Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr."

Transkript

1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = kr = 4800 kr OBS! Fel i facit Skatteöjning per månad: 5576 kr 576 kr = 00 kr Förändring i skatt per år y = 1 00 kr = 400 kr 104 s1 = 0 m s = s s1 = 10 m s = 40 m s1 = 0 m s = s s1 = 50 m s = 70 m 105 s1 = 15 m s = s s1 = 5 m s = 40 m s1 = 5 m s = s s1 = 0 m s = 15 m 106 Förändringen K = K(7) K(5) ( ) ( ) K = = + = Svar: Kostnaden ökar kr. 107 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 108, 109, 110 Eempel som löses i boken. 111 = =.00 y = = c) y = = Löneökning per månad: = kr kr = 60 kr Skatteöjning per månad: y = 5080 kr 4980 kr = 100 kr c) y 100 = 0,8 = 8% = 10 8 = y = 65 5 = 0 c) y 0 = = 15 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

2 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 114 y (4 1) C 4C/ = = (11 8) Den genomsnittliga temperaturöjningstakten mellan kl 8 oc kl 11 var 4 C/. 115 Eftersom det stå per år skall man dela med tiden i år räknat y ( ) personer = = 7940 personer/år ( ) år y ( ) personer = = 8100 personer/år ( ) år OBS! Fel i facit 116 y ( ) personer = = 87 personer/vecka 80 personer/vecka (4 ) veckor y (998 1) personer = 500 personer/vecka (8 0) veckor 117 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 118 s (50 0) m = 6,7 m/s t (5,0,0) s p = p(500) p(400) = ( , ) ( , ) = 5600 Detta är den totala beräknade vinständringen om man ökar tillverkningen från 400 eneter till 500 eneter. q = = 100 p 5600 = = 56 q 100 Detta är genomsnittliga vinständringen per enet om man ökar tillverkningen från 400 eneter till 500 eneter. y 75 5 = m/s = 0 m/s, Raketen stiger med en astiget av 0 m/s 1 y 0 80 = m/s = 0 m/s, Raketen faller med en astiget av 0 m/s N(,0) N(1,5) ,6, ,6 1,5 1,6(,0 1,5 ) = = = 5, 0 1,5 0,5 0,5 N(,0) = ,0 + 15,0 = N(1,5) = , ,5 = ,75 N(,0) N(1,5) ,75 = = 0,5 00, 0 1,5 0,5 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

3 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 1 f() t = t 6t+ 0 f (0) = 0 f (4) = + = f(4) f(0) 60 0 = = f() t = t 6t+ 0 f f (1) = = 15 (6) = = 00 f(6) f(1) = = , 14, 15 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 16 Se facit. Kontakta din lärare om du beöver mer jälp. 17 Eempel som löses i boken. 18 f(4) f(0) 4 = = 0, c) f(10) f(6) 5 = = 0, f(6) f(4) 4 = = 1 d) 6 4 f(11) f(10) 5 = = Se facit. f( ) = 4 f f = = () 4 4 = = (1) f() f(1) 4 = = f(4) f() 4 = = 6 4 f(10, 4) f(10, ) 4 = = 0,6 10, 4 10, 0, Svar: Medellutningen är störst i intervallet 10, < > 10, f() f(1) 8 f( ) = = = = 1 1 f() f(1) 1 1 f( ) = = = = f(6) f(4) = = f() f( 1) ( 1) 6 ( 1) = = ( 1) 1 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

4 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 14 ( ) (6 ) k = = = = Beräkna vad uttrycket 6 + blir om närmar sig = 6 c) y = k+ m = 9 = 6 + m m = 9 y = 9 k = 6 Svar: Den sökta ekvationen är y = Lös uppgiften på samma sätt som 14. De punkter du beöver är (-, 4) oc (( +), ( +) ). Kontakta din lärare om du beöver mer jälp (0 ) (0 ) 0 6 (6 ) + + k = = = 0+ 0 = 6 Beräkna vad uttrycket 6 blir om närmar sig = 6 y = k+ m = 0 0 = m m = 0 y = 0 k = 6 Svar: Den sökta ekvationen är y = 6 6(4 ) (4 ) 8 ( ) + + k = = = 4+ 4 = Beräkna vad uttrycket blir om närmar sig 0 0 = y = k+ m = 4 8 = 4 + m m = 16 y = 8 k = Svar: Den sökta ekvationen är y = + 16 f k = = = 4 (4) f() = 1 f k = = = 4 (4) f() = Se facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

5 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel f(1 + ) f(1) k = 1+ 1 ( ) f (1 + ) = 4(1 + ) (1 + ) = + k = = f (1) = = går mot noll = k = Svar: Kurvan ar lutningen i = 1 19 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 140 f( ) = f( + ) = ( + ) = + f( + ) f( ) + = = = f( ) = 5 f ( + ) = 5( + ) = 5( + + ) = f( + ) f( ) (10+ 5 ) = = = c) f( ) = 6 4 f( + ) = 6 4( + ) = f( + ) f( ) = = = 4 d) f( ) = + 1 f ( + ) = ( + ) ( + ) + 1= ( ) ( ) 1 1 f + f = + ( + ) = = = Grafen till f (t) visar ur långt (i meter) kulan rullat efter t sekunder. Kulans astiget efter t sekunder är den lutning som tangenten till grafen vid motsvarande tidpunkt. I denna uppgift skall du alltså ta reda på lutningen på kurvan för t =,5 s. f( t) = t oc f( t+ ) = ( t+ ) = t + t+ f( + ) f( ) t + t+ t ( t+ ) v= = = = t+ Om t =,5 oc = 0 blir v =,5 m/s Svar: Efter,5 s är kulans astiget 5,0 m/s. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

6 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 14 Bestäm först differenskvoten Sätt därefter in = a. f( ) = + f ( + ) f( ) f( + ) = ( + ) + ( + ) = f( + ) f( ) + + (+ + ) k = = = = + + Om = a oc = 0 blir k = a + Svar: Lutningen är k = a +. 14, 144 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. på samma sätt som i uppgift 140. Kapitel. 01, 0, 0 Eempel som löses i boken. 04 Riktningskoefficienten för kurvans tangent då = är negativ Riktningskoefficienten för kurvans tangent då = 0 är noll c) Riktningskoefficienten för kurvans tangent då = är positiv + d) Riktningskoefficienten för kurvans tangent då = 7 är negativ Kontakta din lärare om du tycker att det är är svårt! 05 f (4) = 78 betyder att på 4 sekunder ar kroppen fallit 78 m Derivatan är en förändringstakt. f (4) = 40 betyder att efter 4 sekunder är kroppens astiget 40 m/s. 06 f (100) = betyder att producera 100 eneter kostar kr. Derivatan är en förändringstakt. f (100) = 60 betyder att marginalkostnaden för den undrade eneten är 60 kr. (produktionskostnaden ändras 60 kr då man tillverkar den undrade eneten). 07 f () = 60 betyder att klockan 0.00 är temperaturen i varmvattenberedaren 60 C. Derivatan är en förändringstakt. f (5) = 1,0 betyder att klockan 5.00 sjunker temperaturen i varmvattenberedaren med 1 C/. 08 Se facit. Kontakta din lärare om du tycker att detta är svårt eller krångligt. 09, 10 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 11 Se facit. Kontakta din lärare om du tycker att detta är svårt eller krångligt. 1 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 1 Se facit. Kontakta din lärare om du tycker att detta är svårt eller krångligt. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

7 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 14, 15 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 16 Eempel som löses i boken. 17 c) d) f f ( ) = + 1 () = + 1= 10 f f ( ) = + 1 ( + ) = ( + ) + 1= f ( + ) f() = = + 6 f( + ) f() + 6 ( + 6) = = = Se facit. (4 + ) + (4 + ) = = = 11+ c) = 11 f( + ) f( ) 5( + ) f ( ) = = = = 5 f (4) = 5 f( ) = 0 är oberoende av (grafen till f( ) = 0 är en rät orisontell linje). Eftersom funktionsvärdet aldrig ändras (grafen lutar inte) är derivatan noll. 0, 1 Se lösningsförslag i facit. Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit., 4, 5 Eempel som löses i boken. 6, 7 Se ledning i facit. 8 Se bokens ledning oc facit. 9 Hur fort temperaturen ändras 45 min efter att steken tagits ur ugnen, dvs y (45). Jämför ditt svar med facit. Avviker ditt svar mycket räknar du om uppgiften. Blir det inte bättre då kontaktar du din lärare. 0 Jämför ditt svar med facit. Avviker ditt svar mycket räknar du om uppgiften. Blir det inte bättre då kontaktar du din lärare. 1,,, 4 Se facit. Kapitel. 01, 0 Eempel som löses i boken. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

8 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 0, 04, 05, Se facit oc uppgift 01. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 06, 07, Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 10 Se facit. 11 f( ) = f = + ( ) , + = 8+ 15= 0 = 4± = 4± 1 = 5, = 1 f( ) = f = + + ( ) , + + = = 0 = 5± 5 16 = 5± =, = f( ) = + 7 f( + ) f( ) ( + ) + 7( + ) = = f ( ) = lim + 7+ = = Ledning: y = + kan ses som Vilken funktion ger derivatan? Vilken funktion ger derivatan? Vad ar derivatan 0? 14 Se lösningsförslag i facit. 15, 16, 17 Eempel som löses i boken. 18 Uppgiften kan lösas på två sätt: Alternativ 1 ( råräkning genom att sätta in givna värden direkt) s s(,0 + ) s(,0) s(,) s(,0) = = = t 0, + 0, 40, 5, 40,0 5,0 m/s = 19 m/s Alternativ (förenkla först, därefter sätts givna värden in) s s( t+ ) s( t) 40( t+ ) 5( t+ ) 40t+ 5t = = = 40 10t 5 t t =,0 oc = 0, , m/s = 19 m/s NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

9 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Uppgiften kan lösas på två olika sätt: Huvudalternativ (använd deriveringsreglern v= s = t = (40 10, 0) m/s = 0 m/s Alternativ (om du använt alternativ i a-uppgiften utnyttjar du resultaten därifrån) s s( t+ ) s( t) = = 40 10t 5 t t =,0 ger lim 40 10t 5 = (40 10 ) m/s = 0 m/s 0 19 Nt ( ) = t N () t = 4 t = 8t N = = 4 (5) f( ) = , f = + 7 ( ) 10 0, f = + = 5 7 (00000) , 0, 1 yt t t t ( ) = 0,1 0, , y t = t t + ( ) 0,4 0, ,05 y (15) = (0,4 15 0, ,05) C/s, C/s y (180) = (0, , ,05) C/s 5,4 C/s Tq ( ) = q 0, 4q T ( q) = 180 0,8q T (80) = 180 0,8 80 kr/enet = 116 kr/enet T (140) = 180 0,8 140 kr/enet = 68 kr/enet f () t = 5t 0,4t f () t = 5 0,8t f () = 5 0,8 =,6 ökar med 600 deltagare f (6) = 5 0,8 6 = 0, ökar med 00 deltagare c) f (8) = 5 0,8 8 = 1, 4 minskar med 1400 deltagare 4 V( ) = 50 0, V ( ) = 50 0,0 V ( ) = 50 0,0= 40 0,0= 10 = 500 V ( ) = 50 0, 0= 0 0, 0= 50 = 500 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

10 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 5 y = 0, , 0+ 8,89 y = 0, , 0 y (0) = 0, , 0 = 0, År 00 ökar folkmängden med 9680 personer y (40) = 0, ,0 = 0,0084 År 040 minskar folkmängden med 840 personer 6 Eempel som löses i boken. 7 k = f ( ) = f( ) = 5 f = ( ) 6 5 k = f = = 4 ( ) 6 ( ) 5 49 f( ) = 4 5 f ( ) = 8 0 k = f = = ( ) 8 ( ) 0 ( ) Beräkna först tangentens riktningskoefficient f( ) = 5 f ( ) = 5 k = f (4) = 8 5 = Avänd k-form eller enpunktsformeln för att bestämma tangentens ekvation Alternativ 1: k-form = 4 y = 0 k = y = k+ m 0= 4 + m m= 1 Svar: y = 1 Alternativ : enpunktsformeln 1 = 4 y1 = 0 k = y y k 1 = ( + 1) y 0= 4 Svar: y = 1 9 = y = y = + = () 5 ( ) 8 ( ) 4 Tangeringspunkten är (, 4) k = y ( ) = 10 ( ) + 8= 1 Tangentens riktningskoefficient är 1 c) 4 = 1 ( ) + m m= 0 Tangentens ekvation är y = 1 0 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

11 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 0 Löses på samma sätt som uppgift 9. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 1 Tangenten är parallell med y = 6 5 k = 6 Beräkna för vilket som k = 6 y = f( ) = 7 k = y = f ( ) = = 6 = 4 Beräkna vad y är då = 4 y = f(4) = = 1 Svar: I punkten (4, 1) är tangenten parallell med y = 6 5. Se bokens ledning oc lösningsförslaget till uppgifterna 9 oc 1. Kontakta din lärare om du beöver mer jälp., 4 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 5 f () t =,4t 0,1t f () t =,4 0,t f () =, 4 0, = 1,8 ökning med 1800/år f () t =,4 0,t = 0,8 0, t = 1,6 t = 8 Efter 8 år ökar antalet deltagare med 800 pers/ år (Kommentar: Väldigt långvarigt projekt) 6, 7 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 8 Sätt y = K( ) där y är kostnaden i kr oc är antalet producerade burkar. K(5000) = kr K (5000) = 15 kr/burk Under förutsättning att K ( ) är konstant i intervallet blir kostnaden y = ( ) kr = kr 9, 40, 41 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 4, 4 Eempel som löses i boken. 44, 45 Se uppgift 4 oc facit. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 46, 47 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

12 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 48 Se facit. 0,5 T ( ) = 1,5 T (0, 7) = 1,5 0, 7 jordbaneradier/år. 49 0,575 0,575 y ( ) = 0,45 0,1 = 0,1175 y = 0,575 (75) 0, m /kg 0,011 m /kg En person som är 180 cm lång oc väger 75 kg kommer vid en viktuppgång att öka sin kroppsyta med 1,1 dm för varje kilo som personen ökar i vikt. 50 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 51 Se lösningsförslag i facit. 5, 5 Eempel som löses i boken. 54, 55 Se uppgift 5 oc facit. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 56 Se uppgift 5 oc lösningsförslag i facit. 57, 58 Se facit. 59 Se facit oc c) Ledning: dy d oc D är alternativa beteckningar för y. 60 y ( ) = 6e y y = 6e e = 6e 6e =0 61 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 6 Se facit. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 6 b f ( ) = ae be a b a f ( ) = abe + abe 0 c = 1 för c 0 f (0) = ab 1+ ab 1 = ab 64 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 65 Se facit. Kontakta din lärare om du vill diskutera detta mer. 66, 67 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 68 Se lösningsförslag i facit. 69 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

13 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 70 Se lösningsförslag i facit. 71 Eempel som löses i boken. 7, 7 Se uppgift 159 oc facit. Glöm inte att e Kontakta din lärare om du beöver jälp. ln a = a. 74 Hur man byter till basen 10 beskrivs i uppgift Hur man byter till basen e beskrivs i uppgift 71, Metod 1. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 75 Ledning: 10 = a oc e b = b. Kontakta din lärare om du beöver jälp. lg a ln Ledning: Utnyttja deriveringsregeln om y ( ) = a så är y ( ) = a ln a. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 78 Ledning: Derivera term för term precis som vanligt. 79 Se lösningsförslag i facit. 80 y ( ) = 10 y ( ) = 10 ln10 1 = 0 y 1 = y = = 0 (0) 10 1 k = y = = 0 (0) 10 ln10 ln10 Sätt in detta i enpunktsformeln y y1 = k( 1) y 1 = ln10( 0) y = ln = 0,5 y 1 = y = = 0,5 (0,5) k = y = = 0,5 (0,5) 10 ln10 10 ln10 Sätt in detta i enpunktsformeln y y1 = k( 1) y 10 = 10 ln10( 0,5) y = 10 ln10 0,5 10 ln , 8 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 8 Eempel som löses i boken. 84 Se bokens ledning oc svaret i facit. 85 Ledning: Bestäm K (100). NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

14 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 86, 87 Se bokens ledning. 88 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 89 Se facit. 90 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 91 y ( ) = 0 00e y 15k (15) = 0 00e = 5 15k 00e = 167 e 15k = 167 / 00 k 15k = ln(167 / 00) ln(167 / 00) k = 0,01 15 y ( ) = 00ke k y (15) = 00ke 15k Sätt in k-värdet från a-uppgiften o y (15) C / min 9, 9, 94, Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 95, 96, 97, 98 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

1 Förändingshastigheter och derivator

1 Förändingshastigheter och derivator Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Förändringshastighet ma C

Förändringshastighet ma C DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva

Läs mer

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen Matematik Ten 1: T-bas 00-08-09 Nya kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 009 40 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area?

3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area? Dagens 30 aug: a, 2, 3, 5, 6.. Låt Q vara antalet producerade enheter. Bestäm a. Marginalvinsten för vinstfunktionen π(q) = 3Q + Q + 2. Marginalintäkten för intäktsfunktionen R(Q) = ( + 2Q) 3/2. c. Marginalkostnaden

Läs mer

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng ENAMEN Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: id: Hjälpmedel: Omattning oc betgsgränser: HF Matematik ör basår I EN ekniskt basår Marina Arakelan, Jonass Stenolm & Håkan Strömberg

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit. Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x). Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på

Läs mer

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x) Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Här har du en sammanställning av en mängd tentor, som i stort liknar den Du står inför. Förutom sidnummer anges också lämpliga uppgifter.

Här har du en sammanställning av en mängd tentor, som i stort liknar den Du står inför. Förutom sidnummer anges också lämpliga uppgifter. Tidigare tentamina Här ar du en sammanställning av en mängd tentor, som i stort liknar den Du står inför. Förutom sidnummer anges också lämpliga uppgifter. Tentamen Sida Lämpliga uppgifter Tentamen -0

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare. Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?

Läs mer

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p) TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

MATEMATISK INTRODUKTION. Innehåll

MATEMATISK INTRODUKTION. Innehåll MATEMATISK INTRODUKTION Innehåll - Räkneregler för bråk - Räkneregler för potenser - Procenträkning - Ekvationer o Ekvationer och tillvätförlopp - Nuvärdesberäkningar - Funktioner o Linjära funktioner

Läs mer

Tips 1. Skolverkets svar 14

Tips 1. Skolverkets svar 14 JENSEN vux utbildning Np Mac vt01 1(0) Kursprov Mac Innehåll Förord 1 Tips 1 Kursprov Mac vt01 Del B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. #1 10...... 3 Del C: Digitala verktyg är inte

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C (kursplan 2000) VÅREN 2002

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C (kursplan 2000) VÅREN 2002 Skolverket änvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar NATIONELLT

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Tillämpad Matematik I Övning 3

Tillämpad Matematik I Övning 3 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 3 1 Tillämpad Matematik I Övning 3 Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är eempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Funktioner: lösningar

Funktioner: lösningar Funktioner: lösningar 6. Sätt 1 = t 7. Också strängt väande: f (t) = 1 (1 t) = = 1 1+t t = = t t 8. Återigen strängt väande: T.e. a < b g (a) < g(b) f (g (a)) < f (g (b)) a < b g (a) > g(b) f (g (a))

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

Exponentialfunktioner och logaritmer

Exponentialfunktioner och logaritmer Eponentialfunktioner och logaritmer Tidigare i kurserna har du gått igenom potenslagarna, hur man räknar med potenser och potensfunktioner av typen y. En potens- funktion är en funktion som innefattar

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 015-01-09

Läs mer

Övningsuppgifter omkrets, area och volym

Övningsuppgifter omkrets, area och volym Stockholms Tekniska Gymnasium 01-0-0 Övningsuppgifter omkrets, area och volym Uppgift 1: Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur. 4 7 Uppgift : Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur.

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer