Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Transkript

1 Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen Figur 1: 2 Vi har en funktion f(x) = x 2 + 2x 8 Bestäm genom att utnyttja symmetrin extrempunkten till denna funktionen. Ange om det handlar om ett maximum eller minimum. 3 Bestäm a så att funktionen får nollställena x 1 = 1 och x 2 = 5 4 Vi vet att en funktion med utseendet f(x) = x 2 ax 5 f(x) = x 2 + bx + c går genom punkterna (4,18) och ( 3,25). Bestäm b och c. 5 Bestäm a och b i funktionen f(x) = ax 2 + bx så att funktionen går genom punkterna (23,2024) och ( 10,440) 6 Fyra linjer y = 8, x = 2, y = 3 och x = 5 stänger in en rektangel. Bestäm rektangelns area. 7 Bestäm ekvationen för symmetrilinjen till funktionen 8 Bestäm funktionens skärning med y-axeln 9 Givet funktionen y = x 2 3x 2 p(x) = 3x 2 123x f(x) = x 2 4x + 3 Funktionens skärningar med koordinatsystemets axlar utgör hörnen i en triangel. Bestäm triangelns area Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

2 10 Bestäm b och c hos funktion f(x) = x 2 + bx + c så att funktionen får nollställen för x 1 = 2 och x 2 = Bestäm a hos funktionen f(x) = ax 2 + 4x 16 så att funktionen får ett minimum i punkten ( 1, 18) 12 Bestäm skärningspunkterna mellan linjen y = 3x + 1 och andragradsfunktionen y = x 2 + x 7 13 Linjen L 1 : y = 3x skär linjen L 2 under rät vinkel. L 2 har m-värdet 3. Bestäm L 2 s skärning med x-axeln 14 Linjerna y = k 1 x+3 och y = k 2 x 2 skär varandra under rät vinkel i en punkt med x-koordinaten 2. Bestäm linjernas k-värden 15 Följande andragradsfunktioner är givna: y 1 = 3x 2 18x + 24 y 2 = 2x 2 8x 6 Bestäm ekvationen för den linje som går genom funktionernas extrempunkter. Håkan Strömberg 2 KTH Syd Haninge

3 Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 Vi ser att alla tre funktionerna har samma nollställen x 1 = 2 och x 2 = 4. Alla funktionerna kan nu skrivas p(x) = k(x 2)(x 4) = k(x 2 6x + 8) Återstår att bestämma k, som kommer att vara olika för alla funktioner. Symmetrilinjen för alla tre funktionerna har ekvationen x = 3. Läser vi av extrempunkterna från grafen får vi (3, 1),(3, 2) och (3, 4). Vi kan nu bestämma k för var och en av funktionerna genom att sätta in dessa punkter i p(x). p 1 (3) = 1 ger 1 = k(3 2)(3 4) 1 = k 1 ( 1) k = 1 Vilket betyder att p 1 (x) = 1(x 2 6x + 8) = x 2 6x + 8. p 2 (3) = 2 ger 2 = k(3 2)(3 4) 2 = k 1 ( 1) k = 2 Vilket betyder att p 2 (x) = 2(x 2 6x + 8) = 2x 2 12x + 16 Inte speciellt överraskande då att p 3 (3) = 4 ger 4 = k(3 2)(3 4) 4 = k 1 ( 1) k = 4 Vilket betyder att p 3 (x) = 4(x 2 6x + 8) = 4x 2 24x + 32 Svar: De tre funktionerna är p 1 (x) = x 2 6x + 8 p 2 (x) = 2x 2 12x + 16 p 3 (x) = 4x 2 24x Vi har funktionen f(x) = x 2 + 2x 8. Vi startar med att bestämma funktionens nollställen genom att lösa ekvationen x 2 + 2x 8 = 0 x = 1 ± x = 1 ± 3 x 1 = 2 x 2 = 4 Av symmetrin att döma har extrempunkten en x-koordinat mitt emellan x 2 = 4 och x 1 = 2, det vill säga på x = 1. Vi sätter in x = 1 if funktionen och får f( 1) = ( 1) ( 1) 8 = = 9 Svar: Extrempunkten har koordinaterna ( 1, 9), som är ett minimum eftersom x 2 :s koefficient är positiv. 3 En funktion med nollställen x 1 = 1 och x 2 = 5 kan skrivas f(x) = k(x + 1)(x 5) = k(x 2 4x 5) Eftersom koefficienten för x 2 -termen är 1 måste k = 1. Detta ger a = 4 Svar: a = 4 och hela funktionen f(x) = x 2 4x 5 Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge

4 4 Från punkterna (4,18) och ( 3,25) får vi med hjälp av funktionen f(x) = x 2 + bx + c ekvationssystemet { 18 = b 4 + c 25 = ( 3) 2 + b( 3) + c Vi förenklar { 4b + c = 2 3b + c = 16 Ekvationssystemet har lösningen b = 2 och c = 10 (verifiera detta). Svar: f(x) = x 2 2x Vi sätter in de två punkterna i funktionen och får ekvationssystemet: { 2024 = a b = a ( 10) 2 + b ( 10) 6 Vi förenklar { 529a + 23b = a 10b = 440 Ekvationssystemet har lösningen a = 4 och b = 4. Svar: Detta ger funktionen f(x) = 4x 2 4x Basen är 5 ( 2) = 7 och höjden 8 ( 3) = 11. Ger arean 7 11 = 77 areaenheter. Figur 2: Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

5 7 Vi löser andragradsekvationen x 2 3x 2 = 0 x 2 + 3x + 2 = 0 x = 3 2 ± x = 3 2 ± 1 2 x 1 x 2 = 2 = 1 Funktionens nollställen är alltså ( 1, 0) och ( 2, 0). Symmetrilinjen är placerad mitt emellan dessa. Svar: x = När x = 0 är p(0) = f(x) = 0 ger funktionens nollställen (skärningar med x-axeln). f(0) ger funktionens skärning med y-axeln. Figur 3: x 2 4x + 3 = 0 x = 2 ± 4 3 x = 2 ± 1 x 1 = 1 x 1 = 3 Ger alltså två av de tre hörnen: (1,0) och (3,0). f(0) = 3 ger det tredje, (0,3). Basen kan vi nu bestämma till b = 3 1 = 2 och höjden h = 3. Med hjälp av den kända formeln bestämmer vi så till sist arean. Svar: 2 a.e. A = bh 2 = = 2 Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

6 10 Bestäm b och c hos funktion f(x) = x 2 + bx + c så att funktionen får nollställen för x 1 = 2 och x 2 = 3. Vi förstår att f( 2) = 0 och f( 3) = 0 som ger ekvationssystemet { 0 = ( 2) 2 + b( 2) + c 0 = ( 3) 2 + b( 3) + c Förenklat { c 2b = 4 c 3b = 9 Ekvationssystemet har lösningen b = 5 och c = 6 som ger funktionen f(x) = x 2 + 5x + 6. Ett betydligt enklare sätt är förstås att utveckla f(x) = (x + 2)(x + 3) = x 2 + 5x + 6 Svar: f(x) = x 2 + 5x Punkten ( 1, 18) måste ju ligga på kurvan. Vilket betyder att vi kan bestämma a genom att sätta in denna punkt. 18 = a( 1) 2 + 4( 1) = a a = 2 Att detta verkligen är en extrempunkt ser vi då vi löser ekvationen: 2x 2 + 4x 16 = 0 x 2 + 2x 8 = 0 x = 1 ± x = 1 ± 3 x 1 = 4 x 2 = 2 x-koordinaten för extrempunkten ligger mitt emellan x = 4 och och x = 2, det vill säga för x = 1, vilket stämmer. ( 1, 18) är en extrempunkt (minimum). 12 Funktionerna har samma värde då 3x + 1 = x 2 + x 7 0 = x 2 2x 8 x = 1 ± x 1 = 4 x 2 = Figur 4: Svar: Detta ger skärningspunkterna (4,13) och ( 2, 5) Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

7 13 Linjen L 1 : y = 3x skär linjen L 2 under rät vinkel. L 2 har m-värdet 3. Bestäm L 2 s skärning med x-axeln Enligt sambandet k 1 k 2 = 1 som gäller för k-värdena hos två linjer som skär varandra under rät vinkel får vi 3 k 2 = 1 k 2 = 1 3. Vi kan nu teckna L 2 : y = 1 3 x + 3 y = 0 ger 1 3 x + 3 = 0 x = Figur 5: Svar: L 2 skär x-axel i punkten (9,0) Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge

8 14 Om L 1 : y = kx + 3 så kan vi skriva L 2 : y = x 2. Då dessa linjer skär varandra i punkten k (y,2) får vi ekvationen k = 2 k 2 2k 2 + 3k = 2 2k 2k 2 + 5k + 2 = 0 k 2 + 5k = 0 k = 5 4 ± k = 5 4 ± 3 4 = 2 k 1 k 1 = Figur 6: Det finns alltså två lösningar! Antingen är linjernas ekvationer y = 2x + 3 respektive y = x 2 2 eller är de y = x och y = 2x 2. Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge

9 Figur 7: Vi startar med att bestämma funktionernas nollställen, först för y 1 3x 2 18x + 24 = 0 x 2 6x + 8 = 0 x = 3 ± 9 8 x = 3 ± 1 x 1 = 4 x 2 = 2 Extrempunkten har enligt symmetrin, x-koordinaten ligger mitt emellan nollställena, värdet x = 3 som ger y = = 3. Punkten har alltså koordinaterna (3, 3) Sedan för y 2 2x 2 8x 6 = 0 x 2 + 4x + 3 = 0 x = 2 ± 4 3 x = 2 ± 1 x 1 = 1 = 3 x 2 x-koordinaten för extrempunkten är x = 2, som ger y = 2( 2) 2 8( 2) 6 = 2. Extrempunkten är ( 2,2). Återstår så att bestämma ekvationen för linjen genom (3, 3) och ( 2,2). Först k-värdet k = 2 ( 3) 2 3 = 5 5 = 1 Insatt punkten (3, 3) ger Svar: Linjens ekvation är y = x 3 = m m = 0 Håkan Strömberg 9 KTH Syd Haninge