y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x"

Transkript

1 Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för vare sig linjens lutning eller var den skär y-axeln. Dessutom finns enpunktformen: y y 1 = k(x x 1 ) där (x 1, y 1 ) är en känd punkt på linjen. Till sist har vi denna där a och b är konstanter vars betydelse vi återkommer till: y a + x b = 1 Alla dessa sätt att teckna en linjär funktion är förstås ekvivalenta. Ett bra tips är att föra över en given linjär funktion till den form som man är mest van vid. Under Lösta uppgifter tar vi upp några exempel. Derivatan av exponentialfunktionen. Vi minns att f(x) = 3 x är ett exempel på en exponentialfunktion. Kännetecknet är att x förekommer som exponent. Det är fritt fram för vilken positiv bas som helst. I exemplet har vi använt basen 3. Så här ser grafen ut: Figur 1: Gemensamt för alla exponentialfunktioner är att de växer snabbt då basen är > 1. Man talar om exponentiell tillväxt och menar då något som ökar snabbt. (Även Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 om detta inte alltid är helt korrekt. Jag menar att med basen 1.01, (1%), är ju tillväxten inte särskilt snabb). Vi förstår att denna funktion liksom andra vi studerat hittills har en tangent i varje punkt på kurvan. Med andra ord det borde finnas en derivata till f(x) = 3 x. Använder vi derivatans definition för att ta reda på den får vi f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 3 x+h 3 x h Vidare 3 x 3 h 3 x 3 x (3 h 1) lim = lim h 0 h h 0 h Eftersom 3 x inte är direkt inblandad när h 0, så kan vi skriva (om inte helt självklart) 3 x (3 h 1) lim h 0 h Sedan är det stopp! Det vi lärt oss om gränsvärden räcker inte för att knäcka detta. Vi ser att, när h = 0 får vi 0. Vi går till en bok för högre studier i matematik och 0 hittar (a h 1) lim h 0 h Använder vi detta resultat får vi = lna 3 x (3 h 1) lim = ln3 3 x h 0 h Det återstår nu endast ett problem. Vad står ln för? Vi kommer ihåg att lösningen till ekvationen 10 x = 23 skrivs x = lg23. Detta är en logaritmekvation där vi använder basen 10. Basen 10 är (åtminstone i Sverige) knuten till symbolen lg och det finns en knapp på dosan märkt log som motsvarar lg. Vilken bas man använder när man räknar med logaritmer är egentligen valfritt! Det känns naturligt att använda basen 10 eftersom vi använder oss av basen 10 när vi skriver våra tal. En annan bas är e. Talet e är en konstant precis som π och dessutom lika viktig i matematiken. Jag ska nu försöka förklara varifrån talet e kommer. Betrakta uttrycket ( lim ) x x x Det handlar alltså om ett gränsvärde där x Plottar vi funktionen ( f(x) = ) x x får vi följande graf, se 2. Vi kan gissa eller tro att kurvan närmar sig en gräns när x. Jag påstår att denna gräns är just talet e. Här har du talet e med de 200 första decimalerna: Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Figur 2: Normalt brukar man komma ihåg att e På dosan finns en knapp märkt e x. Slår vi e 1 får man fram talet e med några av de decimaler som ges ovan. Vi tänker nu använda e som bas när vi räknar med logaritmer och konstaterar att: lg är för 10, vad ln är för e. Sök upp knappen ln på din räknare. Det finns ju oändligt många tal, varför har man fastnat för talet e? Vi återkommer till det. Först ska vi lösa några enkla ekvationer. Förhoppningsvis kommer du ihåg hur man löser till exempel denna ekvation: lgx = 2 10 lg x = 10 2 x = 100 Om den ekvationen är OK för dig är inte denna svårare: lnx = 2 e ln x = e 2 x = e 2 x Vi konstaterar at vår kattregel gäller även här (liksom för alla baser). så även för de andra logaritmlagarna. e ln = Detta är viktigt. Man kan nu skriva om vilket uttryck som helst a b till ett med basen e. Jag påstår att a b = e bln a För att förklara detta använder vi bara två logartimlagar: lna b = b lna Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 och så kattregeln. Alltså Så om vi har en funktion så kan vi skriva den som e bln a = e ln ab = a b f(x) = 3 x f(x) = e xln 3 eller hur? Bestämmer vi oss för att alltid skriva om en exponentialfunktion oavsett bas till en bas med e (vilket verkar enkelt) så får vi en fastare grund att stå på. Minns ni att vi för en halv timma sedan började med att försöka finna derivatan till f(x) = 3 x Vi kom fram till, genom derivatans definition och genom att låna ett gränsvärde från den högre matematiken, att f (x) = ln 3 3 x Man verkar inte kunna presentera derivatan till denna funktion utan att blanda in ln. Fakta: har derivatan f(x) = e x f (x) = e x Lätt att komma ihåg eller hur? Det är detta faktum som gör e så märkvärdigt. Att derivatans värde är lika med funktionens. där k är en konstant har derivatan f(x) = e kx f (x) = k e kx Lite svårare men fortfarande möjligt att memorera. Vad betyder detta? Ja att: f(x) = 3 x = e ln 3x = e xln 3 Vi deriverar sedan med hjälp av regeln ovan och får Detta uttryck kan ju skrivas om till f (x) = ln 3 e xln 3 f (x) = ln3 e xln 3 = ln 3 e ln 3x = ln 3 3 x Det var ju där vi började! Återstår att vänja sig vid att använda e och ln. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 1 Översätt den linjära funktionen given på allmän form till k-form, där a och b är obestämda konstanter. Vi utgår alltså från ax + by + c = 0 och vill komma fram till y = k x + m. Det betyder att vi kommer att få k och m uttryckta i a och b. Vi ska alltså lösa ut y ur formeln ax + by + c = 0 by = ax c y = ax c b y = a b x + c b Detta betyder att k = a b och m = c b. Normalt lär man sig inte detta utantill, utan är beredd att räkna fram det varje gång det behövs. 2 Vi har den linjära funktionen y 5 + x 3 = 1 I vilka punkter skär denna linje koordinataxlarna? När funktionen skär x-axeln är y = 0. Vi sätter in det i funktionen och får ekvationen x 3 = 1 som har lösningen x = 3. Linjen skär alltså x-axeln i (3, 0) När funktionen skär y-axeln är x = 0. Vi sätter in det i funktionen och får ekvationen y = 1 som har lösningen y = 5. Linjen skär alltså y-axeln i punkten (0, 5). Det finns tydligen ett klart samband mellan de två nämnarna i funktionen och de punkter i vilka linjen skär axlarna. 3 Vilket resultat, ungefär, bör man få då man beräknar detta uttryck med dosans hjälp: ( ) Ungefär , ett tal ganska nära e, eller hur! Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 4 Lös ekvationen lnx + ln2 = ln10 lnx + ln2 = ln 10 ln x = ln 10 ln2 ln x = ln 10 2 ln x = ln 5 e ln x = e ln 5 x = 5 Förutom e ln = har vi använt ln ln = ln. Vi konstaterar att tekniken att lösa en ekvation med ln inte skiljer sig speciellt från det med lg. 5 Förenkla så långt möjligt 2 3 lnea lne 2 3 lnea lne a 2a a 3 = ln e 3 3 lne = 2a 3 a 3 = 2a 3 + a 3 = a Om lg10 = 1 så måste ju lne = 1. 6 Bestäm derivaten till f(x) = 10e x a 3 7 Bestäm derivatan till 8 Vilken funktion f (x) = 10e x f(x) = e 10x f (x) = 10e 10x a) f(x) = e 1 x b) f(x) = e 0 x c) f(x) = e 1 x hör ihop med vilken graf i figur 3 a) f(x) = e x b) f(x) = e x c) f(x) = e 0 När koefficienten är 0 är förstås funktionen konstant = 1. 9 Derivera funktionen f(x) = 4 x + 3 x Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Figur 3: Vi skriver om funktionen enligt receptet ovan (även om man är ovan): Nu är det enkelt att derivera f(x) = e xln 4 + e xln 3 f (x) = ln4 e xln 4 + ln3 e xln 3 om man så vill kan man återställa baserna och få f (x) = ln 4 4 x + ln3 3 x Visserligen försvinner e, som vi är ovana vid just nu, men ln består. 10 Kurvan y = C e kx går genom punkten (0, 10). Lutningen i den punkten är 5. Bestäm talen C och k. Först och främst förstår vi att 10 = C e k 0 Vi har helt enkelt satt in x och y efter punkten (0, 10). Detta ger 10 = C e 0 eller C = 10. När vi har C = 10 kan vi skriva funktionen f(x) = 10 e kx Nu tar vi hand om den givna lutningen. För detta måste vi derivera funktionen ovan f (x) = k 10e kx Man har fått veta att f (0) = 3, eller hur (tänk efter). Detta ger f (0) = k 10e k 0 Eftersom f (0) = 5 får vi k 10e k 0 = 5 k 10e 0 = 5 k 10 = 5 k = 1 2 Till slut har vi kommit fram till funktionen: f(x) = 10e x 2 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 1 Omforma den linjära funktionen till k-form. 3x + y 2 3 = 0 2 En linje skär koordinataxlarna i punkterna (0, 2) och (3, 0). Bestäm linjens ekvation (den linjära funktionen). 3 Lös ekvationen ln x 2 + lnx = 3 4 Man får reda på att f(2) = 3 e 2 och att f(3) = 3 e 3. Bestäm f(x). 5 Skriv om funktionen f(x) = x till funktionen g(x) med basen e och bestäm både f(10) och g(10) 6 Derivera funktionen 7 Bestäm f (2) då 8 Derivera f(x) = 3e 2x f(x) = 2e 3x + e x f(x) = (e x e x ) (e x + e x ) 1 Det är bara att räkna på, det vill säga att lösa ut y ur formeln 3x + y 2 3 = 0 y 2 = 3x + 3 y = 6x + 6 Lätt som en plätt, eller hur! Svar: y = 6x Utnyttjar vi kunskapen från Lösta problem nummer 2 får vi direkt y 2 + x 3 = 1 som kan hyfsas till y = 2 3 x 2 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 3 Svar: x = e 4 Funktionen ln x 2 + lnx = 3 2 lnx + lnx = 3 3 lnx = 3 lnx = 1 e ln x = e 1 x = e f(x) = 3e x är förstås närliggande, men det finns faktiskt oändligt många funktioner som går genom dessa två punkter. Tänk efter. 5 Vi kan tyda denna funktion som en där man startar med 1000 kr och erhåller 4% ränta varje år. f(x) talar om hur mycket man har efter x år. 6 Omskriven till basen e får vi Vi får nu Omskrivningen verkar korrekt. 7 Först deriverar vi Vi kan nu bestämma f(10) = xln 1.04 g(x) = 1000 e g(10) 1480 f (x) = 3 2e 2x f (x) = 6e 3x + e x f (2) = 6e 6 + e 2 Matematiken stannar normalt här. Handlar det om fysik eller andra tillämpningar av matematiken kanske man svarar f (x) Vi måste börja med att utveckla parenteserna (tänk på konjugatregeln): (e x e x ) (e x + e x ) = e 2x e 2x Vi får då funktionen vars derivata är f(x) = e 2x e 2x f (x) = 2e 2x ( 2)e 2x = 2(e 2x + e 2x ) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Räkna bokens uppgifter: 2327, 2330, 2335, 2338, 2341, 2342, 2343, 2348, 2353, b) TB: f(x) = 3 e 4x ska deriveras. f (x) = 12 e 4x. Enkelt d) TB: Nu har vi funktionen f(x) = 6 e x/2. dess derivata är f (x) = 3 e x/2 och f (1/3) = 3 e 1/ TB: Tråkiga uppgifter hela vägen. Vad har du tänkt på när du plockat ut dem? Vi har f(x) = 10 e 7x som har derivatan f (x) = 70 e 7x. Vi ska nu visa att KTH: Javisst 2338 f (x) + 7f(x) = 0 70 e 7x e 7x = 0 det ser man ju på en gång. Har jag visat vad jag skulle och på rätt sätt TB: Nu ska jag derivera f(x) = (e x + e x ) 2. Jag vet inte riktigt. Ska man utveckla parenteserna, eller finns det något annat sätt? KTH: I och för sig finns det ett annat sätt, men det har du inte lärt dig ännu, så du får nog utveckla parenteserna TB: 2341 f(x) = (e x + e x ) 2 f(x) = (e x ) 2 + (e x ) 2 + 2e x e x f(x) = e 2x + e 2x + 2 f (x) = 2e 2x 2e 2x TB: C och k i f(x) = C e kx ska bestämmas. Till detta har vi två villkor f(0) = 2 och f (0) = 3. f(0) = C e k0 ger direkt C = 2. Om vi deriverar får vi f (x) = 2k e kx. Eftersom f (0) = 2k kan vi skriva 2k = 3 ger k = 3/2 och hela funktionen f(x) = 3 e 3x/ TB: Nu är jag helt borta igen. Vad ska jag göra? Jag inser att jag har funktionen f(x) = 4 x och att jag kan derivera den på något sätt. f(x) = e xln 4, så kan också man skriva funktionen. För mig blir det då enklare att finna f (x) = ln 4 e xln 4. Nu har jag både funktionen och derivatan Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 f (x) = k f(x) ln4 e xln 4 = k e xln 4 k = ln Är det klart? I så fall, vad har jag löst och varför? KTH: Kanske vill man påvisa att f(x)/f (x) är konstant TB: Det här med gränsvärden har jag inte fått riktigt grepp på. Hur skulle man skriva nu igen a h 1 lim = 1 h 0 h 2 När h 0 går både täljare och nämnare mot 0 och det är omöjligt att säga vad som händer. Jag har för mig att jag har hört att 0, kan vara precis vad 0 som helst. Här blir det tydligen 1/2 om man väljer a på ett bra sätt. KTH: Den är inte så lätt den här uppgiften. Vi vet att a h 1 h om vi har korrekt värde på a och små värden på h. Om vi fortsätter att förenkla uttrycket får vi e) a h h a ( h Om vi nu beräknar a med några små värden på h, till exempel h = 0.01 och h = så får vi a = respektive a = , så vi kan vara ganska säkra på att de tre första siffrorna hos a = Det var ju ett närmevärde det var frågan om. Det exakta svaret är a = e, men jag tänker inte berätta hur jag kom fram till det. Du får vänta några kurser till. TB: Att skriva om en potens a b, som ju har basen a och exponenten b till en annan bas till exempel e eller 10 görs genom eller på samma sätt för basen e Speciellt då för uppgiften ) 1 h a b = 10 lg ab = 10 blg a a b = e ln ab = e bln a 4 2t = 10 lg 42t = 10 2tlg 4 4 2t = e ln 42t = e 2tln 4 Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 KTH: Kan verka enkelt men det är viktigt att man kan detta, eftersom det dyker upp som små detaljer i större sammanhang. TB: Vad händer om man skriver om 10 x till basen 10 som det ju redan är. Jag, menar om man inte tänker på detta x = 10 lg 10x = 10 xlg 10 = 10 x Det blir rundgång eftersom lg10 = 1, på samma sätt som lne = 1 TB: Nu kommer ett sådant här obegripligt uttryck igen. oberoende av x Vad menar de? KTH: Att du ska få fram ett uttryck där x inte ingår. TB: Hur gör jag då? KTH: Vi säger att du inte har en aning. Vad gör du då? TB: Jag har f(x) = x, som jag omedelbart skriver om till basen e, bara för att jag då enklare kan derivera f(x). Jag får då f(x) = 5000 e xln 1.05 och dess derivata är f (x) = 5000 ln1.05 e xln 1.05 Enligt uppgiften ska jag nu beräkna en kvot f (x) f(x) = 5000 ln1.05 exln 1.05 = ln e xln 1.05 KTH: Ja Är det rätt? TB: Men varför. Vad var det för vits med detta? KTH: Att kvoten mellan derivatan och funktionen är konstant ln Vet du ett funktionsvärde f(a) så kan du omedelbart bestämma f (a) genom f(a) ln1.05. Det är väl bra! TB: Nej TB: Den här uppgiften är mer konkret och därmed tycker jag att den är bättre. Jag har funktionen f(x) = 2 x = e xln 2 och dess derivata f (x) = ln 2 e xln 2 Tangenten har k-värdet f (1) = ln2 e ln 2 = 2 ln2. Jag ska bestämma k och m i f(x) = kx + m. k = 2 ln2 och med hjälp av punkten (1, 2), som ligger på linjen får jag m genom 2 = (2 ln2) 1 + m, ger m = 2 2 ln2. Nu frågar man var tangenten skär y-axeln och det råkar vara samma värde som m. Svaret är (0, 2 2 ln2) Håkan Strömberg 12 KTH Syd

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande

Läs mer

Avsnitt 4, introduktion.

Avsnitt 4, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 4:1 4:1 Avsnitt 4, introduktion. Potensregler. Följande grundläggande potensregler är startpunkten för detta avsnitt: Ex 1: 2 3 2-2 = 2 3-2 =2 1 = 2. Ex 2: 8 4 = (2 3

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4 Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log LOGARITMER Definition av begreppet logaritm Betrakta ekvationen =. Om a är ett positivt tal skilt från 1 och b >0 då finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

f (a) sin

f (a) sin Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Kontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7

Kontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7 Kontroll 13 Uppgift 1 Avståndet, r parsec, till en stjärna kan bestämmas med formeln M = m + 5 5 lgr där M =stjärnans absoluta ljusstyrka och m =stjärnans skenbara ljusstyrka. (1 parsec= 3.26 ljusår= 9.46

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

y = x x = Bestäm ekvationen för en linje där k = 2 och som går genom punkten ( 1, 3). 2/0/0

y = x x = Bestäm ekvationen för en linje där k = 2 och som går genom punkten ( 1, 3). 2/0/0 Del A: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. 1) En TV reparatörs arbete kostar kronor, där antalet arbetstimmar. y = 200 + 150x x = a) Ange och tolka den linjära funktionens

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer

Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer Repetera grunderna i ekvationslösning Lära dig parentesmultiplikation, kvadreringsreglerna och konjugatregeln Lära dig lösa fullständiga andragradsekvationer Få en

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Hur länge ska fisken vara i dammen?

Hur länge ska fisken vara i dammen? Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning

Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning Helsingfors universitet, 18.5.2015 Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning DEL 2 Matematik (max 0 p.) 7. a) Matti och Maija börjar vandra från samma punkt i motsatta

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1)

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) Provets omfattning: t o m kapitel 5.6 i Matematik 2000 NV kurs AB. Provets omfattning: t o m kapitel 3.5

Läs mer

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för istanskursen Matematik A - analyselen vi Uppsala universitet höstterminen 2006. 1. Derivata I grunläggane analys

Läs mer

ASYMPTOT. Horisontal (lodrät) Vertikal (vågrät) Sned och Hål

ASYMPTOT. Horisontal (lodrät) Vertikal (vågrät) Sned och Hål ASYMPTOT Horisontal (lodrät) Vertikal (vågrät) Sned och Hål Definition av en asymptot En asymptot är en rak linje som agera som en gräns i grafen av en funktion När en funktion har en asymptot (alla funktioner

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Gränsvärdesberäkningar i praktiken

Gränsvärdesberäkningar i praktiken Gränsvärdesberäkningar i praktiken - ett komplement till kapitel i analsboken Jonas Månsson När man beräknar gränsvärden använder man sig av en rad olika strategier beroende på det givna problemet. Avsikten

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2 Så har vi då nått fram till sista avsnittet före tentamen. Uppgifterna i detta avsnitt är ganska trevliga, därför att de ofta har en, åtminstone påhittad,

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuitet Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 15 december 2010 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 009 40 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer

Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

FÖRNYELSEBARA RESURSER ETT RÄKNEEXEMPEL. Utgå från en logistisk tillväxtfunktion: = f ( x) = rx 1, där x är populationen, r är den

FÖRNYELSEBARA RESURSER ETT RÄKNEEXEMPEL. Utgå från en logistisk tillväxtfunktion: = f ( x) = rx 1, där x är populationen, r är den FÖRNYELSEBARA RESURSER ETT RÄNEEXEMPEL dx x Utgå från en logistisk tillväxtfunktion: = f ( x) = rx, där x är populationen, r är den dt inneboende tillväxttakten (alltid ett tal mellan noll och ett), och

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Newtons metod och arsenik på lekplatser Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Meningslöst nonsens. November 19, 2014 November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?

Läs mer

ClassPad 330 Plus studentexamen Hösten 2012 lång matematik. Mer tid för matematik och mindre tid för att lära sig räknaren.

ClassPad 330 Plus studentexamen Hösten 2012 lång matematik. Mer tid för matematik och mindre tid för att lära sig räknaren. ClassPad 330 Plus studentexamen Hösten 2012 lång matematik Mer tid för matematik och mindre tid för att lära sig räknaren. Kära läsare! Användningen av CAS-beräkningar i studentexamen är ännu i ett tidigt

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen Matematik Ten 1: T-bas 00-08-09 Nya kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så

Läs mer

Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima

Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson & Thomas Lingefjärd Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima I takt med att priserna sjunker utrustar allt fler skolor sina elever med små bärbara datorer. Detta innebär nya och

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x). Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer