Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:

Transkript

1 Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten (2, ) och är parallell med linjen x 5y = 0 4 Lös följande ekvationssystem x 2y = 2 x + y = 6 5 Bestäm ekvationen för linjerna A, B och C i figuren 8 6 B A C Figur 1: 6 Bestäm ekvationen för den linje som går genom origo och som är parallell med linjen som går genom punkterna P 1 (8,4) och P 2 (1, ) 7 Hur många skärningspunkter får man när man ritar de tre linjerna x y + 9 = 0 x + 2y 6 = 0 x + 2y + 2 = 0 8 En fyrhörning har sina hörn i punkterna (0,0),(,0),(6,10) och (0,4). Bestäm koordinaterna för diagonalernas skärningspunkt. Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

2 9 Bestäm P 1 (x,1) och p 2 (10,y) då man vet att punkterna ligger på linjen y = 4x + 10 Bestäm P (5,y) då man vet att punkten ligger på samma linje som P 1 (8,19) och P 2 (,9) 11 Bestäm ekvationen till den linje som går genom origo och som skär linjen y = 2 x 2 under rät vinkel. 12 Vi har linjen y = x. Bestäm k-värdet för den linje som går genom punkten P 1 (10,0) och som tillsammans med x-axeln och y = x bildar en triangel med arean Hur långt är det mellan punkterna P 1 (,4) och P 2 (6,8)? 14 Bestäm a i punkten P 1 (a,1) så att linjen som också går genom P 2 (4,10) får m-värdet m = 2 15 Bestäm de två punkter där linjen med ekvationen skär de två axlarna. x + y 2 = 1 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Haninge

3 Lösningar till Kontroll 8 1 Först bestämmer vi k-värdet Vi har nu k = 4 ( 2) 9 = 6 12 = 1 2 y = 1 2 x + m Återstår att bestämma m. Vi väljer en av punkterna, P 1 och sätter in i ekvationen Svar: 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen 4 = 1 2 ( ) + m 4 = 2 + m = m 2 m = 5 2 y = 1 2 x x + 4y 6 = 0 4y = 6 x 4y = 6 x 4 4 y = 6 4 x 4 y = x Svar: k-värdet är 4. y = 4 x + 2 Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

4 Först skriver vi ekvationen x 5y = 0 på k-form x 5y = 0 x = 5y y = x 5 För denna linje är k = 1 5. Samma k-värde har den linje vi är på jakt efter och vi kan skriva y = 1 5 x + m Vi söker nu m-värdet och får det genom att använda den givna punkten (2, ) som ligger på denna linje = m 5 ( ) 2 = m 5 5 m = 17 5 Svar: y = 1 5 x Vi löser ut y ur den andra ekvationen och får y = 6 x Detta uttryck för y sätter vi nu in i den första ekvationen och får x 2(6 x) = 2 x x = 2 7x = 14 x = 2 Detta värde på x kan vi nu sätta in i vilken som helst av de två ursprungliga ekvationerna. Vi väljer den första Svar: x = 2 och y = 0 2 2y = 2 0 = 2y y = 0 5 Läs av skärningen med y-axeln för att bestämma m Rita en rätvinklig triangel under linjen för att bestämma x och y. Svar: A) y = 2x + B) y = x + 1 C) y = x 2 Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

5 6 Först bestämmer vi k-värdet för den linje vår linje ska vara parallell med: Då kan vi så här långt skriva k = 4 ( ) 8 1 y = x + m = 7 7 = 1 Linjen ska ju gå genom origo (0,0) så därför får vi m = 0. Svar: y = x 7 Om vi först bestämmer skärningen mellan de två första linjerna genom att lösa ut x ur båda får vi och x y + 9 = 0 x = y 9 x + 2y 6 = 0 x = 6 2y Nu kan vi bestämma x för skärningspunkten mellan dessa linjer Detta ger oss x för skärningspunkten 6 2y = y = y + 2y y = 15 y = 5 x = 0 x = 4 De två första linjerna skär varandra i punkten ( 4,5) Vi bestämmer nu på samma sätt skärningspunkten mellan den första och tredje linjen. Lös ut x ur tredje ekvationen x + 2y + 2 = 0 x = 2y 2 Nu bestämmer vi y för skärningen mellan första och tredje ekvationen y 9 = 2y 2 (y 9) = 2y 2 y 27 = 2y 2 y + 2y = y = 25 y = 5 Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

6 Till sist bestämmer vi tillhörande x-koordinat x = 5 9 x = 4 Av detta kan vi sluta oss att alla tre linjerna skär varandra i en och samma punkt ( 4,5) 8 Plotta punkterna så att Du ser att punkterna (0,0) och (6,10) ligger på den ena diagonalen och att (,0) och (0,4) ligger på den andra. Vi har då först att bestämma den första diagonalens ekvation. Dess k-värde är k 1 = = 5 m-värdet får vi direkt genom punkten (0,0) till m 1 = 0. Den första diagonalens ekvation är alltså Så över till den andra diagonalen. Dess k-värde y = 5 x k 2 = = 4 På samma sätt får vi m-värdet gratis genom punkten (0,4) till m 2 = 4 och den andra diagonalen har ekvationen y = 4 x + 4 Genom att sätta 4 x + 4 = 5 x Återstår så att bestämma y för skärningspunkten Svar: Linjerna skär varandra i punkten ( 4, 20 9 ) 4 = x + 4x 9x = 4 x = 4 y = 5 4 = 20 9 Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

7 9 Vi sätter in de halva punkter vi har i ekvationen och får först Detta ger P 1 (7,1). För nästa punkt får vi Alltså P 2 (10,4) 1 = 4x + 28 = 4x x = 7 y = y = 4 10 Föst bestämmer vi ekvationen för den linje som går genom P 1 och P 2. k-värdet P 1 insatt i y = 2x + m ger k = = 2 19 = m Ekvationen är y = 2x +. Då x = 5 som i P får vi Svar: P (5,1) m = y = = 1 11 Vi vet att två linjer skär varandra under rät vinkel om för de två k-värdena gäller att k 1 k 2 = 1 Eftersom den givna linjen har k-värdet k = 1 2 får vi k-värdet för den andra genom 1 2 k 2 = 1 k 2 = 2 Vi har nu y = 2x + m och får genom punkten (0,0) får vi direkt att m = 0 Svar: y = 2x 12 Vi antar att skärningspunkten mellan de två linjerna är (a,b). Eftersom y = x så kan vi skriva att skärningspunkten ska vara (a, a). Triangelns bas är uppenbarligen 10 och dess höjd kan vi bestämma genom som ger A = bh 2 10 = 10h 2 Triangelns höjd ska alltså vara h = 2. Detta betyder att skärningspunkten är (2,2). Vi kan nu bestämma det efterfrågade k-värdet k = = 2 8 = 1 4 Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge

8 1 Eftersom x = 6 = och y = 8 4 = 4 har vi en rätvinklig triangel med kateterna och 4. Med hjälp av Pythagoras sats kan vi bestämma hypotenusan, som är detsamma som det avstånd vi vill beräkna. a = = 25 = 5 14 Vi har så här långt y = kx 2. Genom att sätta in punkten P 2 i denna ekvation får vi k-värdet Linjen har ekvationen 10 = k = 4k k = y = x 2 Vi kan nu bestämma a genom att sätta in den andra punkten Svar: a = 1 1 = a 2 a = 1 15 Bestäm de två punkter där linjen med ekvationen x + y 2 = 1 skär de två axlarna. Vi startar med att forma om ekvationen: x + y = 1 y 2 = 1 x 2 ( y = 2 1 x ) y = 2 2x y = 2x + 2 Linjens ekvation kan då skrivas y = 2x + 2 Då x = 0 får vi direkt y = 2. Skärningen med y-axeln är alltså (0,2). Skärningen med x-axeln får vi genom att lösa denna ekvation 0 = 2x + 2 2x = 2 2x = 2 x = Svar: (0,2) och (,0. Det är ingen tillfällighet att talen 2 och finns i nämnarna i den ursprungliga ekvationen. Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge