b) + + ) c) ) + ) ) + ) ) e) ) ) + ) f) ) ) 5. a) < < eller 0 < < eller > b) > och 8

19 Absolutbelopp. Bestäm a) 4 7 b) π c) 7π ) a, a R. Lös följane olikheter me hjälp av tallinjeresonemang. a) < b) c) < ) + < 5 e) +. Lös följane olikheter. a) + 5 < b) > 4. Beskriv följane intervall me en olikhet av typen a < b eller a b. a) < < b) < < 8 c) 5 ) 0 < < 0 5. För vilka positiva tal δ är följane påståenen sanna?. a) < δ 4 < b) + < δ + 4 < c) 5 4 < δ 6. Ange ett positivt tal δ såant att < δ 4 < Lös följane ekvationer. a) + 4 = 7 b) + 4 = c) + 4 = 8. Lös följane olikheter. a) < 5 b) < 9. Lös följane olikheter. a) 4 + < 7 b) < c) + + > )

20 Svar till övningarna. a) b) π c) 7π ) a. a) < < b) eller c) < < 4 ) 7 < < e) 4 eller. a) < < b) > 5 eller < 4. a) < b) 5 < c) 4 ) + 5 < 5 5. a) 0 < δ b) Inga c) δ > 6. T e δ = a) = 6 eller = b) 4 c) Lösning saknas. 8. a) 5 < < 0 b) < 9. a) < b) > c) 5 < < 7 4 och ) 0

21 Gränsvären. Unersök, å, gränsväret av a) c) cos sin + sin. Bestäm följane gränsvären. ) a) lim + 4 c) lim b) ) sin + cos + ) + ) + sin + ) + sin b) lim + + ) ) lim ). Unersök, å, gränsväret av a) b) cos ln ) arctan e), ln + f) ln + g) ln ) h) arctan + ) c) sin + arctan ) + 4. Beräkna, å, gränsväret av a) ) b) + cos ) c) + cos ) ln + ) ) 5. Unersök, å 0, gränsväret av sin a) b) ) arctan 6. Unersök följane gränsvären. a) lim ln 0 + ) ) lim sin sin5 sin sin4 + sin c) e) sin f) b) lim 0 e / ln + ) e) lim sin 7. Unersök, å, gränsväret av a) + ) b) ) c) ) ln + ) e) ln + + ) f) g) + ) h) + ) arcsin + c) lim ln sin 0 + ) f) lim sin ) ) )

22 Svar till övningarna. a) b) c) Saknas ) 4. a) 0 b) c) ). a) 0 b) c) 0 ) π e) f) 4. a) b) c) Saknas ) 0 g) 0 h) π 5. a) b) 7 c) ) e) 0 f) 6. a) 0 b) 0 c) 0 ) e) f) 4 7. a) e 6 b) e 6 c) e ) e) f) e g) h)

23 Derivator Visa att ) a + b = c + a bc c + ) n e ) = + n) n e ln n ln )n )n = ln ln = ln ln ) = + ln a + = a + ln a ln cos = tan ln tan = sin a + b arctan b a = + + arcsin ) ln + ) + = ln = + + ) = arcsin ln + sin sin = cos + ) = + a ) a = a ln a a) a+ tan arctan = ) ln + cos + ) ) +

24 4