MA2001 Envariabelanalys

Transkript

1 MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018

2 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje där riktningskoefficienten = astigeten v t s kt = v(t0) s(t0) tangent s = s(t) Hastigeten ej konstant: v(t 0 ) = lutningen på kurvan s = s(t) vid tiden t 0 = riktningskoefficienten för tangenten till kurvan vid tiden t 0 t0 t Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 2 / 21

3 Derivatans definition Exempel 2 Urladdning av kondensator: q [C] E i(t) R C + q(t) q = q(t) tangent k T = i(t 0 ) t 0 t [s] Urladdningsströmmen i(t 0 ) i kretsen vid tiden t 0 = riktningskoefficienten för tangenten till kurvan q = q(t) i punkten t 0. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 3 / 21

4 Derivatans definition Vi får ett mått på ur snabbt en funktion f (x) ändras i en punkt P genom att bestämma riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y = f (x) i P. f(x + ) f(x) y P x sekant Definition 1 (Derivata) Om gränsvärdet y = f(x) tangent Q x + x Metod: Drag en sekant genom P oc Q. f (x + ) f (x) Approx: k tangent k sekant = Sekanten närmar sig tangenten då Q närmar sig P 0 f (x + ) f (x) lim 0 existerar så är f (x) deriverbar i x. Gränsvärdet kallas derivatan av f i x. Beteckningar: f (x), Df (x), df dx Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 4 / 21

5 Derivatans definition Exempel 3 Bestäm derivatan av f (x) = x 2 i en godtycklig punkt x. Lösning: f (x + ) f (x) = (x + )2 x 2 = x 2 + 2x + 2 x 2 = 2x + 2 = 2x + 2x då 0 f (x) = 2x Definition 2 (Tangent) Tangenten till y = f (x) i x = x 0 = Den räta linje genom (x 0, f (x 0 )) som ar riktningskoefficienten f (x 0 ). Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 5 / 21

6 Derivatans definition Exempel 4 Bestäm tangenten till kurvan y = f (x) = x 2 i punkten x = 3. Lösning: f (x) = 2x k tangent = f (3) = 2 3 = 6 30 y y x ^ 2 Tangentens ekvation: y = kx + m m = y kx = f (3) f (3) 3 = = 9 y = 6x y 6 x x Exempel 5 Bestäm a) De x b) D ln x c) D sin x Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 6 / 21

7 Deriverbaret oc kontinuitet Är varje deriverbar funktion kontinuerlig? y y = f(x) f (x) kontinuerlig i x 0 f (x) f (x 0 ) då x x 0 f (x) f (x 0 ) 0 då x x 0 x f(x0) Sätt = x x 0, x x 0 0 f (x) f (x 0 ) = f (x 0 + ) f (x 0 ) = f (x 0 + ) f (x 0 ) f (x 0 ) 0 = 0 då 0 x0 Sats 1 f (x) deriverbar i x 0 f (x) kontinuerlig i x 0 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 7 / 21

8 Deriverbaret oc kontinuitet Är varje kontinuerlig funktion deriverbar? Exempel 6 y f (x) = x = { x, x 0 x, x < 0 y = f(x) f är kontinuerlig i punkten x = 0. Är f deriverbar i x = 0? x f (0 + ) f (0) = { = 1 om om 0 Gränsvärdet existerar inte oc f (x) är inte deriverbar i x = 0. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 8 / 21

9 Deriverbaret oc kontinuitet Minnesregel: f kontinuerlig i kurvan y = f (x) "änger iop" f deriverbar i kurvan y = f (x) "änger iop oc är mjuk y y y = f(x) f(x 0) y = f(x) x 0 x x f kontinuerlig, ej deriverbar i x 0 f deriverbar oc kontinuerlig Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 9 / 21

10 Produktregeln Exempel 7 Bestäm D(e x sin x) f (x + ) f (x) Vi beöver en regel för D(f g)! = ex+ sin(x + ) e x sin x =... Jobbigt! f (x + )g(x + ) f (x)g(x) f (x + )g(x + ) + f (x)g(x + ) f (x)g(x + ) f (x)g(x) = f (x + ) f (x) g(x + ) g(x) = g(x + ) + f (x) f (x)g(x) + f (x)g (x) då 0 Produktregeln D(f g) = f g + f g Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 10 / 21

11 Produktregeln Anm: g(x) = k = konstant D(k f (x)) = 0 f (x) + k f (x) = kf (x) Exempel 7 (forts) D(e x f sin x) = e x sin x g f g + e x cos x = e x (sin x + cos x) f g Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 11 / 21

12 Kedjeregeln Exempel 8 Bestäm De x2 sammansatt funktion: f (g) = e g, g(x) = x 2 f (x + ) f (x) Vi beöver en regel för Df (g(x))! 2 = e(x+) e x 2 Sätt: g = g(x + ) g(x), 0 g 0 =... Jobbigt! = f (g(x + )) f (g(x)) f (g + g) f (g) f (g + g) f (g) = = g Om g 0 g f (g + g) f (g) } g {{ } f (g) g(x + ) g(x) }{{ } g (x) f (g(x)) g (x) då 0 Kedjeregeln Df (g(x)) = f (g(x)) g (x) Inre derivatan Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 12 / 21

13 Kedjeregeln Anm: Det finns elaka funktioner som t ex sin ( ) 1 x x 2 för vilka g = g(x + ) g(x) = 0 för godtyckligt små men beviset ovan kan modifieras så att kedjeregeln gäller även för dessa funktioner. Exempel 8 (forts) De x2 =? Lösning: f (g) g(x) = e g f (g) = e g = e x2 = x 2 g (x) = 2x } De x2 = f (g) g (x) = e x2 2x Exempel 9 Bestäm a) D cos x b) Dx α c) Da x d) D 1 x Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 13 / 21

14 Kvotregeln Exempel 10 Bestäm D tan x tan x = sin x f (x + ) f (x) = cos x ( f ) Vi beöver en regel för D! g sin(x + ) cos(x + ) sin x cos x =... Jobbigt! f g = f 1 g Produktregeln ( f ) D = f 1 ( 1 ) g g + f D = g f 1 Kedjeregeln g + f ( 1 g g ) 2 Kvotregeln ( f ) D = f g f g g g 2 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 14 / 21

15 Kvotregeln Exempel 10 (forts) Kvotregeln ger nu: D tan x = ( sin f x ) f g cos xcos x sin x( sin x) D = cos x cos 2 x g g 2 1 cos 2 x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = f g cos 2 x cos 2 x + sin2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x = 1 + tan 2 x Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 15 / 21

16 Sammanfattning av deriveringsreglerna D(f + g) = f + g D(f g) = f g + fg ( f ) D = f g fg g g 2 Df (g(x)) = f (g(x))g (x) Exempel 11 Bestäm f (x) om f (x) = x 3 2x x Lösning: Kvotregeln: f (x) = f g f g (3x 2 2)(x 2 + 2) (x 3 2x) 2x (x 2 + 2) 2 = 3x 4 + 6x 2 2x 2 4 (2x 4 4x 2 ) (x 2 + 2) 2 = x 4 + 8x 2 4 (x 2 + 2) 2. g 2 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 16 / 21

17 Sammanfattning av deriveringsreglerna Exempel 12 Bestäm (x) om (x) = x 2 e sin x. Lösning: Produktregeln oc kedjeregeln: (x) = f g f g 2xe sin x + x 2 D(e sin x ) f (g) = e g f (g) = e g = e sin x g(x) = sin x g (x) = cos x } De sin x = f (g) g (x) = e sin x cos x (x) = 2xe sin x + x 2 e sin x cos x = xe sin x (2 + x cos x). Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 17 / 21

18 Sammanfattning av deriveringsreglerna Exempel 13 2 Bestäm (x) om (x) = 2xe x x 2 1. Lösning: Kvotregeln: D(2xe x2 )(x 2 1) 2xe x2 2x (x) = (x 2 1) 2 Produktregeln: D(2xe x2 ) = 2e x2 + 2xD(e x2 ) Kedjeregeln: D(e x2 ) = e x2 f (g) f g f g ( 2x) g (x) 2 (x) = (2e x + 2xe x 2 ( 2x))(x 2 1) 2xe x2 2x (x 2 1) 2 2 = 2e x ( 2x 4 + x 2 1). (x 2 1) 2 g 2 f g f g Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 18 / 21

19 Implicit derivering Exempel 14 Bestäm ekvationen för tangenten i punkten (1, 1) till kurvan x 3 y 3 xy x = 2 Att först lösa ut y som funktion av x är jobbigt så det gör vi inte! Vi konstaterar att (1, 1) faktiskt ligger på kurvan: 1 3 ( 1) 3 1 ( 1) 1 = 2 Ok! Vi kan betrakta y som en funktion av x oc derivera båda sidor med avseende på x: 3x 2 3y 2 y kedjeregeln (1 y + x y ) 1 = 0 produktregeln 3x 2 y 1 = (3y 2 + x)y y = 3x 2 y 1. 3y 2 + x Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 19 / 21

20 Implicit derivering Exempel 14 (forts) Riktningskoefficienten för tangenten i punkten (x, y) = (1, 1) är y (1): y (x) = 3x 2 y 1 3y 2 + x y (1) = 3 12 ( 1) 1 3( 1) = 3 4 Tangenten går genom (1, 1): y = kx + m 1 = m m = 7 4 Tangentens ekvation är y = 3 4 x 7 4. Implicit derivering innebär alltså att derivera en funktion som är implicit definierad av en ekvation dvs funktionen inte är given explicit som t ex y(x) = 2x 2 3 sin x. Ekvationen definierar en kurva som i de flesta punkter ar en lutning som ges av y. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 20 / 21

21 Derivator i Matematica Derivator i Matematica (Ex 11b): Implicit derivering (Ex 12): Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 21 / 21