Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)

Transkript

1 1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1) och v = ( 1, 4) Beräkna w exakt. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: y = 12 2x 4x = 2y 6 4. Förenkla uttrycket så långt det går x(x 1)2 x x 2 x 3 x 4 5. Lös ekvationen 2x 2 = 8 6. En sjö har på en karta en area av 12,0 cm². Kartan är i skalan 1: (1 cm på kartan motsvarar 500 m i verkligheten). Vid sjöns utlopp finns en dammlucka som släpper ut liter vatten per sekund. Hur lång tid skulle det ta att sänka sjöns nivå med 1,0 dm om inget nytt vatten tillförs till sjön? 7. Lös ekvationen exakt 2 x x 2 x = 0 8. Järnvägsstationerna i två städer är belägna på ett avstånd av 17 km från varandra, oavsett om man beräknar avståndet längs järnvägslinjen eller utefter den närmaste bilvägen. Om man åker bil mellan städerna måste man passera några mindre byar där man högst får hålla 50 km/h. Sträckan genom byarna utgör 20% av den totala sträckan. En bil vill köra mellan städerna på samma tid som tåget gör. Vilken medelhastighet ska bilen ha under resten av sträckan? Antag att när bilen passerar byarna håller den maxhastigheten på 50 km/h hela tiden. Tåget håller en medelhastighet på 75 km/h. (3p) 9. Lös ekvationen (3p) 3 x x = x 10. Polynomet p(x) definieras som p(x) = q(x) r(x) där q(x) = x2 3 7x 4 4 och r(x) = 5x2 8 x 8 a) Beräkna p(-1) exakt. (1p) b) Bestäm x exakt så att p(x)=-4

2 11. En funktion f(x) = ax 2 + bx + c är given, där a, b och c är konstanter. Funktionens graf går genom punkterna (1,9) och (-3,9) samt uppfyller villkoret f(0) f( 1) = 2 Bestäm funktionens minsta värde. (3p)

3 Förslag till lösningar: 1. I figuren ovan har linjerna x=3, y=4, y=5,5 samt y=2x+4 ritats. Skärningspunkterna för y=5,5 och triangeln kalls för DE enligt figur. Sträckan DE kan beräknas med hjälp av likformighet: DE AC = BE AC BE DE = BC BC Sträckan AC är 3 l.e (skillnaden i x-led mellan punkterna (3;0) och (0;0). Sträckan BE är 4,5 l.e (skillnaden i y-led mellan punkterna (3;10) och (3;5,5) Sträckan BC är 6 l.e (skillnaden i y-led mellan punkterna (3;10) och (3;4) Insättning ger: DE = 3 4,5 6 Svar: Sträckan mellan punkterna är 2,25 l.e lång = 2,25 l. e 2. w = 2u v Insättning av u = (7,1) och v = ( 1, 4) ger: w = 2(7,1) ( 1,4) = (14,2) ( 1,4) = (15, 2) Absolutbeloppet w ges av w = ( 2) 2 = 229 Svar: w = y = 12 2x 4x = 2y 6 = 12 2x = 12 2x y y 2y = 4x + 6 y = 2x + 3 Ekvationerna subtraheras ledvis: y y = 12 2x (2x + 3)

4 0 = 9 4x x = 9 4 = 2,25 Insättning av x = 9 4 i y = 12 2 ger y = = 7,5 x = 2,25 Svar: y = 7, x(x 1)2 = x3 +2x 2 +x x(x 1) 2 = x3 +2x 2 +x x x 2 2x+1 = x3 +2x 2 +x x 3 +2x 2 x = x x 2 x 3 x 4 x 4 x 4 x 4 4x 2 x 4 = 4 x 2 Svar: 4 x 2 5. Ta reda på när uttrycket innanför absolutbeloppstecknet byter tecken: 2x 2 = 0 x = 1 Enligt definitionen på absolutbelopp gäller då: Vilket ger följande två fall: (2x 2) då x < 1 (1) 2x 2 = (2x 2) då x 1 (2) (1): x < 1 (2x 2) = 8 2x + 2 = 8 x = 3 (giltigt värde på x eftersom 3 < 1) (2): x 1 2x 2 = 8 x = 5 (giltigt värde på x eftersom 5 1) Svar: x = -3 och x = 5 6. (areaskalan) = (längdskalan) 2

5 Kalla sjöns verkliga area för A v. Följande samband fås eftersom längdskalan är given i uppgiften samt sjöns area: A v 12,0 = ( ) 2 A v = 12, = 3, cm 2 3, cm 2 = 3, dm 2 Volymen vatten som motsvarar en sänkning på 1,0 dm blir då: V=3, ,0 = 3, dm 3 Om liter (1 dm³= 1 liter) förs bort varje sekund tar det 3, = 2, s ( 2, ,9 h) Svar: det tar ca 6,9 timmar att sänka vattennivån med en decimeter. 7. Svar: x = ± x 2 + x 2 x = 0 x x 2 x x = 0 x x 2 x2 16 x 2 1 = 0 8x 2 16 x = 0 7x 2 16 = 1 7x 2 = 16 x 2 = 16 7 x = ± Tåget och bilen kör sträckan på samma tid t. Utgå från sambandet v = Δs t Δs t = v För tåget som kör 17 km med den medelhastighet av 75 km/h gäller då: t = tim

6 För bilen gäller att tiden t är summan av den tid det tar att åka med medelhastigheten 50 km/h (20% av sträckan) och den tid det tar att åka med den sökta medelhastigheten x km/h resten av sträckan: 0,2 17 (17 0,2 17) t = + = 3,4 50 x ,6 x Tiderna sätts lika: x = 13,6 x = 3, ,6 x 13,6 x = ,4 50 = , ,6 85,7 km/h ,4 Svar: Bilen ska ha medelhastigheten 86 km/h x x = x 3 + x = 2 x ( 3 + x) 2 = ( 2 x) x = ( 2) 2 ( x) x = 4x 3 = 3x 1 = x Prövning av x=1: VL: = 5 HL: 1 = 1 VL HL Ekvationen saknar reella rötter. Svar: Ekvationen saknar reella rötter. 10. a) p( 1) = q( 1) r( 1) = ( 1)2 3 7( 1) 4 5( 1)2 ( 1) = = = = 8 3 b) p(x) = x2 7x x2 x 8x2 = 42x 4 15x2 3x = 7x2 39x

7 Villkoret p(x)=-4 ger 7x x 24 4 = 4 7x x 24 = 0 x 39 (7x + 39) = 0 x = 0, x = 24 7 Svar : a) p( 1) = 8 3 b) x = 0, x = Eftersom funktionen går genom punkterna (1,9) och (-3,9) gäller: Dessa samband bildar ett ekvationssystem: Subtraktion mellan ekvationerna ger: 8a + 4b = 0 b = 2a (1) f(1) = 9 9 = a b 1 + c = a + b + c 9 = a + b + c f( 3) = 9 9 = a ( 3) 2 + b ( 3) + c = 9a 3b + c 9 = 9a 3b + c a + b + c = 9 9a 3b + c = 9 För att kunna bestämma a och b behövs ytterligare ett villkor. Vi använder att f(0) f( 1) = 2: Insättning ger: (1) och (2) ger: a b 0 + c (a ( 1) 2 + b ( 1) + c) = 2 c (a b + c) = 2 a + b = 2 b = 2 + a (2) b = 2a 0 = a 2 a = 2, b = 4 b = 2 + a Insättning av a och b i funktionen ger: f(x) = 2x 2 + 4x + c. För att bestämma konstanten c används punkten (1,9) :

8 9 = c c = 3 dvs funktionen är f(x) = 2x 2 + 4x + 3 Eftersom f(1)=9 och f(-3)=9 kan symmetrilinjen, x s beräknas: x s = 1 + ( 3) 2 dvs funktions minsta värde eller största värde fås då x=-1: Insättning i funktionen ger: = 1 f( 1) = (2 ( 1) ( 1) + 3) = 1 (Alternativt kan f(0) f( 1) = 2 f( 1) = f(0) 2 f( 1) = c 2 = 3 2 = 1 beräknas) Eftersom a >0 har funktionen ett minsta värde.. Svar: Funktionens minsta värde är f(-1)=1