Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning."

Transkript

1 Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera enklare funktioner med hjälp av derivatans definition. Talet e. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Centrala innehållet Orientering kring ( ) begreppet gränsvärde. Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion. Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av funktioner. Introduktion av talet e och dess egenskaper. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.

2 En liten sammanfattning I detta moment har vi introducerat begreppet derivata. Vi började med att titta på en sekants (en rät linje som skär grafen i två punkter) lutning. Vi kom fram till att k-värdet på denna sekant kan beräknas med följande formel; k = Δy Δx = y ' y ) f a + h f(a) = x ' x ) h där h är avståndet mellan x1 och x2. Då vi minskar avståndet mellan de två punkter där sekanten skär grafen blir det här talet h väldigt litet (det närmar sig 0 ). Avståndet blir så litet att vi kan tänka oss att de här två punkterna går ihop till en enda punkt och sekanten övergår då till at kallas för en tangent (en tangent är en rät linje som bara nuddar grafen i en enda punkt). Tangentens lutning får vi genom att beräkna sekantens lutning och undersöka vad som händer då avståndet mellan x1 och x2 närmar sig 0. En kurvas lutning i en punkt är densamma som tangentens lutning i punkten. Tangentens lutning är derivatan. Derivatans definition f 0 (a) = lim 4 6 f(a + h) f(a) h Vidare provade vi att räkna ut några olika funktioners derivator med hjälp av denna definition och insåg ganska snabbt att det var ganska jobbigt. Vilken tur vi har att det finns några smarta snubbar som kommit på att det finns deriveringsregler!

3 Polynomfunktioner. Om vi har funktionen g x = x 8 2x : + 2 så deriverar vi x 8 för sig, 2x : för sig och 2 för sig. Funktion Derivata x ; nx ;=) så g x = 5x : 8x A. Titta på formelbladet, sid 3. Som du ser finns inte funktionen k x ; med och inte heller funktionen k. Vissa av reglerna är bäst att lära sig utantill. Kommer du exempelvis ihåg att om f x = 5x så är f x = 5 och att derivatan av en konstant är noll; om f x = 7 så är f x = 0. Exponentialfunktioner. Eftersom polynomfunktioner var så smidiga att derivera då vi använde oss av deriveringsregler hoppades vi på att hitta lika smidiga deriveringsregler för exponentialfunktioner. Vi försökte hitta något mönster genom att derivera 2 K, 3 K och 4 K Funktion Derivata 2 K 2 K 0,69 3 K 3 K 1,10 4 K 4 K 1,39 Hur kan vi bestämma den här sista faktorn? Vi ser inga självklara samband För att komma runt det här problemet kan vi ju ta den bas som ger faktorn 1. Det borde ju finnas ett sådant tal, och det talet borde ligga mellan 2 och 3, eftersom dessa baser ger faktorn 0,69 respektive 1,10. Vi börjar leta Funktion Derivata 2,5 K 2,5 K 0,9162 2,6 K 2,6 K 0,9555 2,7 K 2,7 K 0,9933 2,71 K 2,71 K 0,9969 2,72 K 2,72 K 1,0006 Nu är vi nära, talet borde ligga mellan 2,71 och 2,72, men för att hitta det exakta talet kan vi hålla på ganska länge. Det är tur att någon gjort det åt oss. Talet vi söker är talet e. Talet e är (precis som π) ett irrationellt tal, det har alltså hur många decimaler som helst, men vi kan skriva ett ungefärligt närmevärde till e. e 2, Det som är så bra med talet e är att om f x = e K så är f x = e K. På formelbladet står det: Funktion e K e WK Derivata e K ke WK

4 Med hjälp av detta blir det nu också lättare att förstå hur vi kommer fram till deriveringsregler för andra exponentialfunktioner (se lektion med överskrift Derivatan av exponentialfunktioner). Funktion a K Derivata a K ln a Vi har tittat på flera deriveringsregler, men det finns fortfarande funktioner som vi inte har deriveringsregler för. Om vi har en funktion som vi inte har några deriveringsregler för kan vi använda oss av ändringskvoten/differenskvoten f a h f(a + h) 2h Det innebär att vi tar en punkt som ligger lite till vänster om den punkt vi är intresserade av och en punkt som ligger lite till höger om denna punkt och räknar ut k- värdet för den räta linje som går genom dessa två punkter. På så sätt kan vi få ett ungefärligt värde på derivatan. Vi kan även titta på grafen till en funktion och dra en del slutsatser om derivatan i olika punkter. Exempelvis kan vi se om derivatan f x är större än, mindre än eller lika med 0. I de punkter där kurvan lutar uppåt är derivatan större än 0. Om vi har en vändpunkt ( till exempel max-/minpunkt) är derivatan 0 i denna punkt. I de punkter där kurvan lutar nedåt är derivatan mindre än 0. Slutligen kan vi även rita ut tangenter till grafen och sedan räkna ut dess k-värde, att rita ut en tangent är inte alltid så enkelt och därmed inte heller så tillförlitlig metod. Ibland kan vi ha tur och då kan det vara så att någon har ritat tangenten åt oss och den här någon är ofta ganska bra på att rita tangenter För att komma hit har vi använt oss av några hjälpbegrepp ; gränsvärde och naturliga logaritmer. Gränsvärde använder vi oss av i derivatans definition då vi undersöker vad som händer då h 0 (h går mot noll). Vi kan även använda gränsvärde i andra sammanhang, exempelvis då vi studerar olika funktioner och funderar över vad som händer då x blir stort eller som vi säger x (x går mot oändligheten). I samband med att vi studerar

5 funktioner kan det även vara intressant och veta vad som händer med funktionens värde då x närmar sig ett värde som funktionen inte är definierad för. Naturliga logaritmer använde vi för att kunna komma till att derivera exponentialfunktioner av typen y = a K genom att vi vet att y = a K = e YZ [\ = e YZ [ K och exponentialfunktioner med basen e var ju trevliga att derivera. Om vi deriverar y får vi y 0 = ln a e YZ [ K = ln a a K. Naturliga logaritmer är även bra att använda då vi löser exponentialekvationer. Vi använder då den naturliga logaritmen på samma sätt som 10- logaritmen. Kom ihåg att ln e = 1, ln e ' = 2 osv.

6 Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? När vi använder oss av derivatans definition så använder vi oss av följande formel f a = lim h 0 f a + h f(a) h där den första delen i formeln utläses limes h går mot noll. Vi räknar ut ett gränsvärde då talet h närmar sig noll. I bland vi även vara intresserade av att veta vad som händer då en variabel närmar sig något annat tal, eller att veta vad som händer då x går mot oändligheten ( ). Om vi betraktar funktionen y = 5 0, 5 x så kan vi vara intresserade av att veta vad som händer då x blir så stort att det närmar sig oändligheten. Vi skriver lim 5 0, x h 5x. Rita upp grafen på miniräknaren och vi kan se att grafen närmar sig x-axeln, men den går aldrig under x-axeln. Det ser ut som att funktionsvärdet närmar sig 0, dvs lim 5 0, x h 5x = 0. Då vi ska bestämma ett gränsvärde kan det ibland vara bra att först förenkla det uttryck som vi undersöker. *Då vi undersöker ett rationellt uttryck där x kan vi få problem och knepet är då att dividera både täljare och nämnare med nämnarens dominerande term. Ex Bestäm a) lim h ' 4 ' h b) lim K h 5x + 4 x ' Lösning: 4 + h ' 4 ' a) lim 4 6 h h(8 + h) = lim 4 6 h h + h ' 16 8h + h ' = lim = lim 4 6 h 4 6 h lim 8 + h = b) Vi har ett fall där vi får vi dividerar därför täljare och nämnare med nämnarens dominerande term. lim K h 5x 5x + 4 x ' = lim x ' + 4 x ' K h x ' x ' = = lim K h 5 x + 4 x ' 1 Eftersom då x och 0 då x K Kn 5 = lim K h x + 4 x ' = 0

7 Ex 1 Bestäm gränsvärdet a) lim 4 6 h + 4 b) lim 4 ' h + 4 c) lim h d) lim 4 6 h + 4 d) lim 4 6 h ' + 3h h x ' 9 e) lim K A x 3 4x + 1 f) lim K x Se sid 83-84

8 Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? En rät linje genom två punkter på en kurva kallas sekant. För att bestämma lutningen i en punkt a kan vi välja två punkter som ligger nära a och dra en rät linje mellan dessa två punkter, en sekant. Om vi beräknar k värdet på denna sekant får vi en bra approximation till derivatan i punkten a. Vi har då använt oss av en ändringskvot/differenskvot. En ändringskvot/differenskvot använder vi för att beräkna ett närmevärde till en funktions derivata i de fall vi inte har några deriveringsregler. Derivatans definition f a = lim h 0 f a + h f(a) h kommer från att vi beräknar k värdet på en sekant som går genom en punkt där x = a och en punkt där x = a + h. Om vi sedan låter avståndet mellan dessa punkter bli väldigt litet, vi låter h 0 (h gå mot noll) får vi derivatan, alltså lutningen i punkten a. Denna lutning är även tangentens lutning. En tangent är en rät linje som tangerar en kurva i en punkt där kurvans lutning är lika med tangentens lutning. Ex I bilden nedan är funktionen y = 0,2x 1,3 K ritad (den svarta). Den bål linjen är tangenten till kurvan då x = 5. Bestäm ett närmevärde till derivatan med hjälp av a) en differenskvot (lutningen på en sekant) b) att bestämma tangentens lutning.

9 Lösning a) Vi väljer en punkt som ligger lite till vänster om den punkt där x = 5 och en punkt som ligger lite till höger om punkten. Jag väljer här att ta punkterna där x ' = 5,001 och x ) = 4,999, det vill säga h = 0,001. k = Δy Δx = y ' y ) f 5 + h f 5 h f 5,001 f 4,999 = = x ' x ) 2h 0,002 = 0,2 5,001 1,38,66) 0,2 4,999 1,3 :,rrr 1,72 0,002 Detta innebär att f (5) 1,72. b) Jag väljer två pnkter som jag försöker läsa av så bra som möjligt. (4,2) och (6; 5,4). k = Δy Δx = y ' y ) x ' x ) = 5, = 3,4 2 = 1,7 Detta innebär att f (5) 1,7. Ex 2 Använd en differenskvot för att bestämma ett ungefärligt värde på derivatan till funktionen f x = 4 K 0,3x då x = 2. Ex 3 För funktionen y(x) finns värdetabellen x 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 y 83,4 84,6 85,8 86,1 86,6 Bestäm med hjälp av tabellen ett närmevärde till f (9,4). Ex 4 Nedan är grafen y = x ' + 1 ritad. Skissa en tangent i punkten där x = 1. Bestäm sedan tangentens lutning och berätta vad du beräknat.

10 Derivera enklare funktioner med hjälp av derivatans definition. Derivatans definition f 0 a = lim h 0 f a + h f(a) h kommer från att vi räknar ut ett k värde på en sekant som går igenom (a, f(a)) och (a + h, f(a + h)). När vi sedna låter punkten (a + h, f(a + h)) närma sig punkten (a, f(a)), det vill säga h 0 så kommer sekantens lutning närma sig tangentens lutning. Tangentens lutning är derivatan i punkten. Alla de deriveringsregler som vi använt kommer från att vi använt oss av derivatans definition, därför är det bra att ha koll på hur vi använder derivatans defintion. Ex f(x) = x ', bestäm f (3) a) med hjälp av derivatans definition. b) med hjälp av en deriveringsregel. Lösning a) Derivatans definition ger oss att så f 0 a = lim 4 6 f a + h f(a) h f 0 f 3 + h f h ' 3 ' 9 + 6h + h ' 9 3 = lim = lim = lim 4 6 h 4 6 h 4 6 h 6h + h ' h(6 + h) = lim == lim = lim 6 + h = h 4 6 h 4 6 b) Vet att om funktionen är x ; så är derivatan nx ;=), så f(x) = x ' f 0 x = 2x f 0 3 = 2 3 = 6 Ex 5 f x = x ' + 3, bestäm f 5 med hjälp av derivatans definition. Ex 6 f x = 3x + 1, bestäm f 2 med hjälp av derivatans definition. Ex 7* Visa att om f x = 2x A så är f 0 x = 6x ' med hjälp av derivatans definition.

11 Talet e. Vi införde talet e i samband med att vi skulle derivera exponentialfunktioner. Eftersom polynomfunktioner var så smidiga att derivera då vi använde oss av deriveringsregler hoppades vi på att hitta lika smidiga deriveringsregler för exponentialfunktioner. Vi försökte hitta något mönster genom att derivera 2 x, 3 x och 4 x Funktion 2 x 3 x 4 x Derivata 2 x 0, 69 3 x 1, 10 4 x 1, 39 Hur kan vi bestämma den här sista faktorn? Vi ser inga självklara samband För att komma runt det här problemet kan vi ju ta den bas som ger faktorn 1. Det borde ju finnas ett sådant tal, och det talet borde ligga mellan 2 och 3, eftersom dessa baser ger faktorn 0,69 respektive 1,10. Vi började leta och insåg att talet vi söker är e 2, Alltså om f x = e x så är f x = e x 1, men den där ettan skriver vi ju inte ut, så f x = e x. Det som är viktigt att komma ihåg är att e är ett tal som ska behandlas som vilket tal som helst i andra sammanhang. Exempelvis är e + e = 2e 5, 4 och om vi ska derivera f(x) = ex, ja då får vi f (x) = e. Det som också är bra att ha koll på när det gäller talet e är att om vi ska lösa en exponentialexvation av typen e 2x = 3 så använder vi oss av den naturliga logaritmen ln. Ex Vi har funktionen f(x) = e ', bestäm f 0 x. Lösning f(x) = e ' 7,4 f 0 x = 0 Ex Lös ekvationen 5e AK = 30. Lösning 5e AK = 30 e AK = 6 ln e AK = ln 6 3x ln e = ln 6 3x = ln 6 x = ln 6 3

12 Ex 8 Derivera a) y = 2 ƒ b) y = e 'K c) y = e K + 2ex Ex 9 Lös följande ekvationer a) e K + 6 = 7 b) 3e K 1 = 17 c) 7e 'K + 10 = 94

13 Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Potensfunktioner har vi en deriveringsregel för. Denna regel säger att om funktionen är x n så är derivatan nx n=1. Exponentialfunktioner har vi också deriveringsregler för. Vi vet att om funktionen är e x så är derivatan e x och att om funktionen är e kx så är derivatan ke kx, dessa regler gäller bara för de exponentialfunktioner som har talet e som bas. Om vi har en exponentialfunktion som inte har basen e utan ett annat tal gäller att om funktionen är a x så är derivatan a x ln a. Ex Derivera funktionerna a) y = 3x + 3 K b) y = 2e AK + 90 c) y = x' 3 Lösning a) y = 3x + 3 K y = K ln 3 b) y = 2e AK + 90 y = 2 3e AK = 6e AK c) y = x' 3 = 1 3 x' y 0 = x = 2x 3 Ex 10 Derivera Ex 11 Bestäm lutningen i den punkt då x = 1. a) y = 3x : 4 a) y = 7x ' 4x + 3 b) f(x) = 5 b) y = x c) y = e K c) y = e K 2x d) y = 5x ' 4x d) f x = ex + 3 e) f(x) = 3x ' e)* f x = x f) y = xa 4 f) y = 4 x ' g) y = 2e AK g) f x = 5 K + 12x h) f x = 3 K + 5x 1 h)* y = 3 4 8K

14 Ex 12 Du har funktionen f x = 2x A + 2x + 5. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten ( 1,1). Ex 13* Du har funktionen f x = 2 K. Bestäm ekvationen för tangenten i den punkt då x = 3. Ex 14 För vilket x-värde har f och g samma lutning om f x = 7x ' + 3x och g x = 3x ' + 19x 15?

15 Använda dig av derivata i problemlösning (från Ma3b Matematik 5000) Ex 15 Antalet rovdjur i en nationalpark beskrivs av funktionen y = f(t) där t är antalet år efter det att nationalparken inrättades. Vad betyder det i detta sammanhang att a) f(5) = 120 b) f 0 5 = 10 c) f 0 t = 0 då t 10? Ex 16 För abborarna i en insjö är funktionen f x = 0,017x A en modell för sambandet mellan vikten y gram och längden x cm. a) Beräkna f(40) och tolka svaret. b) Lös ekvationen f(x) = 400 och tolka svaret. c) Beräkna f (40) och tolka svaret. Ex 17 Temperaturen y C i en kopp kaffe avtar enligt funktionen y = 70 e =6,6A:K + 20 där x är tiden i minuter. a) Beräkna temperaturen efter 10 minuter. b) Efter hur lång tid är temperaturen 35 C? c) Hur snabbt sjunker temperaturen i genomsnitt under de 10 första minuterna? d) Hur snabbt sjunker temperaturen då det gått 10 minuter? Ex 18 Från NP ht 2012

16 Fler övningar som du kan/bör träna på Diagnos och Blandade övningar rekommenderade uppgifter Steg 1 Steg 2 Steg3 Diagnos, sid 123 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13 Blandade övningar sid ,2 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 28, 29, 30, 31, 32 11, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 Titta även på De anteckningar ni fått till varje lektion Sammanfattning på sid Kan du det här? 2 sid 122 Sant eller falskt sid 119

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare. Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

1 Förändingshastigheter och derivator

1 Förändingshastigheter och derivator Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Träningsprov funktioner

Träningsprov funktioner Träningsprov funktioner 1. Använd koordinatsystemet nedan a) Vilka koordinater är markerade? b) Markera följande koordinater E: 0,6, F: 3, 2, G: 1, 2 och H: ( 3,2). 2. Skriv en berättelse som överensstämmer

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter

Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter Malmö högskola / Gemensamt verksamhetsstöd Studentcentrum 1(5) Mars 2016 Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter Ersättning för behörighetskursen Engelska B En del utbildningar anger Engelska B

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Skriv ditt namn, födelsedatum och gymnasieprogram på alla papper du lämnar in.

Skriv ditt namn, födelsedatum och gymnasieprogram på alla papper du lämnar in. NpMa3c ht 2012 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Kravgränser Endast svar krävs Skriv ditt namn, födelsedatum och gymnasieprogram på alla papper du lämnar in. NpMa3c ht 2012 Del B:Endast svar krävs 1. x x

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Uppgifter ur Nationella prov Kurs A Ur del II utan räknare: När en frysbox stängs av stiger temperaturen. Följande formel kan användas för

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012 Till eleven - Information inför det muntliga delprovet Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler

Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Individuella val Årskurs 3. Läsåret 2017/2018

Individuella val Årskurs 3. Läsåret 2017/2018 Individuella val Årskurs 3 Läsåret 2017/2018 1 Innehållsförteckning Anvisningar... 2 Bild och form 1b: 100 poäng... 4 Engelska 6: 100 poäng... 4 Engelska 7: 100 poäng... 4 Fotografisk bild 1: 100 poäng...

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

ASYMPTOT. Horisontal (lodrät) Vertikal (vågrät) Sned och Hål

ASYMPTOT. Horisontal (lodrät) Vertikal (vågrät) Sned och Hål ASYMPTOT Horisontal (lodrät) Vertikal (vågrät) Sned och Hål Definition av en asymptot En asymptot är en rak linje som agera som en gräns i grafen av en funktion När en funktion har en asymptot (alla funktioner

Läs mer

Avsnitt 4, introduktion.

Avsnitt 4, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 4:1 4:1 Avsnitt 4, introduktion. Potensregler. Följande grundläggande potensregler är startpunkten för detta avsnitt: Ex 1: 2 3 2-2 = 2 3-2 =2 1 = 2. Ex 2: 8 4 = (2 3

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 28 Lekt 3 Om f (x) = 2 x 2 och g(x) = x + 2, bestäm nedanstående funktion och dess definitionsmängd.

Läs mer

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Gränsvärden Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Innehåll Introduktion 3 2 Gränsvärden 4 2. Gränsvärden då går mot.................... 4 2.2 Gränsvärden då går mot a.....................

Läs mer

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

NpMa2b Muntlig del vt 2012

NpMa2b Muntlig del vt 2012 Till eleven - Information inför den muntliga provdelen Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor 5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Planering Funktioner och algebra år 9

Planering Funktioner och algebra år 9 Planering Funktioner och algebra år 9 Innehåll Övergripande planering... 2 Begrepp... 3 Metoder... 4 Bedömning... 4 Kommer du ihåg dessa begrepp från årskurs 8?... 5 Facit till Diagnos... 6 Arbetsblad...

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Exponentialfunktioner och logaritmer

Exponentialfunktioner och logaritmer Eponentialfunktioner och logaritmer Tidigare i kurserna har du gått igenom potenslagarna, hur man räknar med potenser och potensfunktioner av typen y. En potens- funktion är en funktion som innefattar

Läs mer

Lathund, samband & stora tal, åk 8

Lathund, samband & stora tal, åk 8 Lathund, samband & stora tal, åk 8 Den vågräta tallinjen kallas x-axeln och den lodräta tallinjen kallas y-axeln. Punkten där tallinjerna skär varandra kallas origo (0,0). När man beskriver en punkt i

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

1.1 Polynomfunktion s.7-15

1.1 Polynomfunktion s.7-15 1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1 HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy april 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare. Betygsgränser: p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd (p. från propedeutiska kursen kan tillgodoräknas)

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.08.06 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer