5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
|
|
- Marcus Larsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = t Skriv om funktionen med basen e istället för Derivera denna funktion t ln 1.04 b(t) = e b t ln 1.04 (t) = ln 1.04e Hur ska man tolka b (4)? Först beräknar vi dess värde b (4) = ln 1.04e 4 ln Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x) Figur 5.1: Av grafen att döma skulle man kunna tro att beloppets utveckling b(x) är linjär, men så är icke fallet. Möjligtvis kan man se det på b (x) som stiger lite, lite grann. Om b(x) hade varit linjär hade b (x) varit konstant eller hur?
2 2 Blandade problem Vi kan säga att alla funktioner som vi sysslar med kan tyckas vara linjära, bara man tittar på ett tillräckligt litet intervall. För att skingra alla tvivel tittar vi på b(t) i ett större intervall, hela 100 år (se fig 5.2) Figur 5.2: Grafen nedan visar ett så kallad kastparabel där utkastet skett från origo. Efter att det utkastade föremålet nått sin högsta punkt dalar det och slår ner någon stans kring 50 meter Figur 5.3: Parabelns funktion är Vi ska besvara följande frågor f(x) = 2x x 5 a) Var slår föremålet ned? b) Efter hur många meter når föremålet sin högsta punkt och hur hög är denna? c) Vilken utkastvinkel har föremålet? Den första frågan är lätt att besvara. Vi behöver bara lösa ekvationen f(x) = 0 2x x 5 = 0 x ( 4 5 2x 125) = 0 Vi har ett faktoriserat andragradsuttryck, där en rot är x 1 = 0. Den andra får vi genom att lösa ekvationen 4 5 2x 125 = = 2x 125 x = x 2 = 50
3 5.1 Dagens Teori 3 Föremålet slår alltså ned efter exakt 50 meter. För att ta reda på funktionens maxpunkt (för det är helt tydligt en maxpunkt vi ser), deriverar vi funktionen f (x) = 4x Vi studerar derivatans graf Figur 5.4: Vi ser att derivatan är > 0 (positiv) från x = 0 fram till ungefär x = 25 då den är exakt 0. Därefter blir derivatan < 0 (negativ), fram till att föremålet slår i marken. Om vi vill ta reda på exakt var f (x) = 0 löser vi motsvarande ekvation: 4x = 0 = 4x 125 x = x = 25 Då x = 25 vet vi att funktionen nått sitt maximum. För att ta reda på hur högt det är bestämmer vi f(25) f(25) = = 10 5 Vi vet nu att maxpunkten är (25, 10). När funktionen som ska undersökas är mer komplicerad brukar man skissa kurvan på följande sätt x x < 25 x = 25 x > 25 f (x) + 0 f(x) max Utkastvinkel har förstås med f (0) = 4 5 vi vill ha svaret i grader skriver vi att göra. Tangentens k-värde i punkten (0, 0). Om Ett samband vi inte nämnt tidigare. v = arctan
4 4 Blandade problem 5.2 Lösta problem Övning 5.1 Ett päron föll från sin gren ned mot marken. Hur många meter päronet fallit efter en given tid i sekunder, kan vi bestämma med funktionen s(t) = 9.82 t2 2 Päronet nådde marken efter 1 sekund. Vilken hastighet hade päronet när det nådde marken? Vi deriverar s(t) = 9.82t2 2 och får s (t) = 9.82t Denna funktion ger päronets hastighet efter t sekunder. s(1) = 9.82 meter/sekund ger oss svaret. Övning 5.2 Grafen till följande funktioner finns att beskåda här nedan. Vilken är vilken? A) f(x) = x 3 B) f(x) = x(x + 1)(x 1) C) f(x) = x(x + 1)(x 1) D) f(x) = x ) ) ) ) Vi klarar detta då vet vilka funktioner som återges som grafer. Annars skulle man aldrig med säkerhet kunna bestämma funktionens utseende. A) hör ihop med 2) B) hör ihop med 4) C) hör ihop med 1) D) hör ihop med 3) Övning 5.3 Här har vi plottat de tre funktionerna (figur 5.5) 1) f(x) = x 4 2) g(x) = x 2 3) h(x) = x 6
5 5.2 Lösta problem 5 Vilken är vilken? Figur 5.5: För att klara uppgiften måste man ha klart för sig vad som är störst f(0.1), g(0.1) eller h(0.1). 1) hör ihop med B 2) hör ihop med C 3) hör ihop med A Övning 5.4 Värdeminskningen hos en dator antar modellen f(t) = t där f(t) är datorns värde efter t år. Efter hur lång tid efter inköpet tappar datorn värdet 1000 kr/år Vi startar med att skriva om funktionen med basen e, så att vi enklare kan derivera. Nu deriverar vi Vi ska nu lösa ekvationen f (t) = 1000 t ln 0.7 f(t) = 8500 e f t ln 0.7 (x) = 8500 ln 0.7 e 8500 ln 0.7 e t ln 0.7 = 1000 e t ln 0.7 = ln 0.7 ln e t ln 0.7 = ln ln 0.7 t = t 3.1 ln ln 0.7 ln 0.7 Svar: Efter 3.1 år är värdeminskningshastigheten 1000 kr/år
6 6 Blandade problem Övning 5.5 Lös ekvationen 5e x 2 = 100 Svar: x = 6 5e x 2 = 100 ( e x 2 ) = 20 ln e x 2 = ln 20 x = ln 20 2 x = 2 ln 20 x = ln 20 2 x = ln 400 x 6 Övning 5.6 Antal åskådare som anlänt till matchen som börjar vid t = 0 följer modellen f(t) = 20000e 3t 50 a) Hur många åskådare kom till matchen? b) Hur många åskådare hade kommit 1 timme för matchstart? c) Vid vilken tid hade hälften av åskådarna anlänt? d) Hur många personer/timmen passerade vändkorsen precis vid matchstart? a) Vid t = 0 får vi b) Vid t = 1 får vi c) Vi löser ekvationen f(t) = f(0) = 20000e = f( 1) = 20000e 3 ( 1) e 3t 50 = 9975 e 3t = ln ( ( ) e 3t) = ln ( ) t = ln t = ln ( ) t 0.23
7 5.2 Lösta problem 7 Svar: 0.23 timmar före matchstart, det vill säga 13.8 minuter innan avspark. d) Här ska vi ta reda på f (0). Derivatan är f (t) = e 3t vilket ger f (0) = e 3 0 = Figur 5.6: Övning 5.7 Bestäm f (x) = 0 då f(x) = 1 x + 1 x 2 Vi skriver om funktionen så att det ska bli lättare att derivera Derivatan f (x) = 0 ger ekvationen f(x) = x 1 + x 2 f (x) = x 2 + ( 2)x 3 = 1 x 2 2 x 3 1 x 2 2 x 3 = 0 1 x 2 = 2 x 3 x2 1 x 2 = x2 2 x 3 1 = 2 x x = 2 Vi plottar f(x) och ser antagligen att det finns en minimipunkt i ( 2, 1 4 ).
8 8 Blandade problem Figur 5.7: Övning 5.8 En modell N(t) beskriver ett förlopp. Bestäm tillväxthastigheten vid tiden t = 3. N(t) = t 3 Vi bestämmer N (t) och därefter N (3) och vi har svaret. N (t) = 3t 2 och sedan N (3) = = 27 Svar: Tillväxthastigheten är 27 (sorten är vadå förnå t ) Övning 5.9 Derivera f(x) = x 5 och g(x) = 5 x ger f (x) = 5x 4 g(x) = 5 x = e x ln 5 g (x) = ln 5e x ln 5 Övning 5.10 a) Vad krävs av f (x) för att f(x) ska var växande? b) Kan f (x) > 0 fast f(x) < 0? c) Om både f (x 1 ) = 0 och f(x 1 ) = 0 för ett värde x = x 1, vad kan man då säga om ett av f(x) s nollställen? d) För ett polynom p(x) finns x = x 1, x = x 2 och x = x 3 sådana att p (x 1 ) = 0, p (x 2 ) = 0 och p (x 3 ) = 0. Vilket är det minsta gradtal p(x) kan ha? e) För ett visst värde x = x 1 är f (x) > 0 för ett annat x = x 2 där x 2 > x 1 är f (x) < 0. Vad kan man säga om f(x) i intervallet [x 1, x 2 ]? a) Att f (x) > 0 b) Javisst c) Att det handlar om en dubbelrot d) Polynomet har en en term med minst gradtalet 4
9 5.2 Lösta problem 9 e) f(x) måste ha ett maximum i intervallet Övning 5.11 En extrempunkt hos en funktion är ett antigen en: maxpunkt, minpunkt eller terrasspunkt. Ta med dosans hjälp reda på vilka extrempunkter denna funktion har f(x) = x4 4 5x x2 2 3x Det är inte lätt att avgöra grafiskt, men antagligen har den en minpunkt och terrasspunkt. När man använder dosan för att plotta en graf gäller det att förstora upp Figur 5.8: den del av av grafen där det händer saker. Den här grafen, figur 5.9, av samma funktion är inte till mycket nytta Figur 5.9: Övning 5.12 En funktion f(x) är hela tiden växande (eller avtagande) om den saknar x för vilka f (x) = 0. Hur är det med f(x) = 13x + x 3 i detta avseende? Planen går ut på att först derivera f(x) och sedan lösa ekvationen f (x) = 0. Om det visar sig att ekvationen saknar rötter är funktionen genomgående växande eller avtagande. Genom att bestämma f (x 1 ) för något x = x 1 får man reda på vilket. f (x) = x 2
10 10 Blandade problem f (x) = 0 ger ekvationen x 2 = 0 x 2 = 13 3 x = ± Ekvationen saknar reella rötter. Eftersom f (0) = 13 > 0 är funktionen f(x) ständigt växande. Plotta den på dosan! Ibland kommer vi att få besöka av två personer Karl-Tore Hansson (KTH), matematiklärare på KTH och Tobbe Bengtsson (TB), som studerar på Tekniskt Basår. Vi får då följa dem då de löser uppgifter tillsammans. Övning 5.13 Värdet y kr på en bil avtar enligt modellen y = e kx, där x är bilens ålder i år och k en konstant a) Då x = 5 är bilen värd kr. Bestäm konstanten k i modellen b) Beräkna den hastighet som bilens värde ändras med då x = 5. TB: V(t) = e kt, värdet V, som funktion av tiden t. V(5) = Med hjälp av det villkoret ska vi kunna bestämma k e 5k = e 5k = ln e 5k = ln k = ln Konstigt att minustecknet bara försvinner! k = ln / KTH: ln 1 = 0, då är det ju inte så konstigt att ln x < 0 då x < 1 TB: Nu ska jag alltså bestämma derivatan f (x) = e x och med hjälp av den f (5) Bilens värde avtar alltså med cirka kr/år just när den är 5 år gammal. Har vi inte räknat ett sådan tal förut? TB: Tidigare har vi uttryckt denna formel som ( V(t) = S 1 + r 100 Med den får man bättre koll på tillväxtfaktorn tycker jag. Kan man inte skriva om funktionen ovan på denna form? KTH: Eftersom Så får vi som du vill e x = ) t ( e ) x = V(t) = t Värdet avtar med cirka 15% per år. Ganska mycket eller hur?
11 5.2 Lösta problem 11 Övning 5.14 Per har studerat hur Sveriges folkmängd kommer att utvecklas under första hälften av 2000-talet. Han anser att följande andragradsfunktion kan användas för att beskriva hur folkmängden förändras: y = x x Där y är folkmängden i miljoner x år efter Beräkna och tolka a) y (20) b) y (40) TB: Nu över till Per och hans funderingar kring befolkningsexplosionen. Han har antagit f(x) = x x f(0) = 8.89 vilket betyder att det fanns 8.89 miljoner själar i Sverige vid millennium-skiftet. Skulle vara kul att se hur grafen av hans funktion ser ut: Figur 5.10: Om den här prognosen är sann kommer Sveriges befolkning att börja dala omkring år Hur gammal är du då? KTH: 94 år TB: Vad var det nu de ville ha reda på? Jo vilken förändring i folkmängden (människor/år), det kommer att vara år 2020 och år För att kunna svara på den frågan måste jag derivera f(x) och därefter beräkna f (20) och f (40) f (x) = x f (20) = och f (40) = År 2020 kommer Sveriges befolkning, enligt Per att öka med 9680 personer och 2040, precis som jag förutspådde, befolkningen att avta med 3840 personer. Övning 5.15 Lös ekvationen y = 0, om y = x x
12 12 Blandade problem TB: Givet funktionen f(x) = x x Man är ute efter f (x) = 0. Jag måste alltså först derivera f(x). Vidare f (x) = x 2 f (x) = x 2 = 0 x 2 = x = ± x 1 = 27 x 2 = 27 Övning 5.16 En sjukdom sprids inom ett samhälle, med 5000 mottagliga invånare. Erfarenhetsmässigt vet man att antalet N, som fått sjukdomen efter t dygn kan beräknas med formeln 5000 N(t) = e 0.1t Beräkna N (10) numeriskt och tolka värdet. TB: Den här funktionen som ska deriveras ser jobbig ut Hur ska jag kunna derivera den här? N(t) = e 0.1t KTH: Ja, jag förstår faktiskt inte hur du ska klara av att derivera den här funktionen. Derivatan är N e0.1t (t) = (49 + e 0.1t ) 2 Med hjälp uttrycket kan vi nu bestämma N (10) = TB: Nu flummar du iväg utan att tänka på att jag inte har en chans att hänga med. KTH: Jag har givit dig ett svar och nu ska du uppskatta derivatan med hjälp av en differenskvoter TB: Det var ett tag sedan sist jag använde mig av differenskvoten. Jag beräknar N(10) = och till exempel N(10.01) = och kan nu beräkna differenskvoten: y δx = = Även jag har kommit fram till att 25 personer insjuknar under ett dygn kring den 10:e dagen. Det är lite jobbigt att inte veta om man kan lösa en uppgift exakt eller måste ta till approximativa metoder.
13 5.2 Lösta problem 13 KTH: Det gäller alla, på alla nivåer. Men läser vi problemtexten en gång till ser vi att det står att problemet ska lösas numeriskt. Det är detta ord som öppnar dörren till att använda dosan. Övning 5.17 Under ett försök växer antalet bakterier y i 1 liter mjölk enligt sambandet y (x) = 10 2 x, där x är tiden i timmar. Lös ekvationen y (x) = 1000 och tolka resultatet. TB: Funktionen B(t) = 10 2 t, Antalet bakterier B som funktion av tiden t (i timmar). Jag ska nu beräkna B (t) = B (t) = ln t Ekvationen som ska lösas är B (t) = 1000 ln t = t = 100 ln 2 e ln 2t 100 ln = e ln 2 t ln 2 = ln 100 ln 2 t = 100 ln ln 2 ln Efter 7.17 timmar är tillväxten ungefär 1000 bakterier/timme
14 14 Blandade problem Logaritmer, lg x I) lg a b = lg a + lg b II) III) lg a b = lg a lg b lg a b = b lg a IV) lg 1 a = lg a Nödvändigt är att a, b > 0. Tre viktiga fakta 10 lg a = a lg 10 = 1 lg 1 = 0 Logaritmer, ln x I) ln a b = ln a + ln b II) III) ln a b = ln a ln b ln a b = b ln a IV) ln 1 a = ln a Nödvändigt är att a, b > 0. Tre viktiga fakta e ln a = a ln e = 1 ln 1 = 0 Omskrivning av a b a b = e ln ab = e b ln a Exponentialfunktioner Några exempel f(x) = 10 x g(x) = e x h(x) = e 2x 3e x + e x k(x) = 4 x + 2 x Deriveringsregel där k är en konstant. f(x) = e x g(x) = e kx f (x) = e x f (x) = ke kx där a > 0. h(x) = a x h(x) = e x ln a h (x) = ln a e x ln a ln a a x
Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)
Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merIngen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.
Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten
Läs merEgentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.
Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs mer1 Förändingshastigheter och derivator
Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan
Läs mer10 Derivator och tillämpningar 1
10 Derivator och tillämpningar 1 10.1 Dagens Teori Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Övning 10.1
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs merATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs mer2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x
Derivator.1 Dagens Teori Figur.1: I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7 3 finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10 3
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs mer4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?
Axel Weüdelskolan/Komvux Matematik/Sibe 1. Förenkla x 1 1 1 1 1 x 2. Förenkla 5 3. Beräkna värdet av a 2 b om a = -3 och b = 2 4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %? 5. Vilket
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merAllt du behöver veta om exponentialfunktioner
Allt du behöver veta om exponentialfunktioner Problem 1. Funktionerna a) a(x) = e x b) b(x) = e x c) c(x) = 4 x e x ln4 d) d(x) = 3 10 x 3 e x ln10 e) e(x) = ex 3 avbildas i figuren. Vilken är vilken?
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merDel I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera
Läs merEnvariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator
Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator Sanna Eskelinen eskelinen.sanna@gmail.com Sonja Hiltunen sonya@gmail.com Handledare: Karim Dao Uppgift 15 Problem: Beräkna numeriskt derivatan till arctan
Läs merMatematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merEkvationer & Funktioner Ekvationer
Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merMa3bc. Komvux, Lund. Prov kap
Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merDel I: Lösningsförslag till Numerisk analys,
Lösningsförslag till Numerisk analys, 2016-08-22. Del I: (1) Nedan följer ett antal påståenden. Använd nyckelbegreppen därunder och ange det begrepp som är mest lämpligt. Skriv rätt bokstav (a)-(l) i luckan
Läs merDel I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merEn uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.
Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs mer8 + h. lim 8 + h = 8
Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot
Läs merRepetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner
Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Del B Utan miniräknare Endast svar krävs! 1. Lös ekvationen (x + 3)(x 2) = 0 Svar: (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 4(x 3)(x + 3) så långt
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merDenna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
Läs merKontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7
Kontroll 13 Uppgift 1 Avståndet, r parsec, till en stjärna kan bestämmas med formeln M = m + 5 5 lgr där M =stjärnans absoluta ljusstyrka och m =stjärnans skenbara ljusstyrka. (1 parsec= 3.26 ljusår= 9.46
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs mer3137 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna a) (5, 3) och (3, 5)
vux Lektion Kapitel Uppgift Lösning med programmering 3 Input Räta linjens ekvation 4 For 1 Algebra, Rita grafen till en andragradsfunktion 3137 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs merger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Läs mer