Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren)."

Transkript

1 Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på vad som kännetecknar en tangent. Begreppen sekant oc tangent är viktiga. Beteckningarna x oc y används i matematiken för att beteckna ändringar. Riktningskoefficienten k y y1 k =. Denna formel kan även skrivas x x1 y kallas ändringskvot eller differenskvot. x för en linjär funktion beräknas som bekant med formeln y k = oc kvoten x x = ändringen (differensen) i x-led = b a y = ändringen (differensen) i y-led = f(b) f(a) y f(b) f(a) Ändringskvoten eller differenskvoten = = är då lika med riktningskoefficienten eller x b a lutningen för sekanten som går genom punkterna (a, f(a)) oc (b, f(b)). Exempel 1 Betrakta funktionen f(x) = x 3x. Bestäm den differenskvot som svarar mot att x-värdet ändras från till 4. Vad säger oss den beräknade differenskvoten? Lösning f() = - 3 = - oc f(4) = = 4 ger att differenskvoten blir 1

2 y 4 ( ) 6 = = = 3 x 4 Detta svarar mot lutningen på den sekant som går genom (, -) oc (4, 4). Exempel Eftersom en tabell också är ett sätt att åskådliggöra ett samband kan man också där beräkna en differenskvot. Låt oss titta på en tabell som återger ur temperaturen varierade under några timmar. Här är tidpunkten den oberoende variabeln ( vårt x ) oc temperaturen den beroende variabeln ( vårt y ). Tidpunkt(kl) Temp( 0 C) 14,3 14, , 19 18, ,1 14,6 13, Bestäm ändringskvoten mellan klockan 11 oc 14. Vad säger oss denna kvot om temperaturändringen? y 18, 4 16, 4 Ändringskvoten = = = = 0, 8 grader per timme. x Ändringskvoten ger oss ett genomsnittvärde på temperaturändringen mellan klockan 11 oc 14, dvs. är ändrades temperaturen i genomsnitt med 0,8 grader per timme. Exempel 3 En funktion representeras också av sin graf. Därför är det bara att använda sig av de två utvalda punkternas koordinater för att bestämma ändringskvoten. Titta på följande graf. Bestäm ändringskvoten när x ökar från 1 till. Lösning Ändringskvoten = lutningen. y 0 = = = x 1 1 dvs. som vi kan se av grafen svarar det mot en sekant med Medelvärde oc momentanvärde I exempel ovan talade vi om en medeltemperaturändring på 0,8 grader per timmer i tidsintervallet mellan klockan 11 oc 14. Tittar man på tabellen upptäcker man att de uppmätta tidsändringarna i själva verket var enligt följande: Klockan 11 till 1 ändrades temperaturen med +, grader Klockan 1 till 13 ändrades temperaturen med + 0,8 grader Klockan 13 till 14 ändrades temperaturen med 0,6 grader Om vi minskar tidsintervallet borde vi få ett svar som bättre stämmer överens med förändringen i det minsta uppmätta tidsintervallet. Ännu tydligare blir det när man talar om astiget när man kör bil. Titta på följande två sätt att ange ett astigetsvärde. 1. Man tar tid på ur länge det tog att köra en viss sträcka. Man började sin bilfärd klockan 11 oc kom fram klockan 15. Den körda sträckan avlästes till 3 mil. Om vi använder givna värden för att bestämma astigeten får vi att det tog 4 timmar för att köra 30 km. Det ger oss en astiget av 80 km/.

3 . Klocka 1.37 tittar man på bilens astigetsmätare oc avläser 50 km/. Vad är det för skillnad mellan dessa två astigetsvärden? Man säger om fall 1 att vi där beräknat en genomsnittsastiget eller medelastiget. Vi kan mycket väl a kört 110 km/ på motorvägen eller stannat för rött ljus på vår resa, men vi ar ållit medelfarten 80 km/. I fall däremot ar vi astigeten vid en tidpunkt eller i ett visst ögonblick (engelska moment ). Denna astiget kallas momentanastiget. Derivata är ett mycket centralt begrepp i matematiken. Avsnittet ovan kan sägas vara en slags förövning till derivatabegreppet. Om du tittar på ex ovan ser du ur man med jälp av ändringskvoten kan beskriva ur mycket temperaturen i genomsnitt ändras i ett visst tidsintervall. Om tidsintervallet är stort får man bara ett ganska grovt mått på förändringen. Ändringskvoten speglar inte på något bra sätt de temperaturförändringer som ev. skett inom intervallet. Genom att minska tidsintervallet får man en bättre uppfattning om förändringen (i det kortare tidsintervallet). Om vi i exemplet med bilen ovan minskar tidsintervallet mer oc mer, kan vi beräkna medelastigeten i allt kortare tidsintervall. Vi kommer då allt närmare den astiget bilen ar i ett visst ögonblick, den s.k. momentanastigeten. Eftersom ögonblick eter moment på engelska, kallas denna astiget momentanastiget. Det är i fortsättningen mycket viktigt att du skiljer på begreppen medelastiget oc momentanastiget. Gränsvärde Innan vi kan gå till själva definitionen av begreppet derivata måste vi titta på ett avsnitt som andlar om gränsvärdesberäkning. Exempel 1 Gränsvärdet för 3x + 5 då x går mot 0 är 5, vilket skrivs matematiskt lim(3x + 5) = 5 Egentligen innebär gränsvärdesbegreppet att x får vara ur nära som elst värdet 0 men inte exakt lika med 0. Alltså x får t ex vara -0, eller 0, Då inses i ovan att det i praktiken innebär att man kan sätta in x=0 i uttrycket. I vissa fall är det viktigt att komma iåg detta. Exempel x + x Betrakta uttrycket. Vad blir dess värde när x går mot noll? Matematiskt skrivs denna fråga som x x + x lim =? x 0 x Tänker man sig inte för kan man tro att det bara är att sätta in x=0 i uttrycket. Det skulle leda till att man får = =? vilket inte är definierat. Man försöker förenkla uttrycket så att man kan sätta in x- 0 0 värdet som i exempel 1. Det innebär är att x + x x(x + ) lim = lim = lim(x + ) = 0 + = x 0 x x 0 x x 0 x 0 Begreppet gränsvärde oc beteckningen limes. Det är viktigt att du blir bekant med dessa, då de ofta kommer att användas i fortsättningen. 3

4 Derivatans definition Den momentana förändringen av en funktion f (x) i punkten (a, f (a)) kallas för funktionens derivata i punkten oc betecknas f '(a) (läses: f-prim av a). Grafiskt sett är detta detsamma som lutningen på tangenten till funktionskurvan i punkten (den gula linjen i följande diagram). Den svarta linjen svarar mot sekanten genom punkterna (a, f(a)) oc (a+, f(a+)). Om vi nu låter gå mot noll ( lim ) innebär det att sekanten övergår till tangenten genom punkten (a, f(a)). Det innebär också 0 att det matematiska uttrycket f(a + ) f(a) lim (a + ) a svarar mot tangentens riktningskoefficient i punkten (a, f(a)), dvs. den momentana förändringen i punkten eller derivatan i punkten x=a, vilket skrivs f ( a) Den matematiska definitionen skrivs alltså = f(a + ) f(a) f '(a) lim (a + ) a Jämförelse mellan ändringskvot oc derivata Det är som jämförelsen mellan sekant oc tangent, vilket följande sammanställning visar. Ändringskvot (sekant) Riktningskoefficient för sekant Kurvans medellutning i ett intervall Derivata (tangent) Riktningskoefficient för tangent Kurvans lutning i en punkt k>0, sekanten stiger k<0 sekanten faller Svarar t ex mot medelastigeten för en bil över ett tidsintervall. f (a)>0 kurvan stiger f (a)<0 kurvan faller Svarar t ex mot astigeten för en bil vid en viss tidpunkt. Observera skillnaden mellan f(a) oc f (a)! f (a) > 0 innebär att kurvan stiger, oc man säger att funktionen f(a) är växande i punkten x = a. f (a) < 0 innebär att kurvan faller, oc man säger att funktionen f(a) är avtagande i punkten x = a. 4

5 Studieandledningen definierar ovan derivatan som den momentana förändringen av en funktion f( x ), i punkten med koordinaterna ( a; f( a )). Annorlunda uttryckt kan man säga att derivatan är kurvans lutning i punkten, oc med en kurvas lutning i en viss punkt menas lutningen för kurvans tangent i punkten. Derivatan definieras då som tangentens riktningskoefficient i punkten med x-koordinaten a. Lägg märke till ur derivatan betecknas. Om en funktion betecknas f( x ) så betecknas dess derivata f ( x) oc utläses f-prim-x. Notera även att en funktions derivata i sig också är en funktion. Man kan alltså rita derivatans graf i ett koordinatsystem. Den matematiska definitionen av en funktions derivata i punkten med koordinaterna ( a; f( a )) f( a+ ) f( a) ovan f ( a) = lim kan skrivas lite kortare om vi förenklar nämnaren. Då får vi ( a+ ) a f( a+ ) f( a) f ( a) = lim Om du tittar på figuren ovan med den svarta sekanten oc den gula f( a+ ) f( a) tangenten ser du att uttrycket i definitionen är sekantens riktningskoefficient. Om 0 ( går mot noll) kommer sekantens ögra ändpunkt att rycka allt närmare den vänstra. Detta, som ges innebär att sekantens riktningskoefficient alltmer närmar sig värdet på tangentens riktningskoefficent. Detta kan uttryckas som att sekantens riktningskoefficient går mot ett gränsvärde k då 0. Med derivatan i punkten med x-koordinaten a menas just detta gränsvärde. Därför kan vi skriva f ( a) = k. Om vi generaliserar definitionen oc låter den beteckna derivatan i någon punkt x i stället för i en viss punkt a kan vi skriva definition. f( x+ ) f( x) f ( x) = lim, oc då är vi framme vid derivatans matematiska 0 Betydelsen av derivata Det är gott oc väl att vi definierat begreppet derivata, men den kanske mest intressanta frågan återstår. Vad ska man a derivatan till??? Av resonemanget ovan ar föroppningsvis framgått att derivatan t.ex. kan betyda en bils momentanastiget. (Derivatans enet är då m/s) Derivatan ar olika betydelse i olika tillämpningar, oc andlar om ur någonting förändras i ett visst intervall. Om intervallet, som ofta är ett tidsintervall, görs tillräckligt kort, kan man säga att derivatan beskriver förändringen i ett visst ögonblick. Förutom att derivatan ar olika betydelser i olika praktiska tillämpningar, är derivatan ett utmärkt jälpmedel när man skall studera en funktion. Jag nämnde ovan att derivatan i sig också är en funktion, oc det finns ett samband mellan en funktion oc dess derivata. Deriveringsregler För att kunna beräkna derivatan i en punkt x = a, för en funktion f(x) vars uttryck är känt, är det viktigt att man lär sig de så kallade deriveringsreglerna. Vi ska börja med att närmare titta på ur dessa deriveringsregler kan ärledes utifrån derivatans definition. Vi ade definierat derivatan enligt följande: f(a + ) f(a) f '(a) = lim (1) (a + ) a vilket svarade mot att vi bestämmer lutningen för tangenten i x = a. 5

6 Denna definition (1) skulle också kunna skrivas f(x) f(a) f '(a) = lim () x a x a då vi även i den senare versionen () tänker oss att vi låter en godtycklig punkt (x, f(x)) på kurvan närma sig oc sammanfalla med punkten (a, f(a)). Det innebär att vi bestämmer samma lutning! Hur kan man använda derivatans definition för att bestämma derivatans värde i en punkt? Exempel 1. Vi ar funktionen f(x)= 3x oc vill bestämma f (1). Vi vet sedan tidigare att f(a + ) f(a) f '(a) = lim vilket vi skriver om till att gälla vårt exempel. (a + ) a f(1 + ) f(1) 3 (1 + ) (1 + + ) f '(1) = lim = lim = lim = lim (1+ ) 1 (1+ ) f '(1) = lim( + ) = lim(6 + 3) = 6 Svar: f (1)=6 Exempel. Vi ar funktionen f(x)= 3 oc vill bestämma f (1). Vi gör som ovan. f(1 + ) f(1) f '(1) = lim = lim = lim( ) = lim(0) (1 + ) 1 (1 + ) 1 Svar: f (1)=0 Om vi ade tänkt oss för ade vi även utan beräkningen ovan vetat att svaret måste bli noll. Om man ar en konstant funktion som t ex f(x)=3 innebär det att dess graf är en linje parallell med x- axeln. Alla punkter på denna linje ar då samma tangent eftersom den sammanfaller med linjen själv. Oc linjen själv ar riktningskoefficienten 0! Det innebär att för alla konstanta funktioner är derivatan noll! Deriveringsregler för att slippa använda derivatans definition Man inser rätt snart att det blir tungarbetat att ela tiden skriva upp differenskvoten oc ärleda derivatans värde. Det finns som tur är ett enklare sätt. Innan vi kommer dit ska vi titta på ett exempel ur man för en funktion y=f(x) kan bestämma den generella derivatan f (x). Vet man ur man får fram f (x) är det sedan lätt att i en punkt x=a beräkna f (a). Hur får man f (x) med derivatans definition? Ställ upp differenskvoten som tidigare. Anta att vår funktion är f(x)=x. Differenskvoten förenklas sedan så lång som möjligt. f(x + ) f(x) (x + ) x x + x + x x + = = = = x + (x + ) x Använd sedan definitionen på derivata, dvs f(x + ) f(x) f '(x) = lim (x + ) x för att bestämma det sökta gränsvärdet. Det innebär att f(x + ) f(x) f '(x) = lim = lim(x + ) = x. (x + ) x Funktionen f(x)=x ar alltså derivatan f (x)=x. På liknande sätt kan man titta på polynomfunktioner av ögre grad. Resultatet kan sammanfattas enligt följande: 6

7 f(x) f (x) x 1 (x 0 ) x x (x -1 = x 1 ) x 3 3x (3x 3-1 = 3x ) x 4 4x 3 (4x 4-1 = 4x 3 ) x 5? Detta ger oss deriveringsregeln för polynomtermer: f(x) = x n, n positivt eltal f (x) =nx n-1 Till detta lägger vi från tidigare att för f(x) = C är f (x)=0. C är en konstant. Har polynomtermen en koefficient försvårar det inte deriveringen nämnvärt. f(x) = k x n, n positivt eltal, k är en konstant f (x) = k n x n-1 Viktigt att känna till: Ett polynom deriveras term för term Exempel 3 Bestäm f (-3) om f(x) = x 3 x + 5. Lösning Bestäm först f (x) term för term med jälp av deriveringsreglerna. Det ger f (x)=3 x x = 6x - x 0 = 6x - 1 = 6x Därefter beräknas f (-3) = 6 (-3) =6 9 = 5 Svar: f (-3)=5 Om man vill a reda på en funktions derivata skulle det, som nämnts ovan, vara mycket omständligt oc tidsödande, om man varje gång skulle beöva använda derivatans definition, oc utgående från den ärleda derivatan. Tack oc lov kan man komma fram till des.k. deriveringsreglerna, med vars jälp man relativt enkelt kan få fram en funktions derivata. Ovan ar man, med jälp av definitionen, ärlett derivatan till funktionen f( x) = x oc kommit fram till 3 f ( x) = x. Om man ärleder derivatan till funktionen f( x) = x blir resultatet f ( x) = 3x 4 Om man skulle orka ärleda derivatan till f( x) = x skulle man efter viss möda komma fram till resultatet f ( x) = 4x 3 Ett mönster börjar framträda. För att få funktionens derivata, skulle man lite vanvördigt kunna säga att man placerar exponenten framför x-et, oc sedan minskar exponenten en enet. Med jälp av matematiska symboler kan detta formuleras i en regel. n n 1 Funktionen f( x) = x ar derivatan f ( x) = n x För att göra definitionen lite mer allmängiltig inför vi en koefficient vilken vi kallar C, framför variabeltermen. Konstanten påverkar inte själva deriveringen, utan den följer så att säga bara med. Deriveringsregeln blir då: n Funktionen f( x) = C x ar derivatan f ( x) = C n x n 1 Det är viktigt att du lär dig regeln utantill oc kan tillämpa den. Ovanstående regel gäller för en s.k. potensfunktion, dvs en funktion som bara inneåller en term. Hur gör man då om man ar en polynomfunktion, bestående av flera termer? Det blir inte mycket svårare. Man kan visa, att man kan derivera varje term för sig. Man brukar säga att man deriverar term för term. Vi kan då formulera följande regel: f( x) = gx ( ) + x ( ) ar derivatan f ( x) = g ( x) + ( x) 7

8 Genom att kombinera dessa båda deriveringsregler kan vi nu derivera de vanligaste funktionstyperna. f x x x x 3 ( ) = Ex: Utgå från funktionen a) Derivera funktionen b) Bestäm f (3) c) Bestäm tangentens ekvation i den punkt som ar x-koordinaten 3. Lösning: a) f ( x) = 3 x 4 x + 51 x + 0= 3x 8x+ 5 Kommentar 1: Funktionen är en polynomfunktion bestående av fyra termer. Termen 5x kan ses som en linjär funktion med riktningskoefficienten 5. Enl. definitionen, är derivatan tangentens riktningskoefficient i en viss punkt på funktionen. En linjär funktion ar samma lutning överallt, oc försöker vi rita en tangent till den, kommer tangenten att sammanfalla med linjen. Derivatan tangentens riktningskoefficient kommer alltså att ges av linjens riktningskoefficient. Kommentar : Den sista termen 4 är en konstantterm. En konstant funktion ar ingen lutning, oc ar därför derivatan noll. b) För att beräkna f (3) sätter vi in x = 3 i funktionens derivata f ( x) f (3) = = 8, oc får då c) f (3) = 8 innebär att tangentens riktningskoefficient i den punkt som ar x-koordinaten 3 är 8. Tangentens ekvation kan då skrivas f( x) = 8x+ m Återstår att bestämma m. För att kunna göra det beöver vi känna en punkt som tangenten går igenom. Men vi vet att tangenten går genom den punkt som ar x-koordinaten 3. För att få motsvarande y- koordinat sätter vi in 3 x =, i funktionen f( x ). 3 Detta ger f (3) = = 10. Tangenten går alltså genom punkten (3,10) Insättning i f( x) = 8x+ m ger 10 = m. Denna ekvation ar lösningen m = 14. Tangentens ekvation blir alltså f( x) = 8x 14 Av exemplet framgår föroppningsvis att man måste vara mycket uppmärksam på om man skall sätta in ett visst x-värde i funktionsuttrycket, eller i uttrycket för derivatan. Derivatan av två speciella potensfunktioner Det visar sig att vår tidigare deriveringsregel för polynomfunktioner kan utsträckas till att gälla vissa potensfunktioner: f(x) = x a, där x>0 oc a ett reellt tal ar derivatan f (x) = a x a-1 Två vanliga exempel på potensfunktioner är funktionerna f( x) 1 = oc f( x) x = x. För att kunna använda deriveringsregeln måste man först skriva om funktionerna med jälp av potenslagarna. f( x) 1 x 1 = = x oc f( x) = x = x ½ Olika sätt att beteckna en funktions derivata. Jag ar ittills konsekvent använt beteckningen f ( x) för en funktions derivata. Det finns några andra beteckningssätt också, som du bör känna till. Om man väljer att beteckna funktionen y skrivs derivatan y. (Ganska logiskt kan tyckas) Ett annat vanligt skrivsätt är dy. Detta läses derivatan av y med avseende på x. Eftersom vi av dx bekvämligetsskäl gärna förkortar långa uttryck säger man vanligen d-y-d-x. Observera att 8

9 beteckningen inte får uppfattas som en kvot. Detta ar ingenting med division att göra, utan är elt enkelt ett skrivsätt för derivata. Detta skrivsätt ar den fördelen att man i klartext får reda på vilken bokstav som är varibeln i ett funktionsuttryck. Skriver man ds att man deriverar med avseende på variabeln t., derivatan av s med avseende på t, talar det om (för den invigde) dt 9

1 Förändingshastigheter och derivator

1 Förändingshastigheter och derivator Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler

Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Funktioner: lösningar

Funktioner: lösningar Funktioner: lösningar 6. Sätt 1 = t 7. Också strängt väande: f (t) = 1 (1 t) = = 1 1+t t = = t t 8. Återigen strängt väande: T.e. a < b g (a) < g(b) f (g (a)) < f (g (b)) a < b g (a) > g(b) f (g (a))

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata Kapitel 8 Derivata 8.1 Inledning till derivata Vi vill nu bestämma riktningskoefficienten för tangenten 1 till en given kurva i punkten x. För att få en approximation av tangenten ritas en linje genom

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons

Läs mer

Förändringshastighet ma C

Förändringshastighet ma C DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Absolut möjligt. Problemet. per-eskil persson

Absolut möjligt. Problemet. per-eskil persson per-eskil persson Absolut möjligt Absolutbelopp nämns inte i kursplanerna för gymnasiet, samtidigt som förkunskaper kring dem efterfrågas av högskolan. Med utgångspunkt i en kurs för lärarstudenter konstruerades

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima

Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson & Thomas Lingefjärd Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima I takt med att priserna sjunker utrustar allt fler skolor sina elever med små bärbara datorer. Detta innebär nya och

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 juni Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Uppgifter ur Nationella prov Kurs A Ur del II utan räknare: När en frysbox stängs av stiger temperaturen. Följande formel kan användas för

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Skriv ditt namn, födelsedatum och gymnasieprogram på alla papper du lämnar in.

Skriv ditt namn, födelsedatum och gymnasieprogram på alla papper du lämnar in. NpMa3c ht 2012 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Kravgränser Endast svar krävs Skriv ditt namn, födelsedatum och gymnasieprogram på alla papper du lämnar in. NpMa3c ht 2012 Del B:Endast svar krävs 1. x x

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012 Till eleven - Information inför det muntliga delprovet Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017 Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1 Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder

Läs mer

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1 HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy april 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare. Betygsgränser: p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd (p. från propedeutiska kursen kan tillgodoräknas)

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3, MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA151 Envariabelkalkyl, TEN1 Datum: 014-1-04

Läs mer

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte2 Studiematerialet

Läs mer