y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32

Transkript

1 6 Trigonometri 6. Dagens Teori Vi startar med att repetera lite av det som ingått i tidigare kurser angående trigonometri. Här följer en och samma rätvinkliga triangel tre gånger. Med en sida och en vinkel (förutom den räta) given. Målet är att bestämma de andra två sidorna º º º 8.48 B sin = 0 = 0 sin 5.0 cos = 0 = 0 cos 8.48 sin = 5. = 5. sin 0.00 tan = 5. = 5. tan 8.48 cos = 8.48 tan = = 8.48 cos = 8.48 tan 5.0 tt kunna detta är ett måste för fortsättningen. Med räknedosans hjälp kan man också

2 Trigonometri bestämma vinklar: v v v 8 8 B 6 sin v = 6 0 v = arcsin 6 0 v 6.87 B cos v = 8 0 v = arccos 8 0 v 6.87 tan v = 6 0 v = arctan 6 8 v 6.87 Kanske har din dosa en knapp sin istället för arcsin? b a c B När man sätter ut vinklar och sidor hos en triangel använder man versaler (stora bokstäver) för vinklar och gemener (små bokstäver) för sidor. Sidan a står mot vinkeln, sidan b mot vinkeln B och så vidare. Oftast sker utsättandet av vinklar moturs med, B och Dessa formler har du sett förut sin = a b cos = c b tan = a b motstående katet hpotenusan närliggande katet hpotenusan motstående katet närliggande katet Övning 6. I en likbent triangel är toppvinkeln 76.0 och motstående sida (basen).6 cm. Bestäm triangelns omkrets och area. Lösning: Höjden i en likbent triangel delar både basen och toppvinkeln mitt itu. Vi har då fått två rätvinkliga och dessutom kongruenta trianglar. Vi bestämmer så höjden (h) genom tan 8 = 0.8 h Nu kan vi bestämma triangelns area h = 0.8 tan 8 h =.8 = b h =.6.8 = 49.

3 6. Dagens Teori För att bestämma omkretsen måste vi ta reda på längden hos de två lika långa benen (). Vi får sin 8 = 0.8 = 0.8 sin 8 = 7.54 Omkretsen blir då = Svar: Omkretsen är 56.7 cm och arean 49. cm Övning 6. I en rätvinklig triangel är de båda kateterna 0 respektive cm. Bestäm triangelns vinklar. Lösning: En vinkel är 90, den räta. De andra två är får vi genom tan v = 0 v = arctan 0 v = 9.8 Den andra vinkeln kan vi bestämma genom = 50. men det är bättre att utgå från endast givna data för att undvika onödiga avrundningsfel. tan v = 0 Svar: Vinklarna är 9.8 och 50. v = arctan 0 v = º º Figur 6.: Övning 6. Trianglarna i figur 6. är likformiga. Bestäm vinklarna i den mindre triangeln. Lösning: Självklart är dessa lika stora som i den större triangeln. Det är ju det som är definitionen på två likformiga trianglar. B 45º D Figur 6.:

4 4 Trigonometri Övning 6.4 Bestäm omkretsen till frhörningen i figur 6.. OBS, nästan huvudräkning! Lösning: Hos en kvadrat med sidan a är diagonalen a. Med detta reder vi ut tre av frhörningens sidor. Den sista får vi med hjälp av Pthagoras 4 + =, = 0. Omkretsen blir då Svar: Omkretsen är 8.6 mil(?) 6.. Två viktiga trianglar 45º 0º 45º 60º Figur 6.: I figur 6. ser vi två viktiga trianglar, kallade en halv kvadrat och en halv liksidig triangel. Trianglarna är viktiga, åtminstone vad gäller skolmatematiken, därför att för 0, 60 och 45 kan vi uttrcka sin, cos och tan eakt. Om kvadratens diagonal är kan vi med hjälp av Pthagoras sats bestämma kvadratens sida till. Då kan vi uttrcka sin 45 = = Vi kan även skriva och cos 45 = = tan 45 = = Om den liksidiga triangeln har sidan och betraktar den halva liksidiga triangel, så är den kortare kateten. Med hjälp av Pthagoras får vi sedan den andra sidan h h + ( ) = som ger h =. Detta ger nu

5 6. Triangelsatserna 5 sin 0 = = cos 0 = = tan 0 = sin 60 = cos 60 = tan 60 = = = = = Övning 6.5 Omkretsen av en halv liksidig triangel är 6 cm. Bestäm den kortaste kateten, eakt! Lösning: Med hjälp av Pthagoras sats kan vi bestämma, + = () som ger =. Vi vet att omkretsen är 6 och får ekvationen + + = 6 med lösningen Svar: Den kortaste kateten är 6 + = Triangelsatserna Vi lämnar nu de rätvinkliga trianglarna för att ta oss an godtckliga trianglar. En triangel har ju tre sidor och tre vinklar. Om tre av dessa storheter är givna kan man i allmänhet bestämma övriga storheter. Givet Tre sidor Tre vinklar Två sidor, mellanliggande vinkel Två sidor, ej mellanliggande vinkel En sida, två vinklar Metod osinussatsen Ej möjligt osinussatsen Sinussatsen Vinkelsumman och Sinusatsen

6 6 Trigonometri b a c B 6.. reasatsen rean T, hos en triangel är T = b c sin rean är halva produkten av två sidor multiplicerat med sin för mellanliggande vinkel 6.. Sinussatsen eller sin a a sin = = sin B b b sin B = = sin c c sin Det finns en komplikation med sinussatsen då två sidor, ej mellanliggande vinkel är given. Den kan ibland ge två lösningar! Först konstaterar vi att till eempel att sin sin sin = sin(80 ) Vad betder det när vi översätter det till en triangel? a b a a a I figuren är och sidan b bestämda. Vi ser tre olika längder på sidan a, a, a, a. Vi vet att sidan c ligger utefter den streckade linjen. För varje a slår vi en cirkel med medelpunkt i. Röd markering visar att då sidan (radien) är a är den alldeles för kort. I detta fall finns det ingen triangel över huvud taget. Blå markering visar att då sidan (radien) är a finns det två lösningar. Sidan c kan anta två olika värden. Grön markering visar att då sidan (radien) är a finns det precis en lösning.

7 6. Triangelsatserna 7 Givet = 55, a = 5 och b = 0. Bestäm B ( ) sin B sin 55 0 sin 55 = B = arcsin När vi slår detta på dosan visar den (T)ERROR. Givet = 55, a = 9 och b = 0. Bestäm B ( ) sin B sin 55 0 sin 55 = B = arcsin ger B = Finns det en lösning till? I så fall är den vinkeln = 4.5, vilket betder att den tredje vinkeln är 80 ( ) = 0.5. Svaret är ja. Givet = 55, a = och b = 0. Bestäm B ( ) sin B sin 55 0 sin 55 = B = arcsin 0 ger B = 4.0. Finns det en lösning till? I så fall är den vinkeln = 7, vilket betder att den tredje vinkeln är 80 ( ) =. Svaret är nej. Då två vinklar och en sida är given finns inte denna komplikation. Två vinklar giva innebär ju förresten tre vinklar givna. 6.. osinussatsen c = a + b a b cos Det finns två situationer då man tillgriper denna sats då tre sidor är givna eller då två sidor och mellanliggande vinkel är givna. Övning 6.6 De tre sidorna i en triangel är 5 cm, 6 cm och 7 cm. Bestäm trianglarnas största vinkel Lösning: Den största vinkeln står mot den längsta sidan. Genom cosinussatsen får vi Svar: Största vinkeln är = cos 49 = cos cos = 60 = arccos Övning 6.7 Två sidor i en triangel är 0 cm och cm. Mellanliggande vinkel är 50. Bestäm triangelns tredje sida. Lösning: Med hjälp av cosinussatsen får vi Svar: Den tredje sidan är 9.47 cm c = cos 50 c = cos 50 c 9.47

8 8 Trigonometri 6. Tillämpningar Resten av veckan kommer vi nu att praktisera reasatsen, Sinussatsen och osinussatsen. Vi startar med en gång! Övning 6.8 I en triangel är två sidor 5 cm respektive 8 cm. Vinkeln mellan de båda sidorna är 5. Beräkna triangelns area. Lösning: 5º 5 8 h Figur 6.4: Vi drar höjden h mot basen och kan teckna följande sin 5 = h 5 h = 5 sin 5.9 och kan nu bestämma arean = b h = Om vi inte först bestämmer ett närmevärde för höjden kan vi skriva = b h = 8 5 sin Detta ger förstås ett mer korrekt resultat. Dessutom får vi kanske en idè. Vi kan bestämma arean genom = s s sin v där s och s är två sidor i triangeln och v är mellanliggande vinkel. Mer om detta senare. Svar: Triangelns area är 5.8.

9 6. Tillämpningar 9 5 cm Figur 6.5: Övning 6.9 Beräkna arean av en regelbunden femhörning med sidan 5 cm. E G B D F Figur 6.6: Lösning: Vi startar med att dra diagonalerna D och. Nu består pentagonen av tre trianglar DE, B och D. Som bekant är vinkelsumman i en triangel 80. Tre trianglar gör att vinkelsumman i en pentagon är 80 = 540. Eftersom pentagonen är regelbunden är alla dess vinklar lika stora 540 /5 = 08. lla tidigare nämnda trianglar är likbenta. Det betder att basvinklarna är lika stora. I DE och B är basvinklarna = 6. Dessutom vet vi att dessa två trianglar är kongruenta. Toppvinkeln hos D är då 08 6 = 6 vilket betder att basvinklarna hos denna triangel är 80 6 = 7. Med denna kunskap och lite trigonometri kan vi nu börja bestämma baser och höjder i trianglarna. När vi har dem bestämmer vi så till sist den eftersökta arean. Vi startar med DE och drar höjden G. Vi får då en rätvinklig GE med hpotenusan 5 cm och den minsta vinkeln 6. Höjden blir då sin 6 = h 5 h = 5 sin 6.94 Halva basen hos DE får vi genom cos 6 = b 5 b = 5 cos rean hos de två trianglarna DE och B är då T = b h = Återstår så att bestämma arean hos D. Basen är given till 5. Höjden får vi genom tan 76 = h.5 h =.5 tan 7 h = 7.69

10 0 Trigonometri rean hos DE är T = b h = Pentagonens area blir då = 4. Svar: rean är 4 cm Övning 6.0 I en triangel är två sidor cm respektive 5 cm. Mellanliggande vinkel är 00. Beräkna den tredje triangelns sida. Lösning: 00º ntag att den tredje sidan är. Med hjälp av cosinus-satsen får vi Svar: Den tredje sidan är 5.9 cm 5 a = b + c bc cos v = cos Övning 6. Bestäm den minsta vinkeln i en triangel med sidorna 5 cm, 7 cm och 9 cm. Svara med tre gällande siffror Lösning: Den minsta vinkeln v står mot den kortaste sidan, vilket leder till ekvationen som bgger på cosinussatsen 5 = cos v 5 = 0 6 cos v v = arccos ( ) v.6 Svar: Den minsta vinkeln är.6 Övning 6. Sidorna i en triangel är 5 cm, 7 cm och 8 cm. Bestäm triangelns största vinkel. Svara i grader med en decimal. Lösning: Den största vinkeln v står mot den längsta sidan. osinussatsen ger oss Svar: Det största vinkeln är = cos v 64 = cos v v = arccos ( ) v 8.79

11 6. Tillämpningar Övning 6. En triangel har sidorna cm, cm och 4 cm. Bestäm triangelns vinklar. Lösning: ntag att den minsta vinkeln är v och den största är v. Den tredje får vi så genom v = 80 v v. Vi använder cosinussatsen två gånger. = cos v 4 = 5 4 cos v v = arccos ( ) v = + cos v 6 = cos v v = arccos ( ) 6 v Den tredje vinkeln är = Svar: vinklarna är 04, 47 och 9 Övning 6.4 I triangeln B gäller att sidan B är 5.0 cm, sidan B är.0 cm och vinkeln är 5. Bestäm triangelns övriga vinklar. Lösning: B 5.0 5º.0 Här är det sinussatsen som kommer till användning. Vi beräknar först ( ) sin sin 5.0 sin 5 = = arcsin En möjlighet är också att = = 50.56, men vi ser direkt att detta är omöjligt, eftersom > 80. Den tredje vinkeln får vi så geneom 80 ( = 5.56 Svar: De två övriga vinklarna är 9.4 och 5.6