Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Transkript

1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten i punkten (3,9). Eller helt enkelt kurvans lutning i denna punkt. Till sist ska vi komma fram till uttrycket: Funktionen f(x) x 2 har derivatan f (3) b) Här får vi för första gången ett uttryck där vi inte kan förkorta bort h i nämnaren: (8 + h) 1/3 8 1/3 0 Då h 0 går bråket mot 0. Denna division är inte utan vidare definierad, så vi får ta till numeriska och grafiska metoder än så länge. Det finns anledning att tro att funktionen i fråga är f(x) 3 x och att vi är intresserade av lutningen i punkten (8,2). Figur 1: Visst kan vi uppskatta tangentens lutning genom figur 1, även om det känns osäkert. Tänk på att skalan inte är densamma på x- och y-axeln. Kanske är k 0.1? Bättre kommer det att gå om vi räknar ut (8 + h) 1/3 8 1/3 h för olika värden på h. Vi börjar till exempel med h 3 och låter h successivt närma sig 0, men förstås aldrig nå riktigt fram dit. En tabell visar Av denna tabell att döma tror vi oss förstå att gränsvärdet är , vilket också överensstämmer med det exakta värdet 1/12. Hur får man nu detta, jo genom att derivera funktionen f(x) och ur detta bestämma f (8) f(x) x 1 3 har derivatan f (x) x som ger f (8) 1 12 Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

2 Detta sagt till dem som mins. Vi återkommer till detta senare och konstaterar att vi inte matematiskt klarar av alla gränsvärden d) Nu åter till en uppgift vars teknik vi behärskar. f(x) x och vi ska beräkna f(3 + h) f(3) Problemet är bara aningen svårare (?) än Punkten på kurvan i vilken vi ska bestämma lutningen är (3,10). Vi skriver nu (3 + h) ( ) h 2 + 6h 6 + h 6 h a) Bestäm f (4) där f(x) 5x + 3. Vilken typ av funktion är f(x)? Jo förstås en rät linje. k-värdet till linjen är 5 det vet vi från annat håll. Lutningen är densamma var på kurvan vi befinner oss. Även om vi direkt såg detta ska vi utföra beräkningarna med den teknik vi använder i detta kapitel. f(4 + h) f(4) 5(4 + h) + 3 ( )) 5h 5 Nu har vi bestämt att f (4) 5. Men vad händer om vi istället beräknar f (x)? f(x + h) f(x) 5(x + h) + 3 (5 x + 3)) 5h 5 Det blir ingen skillnad oavsett vilket värde vi väljer på x så är f (x) Vi får reda på att f(2 + h) f(2) 3h h. Detta betyder inte att vi kan säga hur f(x) ser ut. Det är inte heller det som efterfrågas så vi släpper den frågan. Vi ska istället bestämma f(2 + h) f(2) 3h h h 0 (2 + h) 2 3h h a) f(x + h) f(x) (2 + h) 3 8) Detta uttryck är ju inte så snällt vi måste förenkla (2+h) 3 8 (2+h)(4+h 2 +4h) 8+2h 2 +8h+4h+h 3 +4h 2 8 h 3 +6h 2 +12h h(h 2 +6h+12) och återgår till vår gränsvärdesberäkning f(x + h) f(x) h(h 2 + 6h + 12) h 2 + 6h h 0 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Haninge

3 2219 Vi har en tabell given och ska ur den använda åtminstone två värden för att bestämma /. Det är f (12.2) som ska uppskattas. Det finns flera möjligheter, vilken är den riktiga? Figur 2: Traditionen föreslår att använda de punkter som ligger närmast, på var sin sida om den aktuella: y 4 y x 4 x Här gäller det bara att välja ut två lämpliga punkter (x 1,y 1 ) och (x 2,y 2 ) på tangenten och läsa av koordinaterna. Dessa värden använd sedan för att bestämma Figur 3: f (0) För just de punkter och för de avläsningar jag gjorde ( 0.5) Vi har funktionen f(x) x. Vi vill veta tangentens lutning i f(45). Vi vill bestämma f (45), men kan ännu inte bestämma derivatan. Återstår då att bestämma / för några lämpliga värden på (x 1,y 1 ) och (x 2,y 2 ). Vi bestämmer oss nu för att använda oss av punkterna 45 och som vi tycker ligger tillräckligt nära varandra. Vi får: f(45) f(45.001) Temperaturen sjunker med 0.42 C/min Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge

4 Figur 4: Uppgift Från figuren nedan kan vi teckna hastigheten efter 5 sekunder respektive efter 10 sekunder. y (5) y (10) betecknar skillnaden i hastigheter. Figur 5: Uppgift 2225 Med samma teknik som i uppgift 2219 väljer vi ut punkterna y(4) och y(6) respektive y(9) och y(11) y (4) y (10) y(6) y(4) 6 4 y(11) y(9) Hastigheten efter 5 sekunder har vi beräknat till 8.77 m/s och efter 10 sekunder är hastigheten 8.69 m/s. Hastigheten har alltså minskat med 0.08 m/s. En viss retardation! Detta är förstås svårt att se direkt i figuren. Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

5 2226 Först plottar vi de tre funktionerna Figur 6: Det är inte lätt att se vilken som är vilken. Omkring år 2020 skiljer några av modellerna sig åt med cirka en miljard. Så alla kan inte vara lika bra. y(50) ger världens folkmängd år 2000 och y (50) hastigheten med vilken folkmängden växer per år, given i miljoner människor/år. Vi beräknar nu dessa värden för samtliga funktioner. Derivatan bestämmer vi med hjälp av y (50) y(50.001) y(50) 0.01 Funktion Folkmängd Tillväxt A B C Om funktion A är korrekt kommer verkligen en befolkningsexplosion att äga rum. Är B korrekt kommer det inte att finnas några människor kvar på jorden ungefär år Figur 7: Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge