Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22"

Transkript

1 Moment 5.3, Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 22 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Boken ger olika minnesregler. Här är en till = Vektorprodukt I många tillämpningar söker man en vektor, i rummet, som är vinkelrät mot två andra, givna vektorer. Vi ska därför här visa en metod som tar fram en sådan vektor. Definition 1. Vektorprodukt. u = (u 1,u 2,u 3 ) och v = (v 1,v 2,v 3 ) är vektorer i rummet. Vektorprodukten u v är en vektor definierad som u v = (u 2 v 3 u 3 v 2,u 3 v 1 u 1 v 3,u 1 v 2 u 2 v 1 ) Kan också skrivas som ett uttryck med determinanter ( ) u u v = 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2 Ett tredje och kanske ett enklare sätt att memorera vektorprodukten är genom determinanten u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 där e x = (1,0,0), e y = (0,1,0), e z = (0,0,1), koordinatsystemets tre basvektorer. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Exempel 1. Bestäm u v då u = (1,0,5) och v = (2, 1,1). Den första definitionen ger oss direkt lösningen w = u v = (0 1 5 ( 1), ,1 ( 1) 0 2) = (5,9, 1) Genom kontroll visar vi sedan att w u = 0 och w v = 0. (1,0,5) (5,9, 1) = ( 1) = 0 (2, 1,1) (5,9, 1) = 2 5+( 1) 9+1 ( 1) = 0 Vi har alltså funnit en vektor w, som är vinkelrät mot både u och v. Inför kontrollskrivningar och tentamen måste du kunna den här formeln utantill. Bästa sättet att komma ihåg den är antagligen genom Sarrus regel. u 3 u 1 u 2 u 3 u 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 Med lite fantasi kan vi se sex diagonaler med tre element i varje. Produkten av elementen i en diagonal med negativt k-värde genererar en negativ term. Produkten av elementen i en diagonal med positivt k-värde en positiv term. u v = v 2 u 3 e x v 3 u 1 e y v 1 u 2 e z +v 3 u 2 e x +v 1 u 3 e y +v 2 u 1 e z u v = v 2 u 3 (1,0,0) v 3 u 1 (0,1,0) v 1 u 2 (0,0,1) +v 3 u 2 (1,0,0) +v 1 u 3 (0,1,0) +v 2 u 1 (0,0,1) u v = (v 2 u 3,0,0) (0,v 3 u 1,0) (0,0,v 1 u 2 )+(v 3 u 2,0,0)+(0,v 1 u 3,0)+(0,0,v 2 u 1 ) u v = (v 3 u 2 v 2 u 3,0,0)+(0,v 1 u 3 v 3 u 1,0)+(0,0,v 2 u 1 v 1 u 2 ) u v = (v 3 u 2 v 2 u 3,v 1 u 3 v 3 u 1,v 2 u 1 v 1 u 2 ) Geometrisk tolkning av vektorprodukten Vilket värde har v u? Det vill säga vilket längd har w = v u? Vi ska här ge vektorprodukten en geometrisk tolkning uttryckt i v, u och θ, vinkeln mellan vektorerna. Vi utgår från Lagrange s identitet och påstår att u v 2 = u 2 u 2 ( u v) 2 (1) Vi vet att u v = u v cos θ och skriver därför om (1) till u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2( 1 cos 2 θ ) = u 2 v 2 sin 2 θ Eftersom 0 θ π så är sinθ 0, vilket leder till Sats 1. Geometrisk tolkning av vektorprodukten u v = u v sinθ Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Arean av det parallellogram som spänns upp av två vektorer Mätetalet hos längden (normen) av vektorn v u är lika med arean hos det parallellogram som vektorerna spänner upp. Exempel 2. Bestäm arean av den triangel i vilken vektorerna v = (4,5,3) och u = (8,8,6) utgör två sidor. Arean hos det parallellogram som vektorerna spänner upp är dubbelt så stor som den area vi söker. Därför blir formeln: A = v u 2 v u = , , = ( 6,0,8) Återstår att bestämma v u och därefter arean A = ( 6) = = 5 Svar : Triangeln har arean 5 Trippel skalärprodukt Vi har tre vektorer a, b och c. Uttrycket ( a b) c leder till ett tal som motsvarar volymen hos den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna. Volymen av en parallellepiped är V = B h, där B är basarean och h höjden. Vi vet redan att a b ger oss en vektor där mätetalet för dess längd motsvarar mätetalet för den area som a och b spänner upp. Vi vet också att vektorn a b är vinkelrät mot basarean. Om vi nu projicerar c på a b till h och bestämmer den projektionens längd, så har vi höjden. Vi får h = c ( a b) a b och ur detta c ( a b) = h a b Exempel 3. Vi ska först försöka finna tre vektorer som är sinsemellan vinkelräta. Den första väljer vi helt på måfå a = (1,2,3). För att b ska vara vinkelrät mot a ska som vi vet a b = 0. Det blir inte så svårt att hitta en sådan vektor. b = (2, 1,0) fungerar bra, eftersom (1,2,3) (2, 1,0) = = 0. För att så hitta en tredje vektor c som är vinkelrät mot båda dessa tar vi till vektorprodukten och skriver c = a b = Vi kontrollerar att c är vinkelrät mot både a och c = 6 e y e z 4 e z +3 e x = (3,6, 5) (1,2,3) (3,6, 5) = = 0 (2, 1,0) (3,6, 5) = = 0 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Det stämmer! Om vi nu använder formeln ( a b) c för att bestämma volymen till den parallellepiped som de tre vektorerna spänner upp får vi (3,6, 5) (3,6, 5) = 70. Eftersom alla vinklar är räta i denna parallellepiped (vi har ett rätblock) kan vi bestämma volymen genom formeln V = l b h. Vi tar därför reda på längderna hos de tre vektorerna Volymen blir då V = = 70 a = = 14 b = 2 2 +( 1) = 5 c = ( 5) 2 = 70 Exempel 4. En av diagonalerna i en parallellogram har ändpunkterna i (1,0,2) och (3,1, 1), det ena av de två återstående hörnen är (2, 1,5) a) Bestäm det återstående hörnet b) Beräkna vinkeln mellan diagonalerna (3,1, 1)(2, 1,5) = ( 1, 2,6) (x,y,z)(1,0,2) = (1 x, y,2 z) Eftersom dessa två vektorer ska vara identiska måste x = 2, y = 2, z = 4. Svar: P = (2,2, 4) En vektor utefter den ena diagonalen d 1 = ( 2, 1,3) och en utefter den andra d 2 = (0, 3,9). Vinkeln θ får nu genom formeln: θ = arccos u v u v θ = arccos ( 2, 1,3) (0, 3,9) ( 2) 2 +( 1) ( 3) = θ = arccos Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Exempel 5. Bestäm vinkeln θ mellan diagonalen i en kub och diagonalen på en av dess sidor. Vektorn v = 1,1,1 har samma riktning som rymddiagonalen. Vektorn v = 0,1,1 har samma riktning som diagonalen på en sida. Vi bestämmer θ genom θ = arccos (1,1,1) (0,1,1) (1,1,1) (0,1,1) = arccos Exempel 6. Bestäm avståndet från punkten ( 2,5) till linjen y = 3x+1. Vi kan använda formeln nedan då vi skriver linjens ekvation som ax+by+c = 0 och det är avståndet till punkten P 0 = (x 0,y 0 ) som ska bestämmas d = ax 0 +by 0 +c a 2 +b 2 y = 3x+1 skrivs om till 3x+y 1 = 0. P 0 = ( 2,5) d = ( 3) ( 2)+1 5+( 1) ( 3) = = 10 Exempel 7. Är a b = b a? Vi kontrollerar genom att välja två vektorer på måfå. Skulle likheten ovan stämma för dessa val, kan vi då fortfarande inte säga något säkert, men om vi får en olikhet så vet vi med säkerhet att uttrycket i allmänhet inte gäller. Vi väljer a = (1,0,1) och b = (0,1,1) och beräknar först: a b = = e z e y e x = ( 1, 1,1) och sedan a b = = e x + e y e z = (1,1, 1) Vi kan konstatera att a b = b a inte alltid är sant. Däremot är det så att a b = b a Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Repetera gammalt stoff genom att lösa dessa uppgifter: Problem 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Svar 1. (x,y,z) = (1+t, 1+t,t) (x,y,z) = (3 4t, 1+2t,4+3t) (x,y,z) = (4+3t,3 5t, 1+6t) (x,y,z) = (11 2t,3 4t, 6+9t) Problem 2. Kan du ta reda på om några av dessa linjer skär varandra (har en gemensam punkt) L1 (x,y,z) = (2+t,t,2 t) L2 (x,y,z) = (4+t,2+t,t) L3 (x,y,z) = (3 t,2+t,2 t) Svar 2. L1 och L2 skär varandra i punkten (4,2,0) s = 0 och t = 2 Problem 3. Vi önskar lösa ekvationen 2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s x 3 4x 2 47x+210 = 0 Vi får reda på att en rot är x 1 = 7 och en annan är x 2 = 5. Vilken är den tredje roten? Svar 3. Det luktar polynomdivision. Visst kan vi dividera polynomet med (x + 7). Vi får då ett andragradspolynom och tar reda på dess nollställen (löser motsvarande andragradsekvation) och får två rötter där den ena redan är bekant. Något lite smartare är att expandera (x+7)(x 5) = x 2 5x+7x 35 = x 2 +2x 35 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 och dividera polynomet med detta uttryck så får vi fram roten direkt! Och vips vet vi att x 3 = 6 x 3 4x 2 47x +210 : x 2 +2x 35 = x 6 x 3 +2x 2 35x 6x 2 12x x 2 12x +210 Problem 4. Lös olikheten 3 x 2 < 4 x+3 0 Svar 4. Uttrycken innanför absolutbeloppen är = 0 då x = 3 respektive x = 2. Vi får då följande tabell Intervall Olikhet Lösning OK x < 3 3(x 2) < 4+(x+3) x > 1 4 tomt intervall 3 x < 2 3(x 2) < 4 (x+3) x > 5 2 tomt intervall x 2 3(x 2) < 4 (x+3) x < 7 4 tomt intervall Sätt in ett lämpligt värde på x, som ligger i aktuellt intervall (vänstra kolumnen), i samtliga absolutbelopp. Om resultatet då blir < 0 ändras tecknen framför absolutbeloppet. Ersätt absolutbeloppet med parenteser. Lös olikheten. Jämför resultatet (ett intervall) med det tillåtna intervallet. Under OK skrivs snittet av de två intervallen, som kan vara tomt. Eftersom alla tre intervallen här är tomma finns det helt enkelt inget x som uppfyller olikheten. Problem 5. Lös olikheten (x 2)(x+3)(x 1)(x+5) < 0 Svar 5. Återigen en tabell x < 5 x = 5 5 < x < 3 x = 3 3 < x < 1 x = 1 1 < x < 2 x = 2 x > 2 (x 2) 0 + (x + 3) (x 1) (x + 5) Allt Starta med att ta reda på när vänstra ledet är = 0, vilket är enkelt här eftersom uttrycket är faktoriserat. Varje nollställe leder till ett bestämt x. Mellan nollställena råder intervall. Plocka ett x som överensstämmer med rubriken. Sätt in detta x-värde i faktorn till vänster. Notera om resultatet är +, eller 0. Beräkna till slut den nedersta raden genom att multiplicera tecknen i kolumnen. Skriv in +, eller 0. För att bilda svaret plockar vi ut alla intervall där resultatet visar ett, eftersom olikheten gäller < 0. Ur tabellen kan vi nu läsa svaret: 5 < x < 3 eller 1 < x < 2 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Problem 6. En linje L 1 går genom punkterna P 1 = ( 7, 5, 3) och P 2 = (5, 9, 9). En annan linje L 2 går genom punkterna P 3 = ( 1, 19,3) och P 4 = (5, 17, 3). Bestäm linjernas skärningspunkt. Svar 6. Plan: Bestäm de två linjernas ekvationer. Använd parametern t för den ena linjen och s för den andra. Sätt de två ekvationerna lika varandra som i uppgift 2 och lös ekvationssystemet. I Mathematica p1 = {-7, -5, -3}; p2 = {5, -9, -9}; p3 = {-1, -19, 3}; p4 = {5, -17, -3}; linje1[t_] := p1 + t(p1 - p2) linje2[t_] := p3 + t(p3 - p4) Solve[linje1[t] == linje2[s]] s->-3, t->-2 linje1[-2] (17,-13,-15) Problem 7. Bestäm a så att linjerna x = 5+t y = a 2t z = a 2t x = 2+s y = a+s z = s skär varandra och dessutom i vilken punkt det sker. Svar 7. Vi ställer upp följande ekvationssystem 5+t = 2+s a 2t a+s a 2t = s Ett system med 3 ekvationer och lika många obekanta. Vi skriver om sista ekvationen till s = 2t a och ersätter s med detta uttryck i första och andra ekvationen. Efter lite räknande får vi { a t = 3 a 4t = 0 Ur sista ekvationen ser vi att a = 4t. Detta insatt i första ekvationen ger t = 1. Då ser vi att a = 4. Går vi tillbaka till s = 2t a och sätter in det vi känner får vi s = 2 Resultatet blir då: För a = 4 får vi två linjer som skär varandra. Använder vi nu t = 1 i den första linjens ekvation får vi skärningspunkten (4, 2, 2). Samma resultat som vi fått om vi använt s = 2 i den andra linjens ekvation (förstås). Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Läxa a) = = 19 Läxa b) = 1 ( 4) ( 6) ( 4) ( 6) = Läxa c) = 2 2 ( 4) ( 1) ( 1) 4 ( 4) = Läxa d) = = 1 Läxa e) = 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = Läxa a) 2 λ λ = (2 λ)(6 λ) 28 = 12 8λ+λ2 Determinanten = 0 då 12 8λ + λ 2 = 0. Andragradsekvationen har rötterna λ 1 = 2 och λ 2 = 6. Det vill säga om λ = 2 eller λ = 6 så innebär det att determinanten = 0 Läxa a) p = (1,1,1) och q = (0 1,2). Detta ger p q = (0 1,2) (1,1,1) = 2 e x e z 2 e y + e x = (3, 2, 1) Läxa Vi har punkterna A = (1, 1,2), B = (9,0,8) och C = (5,0,5) a) AB = (9,0,8) (1, 1,2) = (8,1,6) och AC = (5,0,5) (1, 1,2) = (4,1,3) b) AB AC = n = = 3 e x +4 e z = ( 3,0,4) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 c) Då vi kan bestämma n = 5, får vi en enhetsvektor genom ( n 3 n = 5,0, 4 ) 5 c) Arean av det parallellogram som spänns upp av de två vektorerna är AB AC. Häften av den arean utgör arean hos triangeln vi söker Läxa Vi har att beräkna: AB A = AC = (2, 3,4) (1,3,1)) (3, 1,2) Först vektorprodukten = 3 e x +4 e y +6 e z 12 e x +2 e y +3 e z = ( 9,6,9) Så skalärprodukten som till slut ska ge volymen Volymen är 15 enheter. Läxa Om (3, 1,2) ( 9,6,9) = = 15 ((3,2, 1) (5, 7,3)) (11, 3,1) = 0 så måste det betyda att de tre vektorerna ligger i samma plan = 6 e x 5 e y 21 e z 7 e x 9 e y 10 e z = ( 1, 14, 31) och så ( 1, 14, 31) (11, 3,1) = = 0 Alltså ligger de tre vektorerna i samma plan. Volymen av den parallellepiped de spänner upp är 0. Vektorerna är linjärt beroende. Läxa Vi har vektorerna a = (3,2, 1), b = (1, 1,3), a = (2, 3,λ) och vill bestämma λ så att de tre vektorerna ligger i samma plan. Vi ska alltså lösa ekvationen ((3,2, 1) (1, 1,3)) (2, 3,λ) = 0 Först vektorprodukten = 6 e x e y 3 e z e x 9 e y 2 e z = (5, 10, 5) Så löser vi ekvationen (5, 10, 5) (2, 3,λ) = λ = 0 λ = 8 Då λ = 8 ligger de tre vektorerna i samma plan. Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 Läxa Den här gången har vi fyra punkter P 1 (2,1,0), P 2 (2, 2, 2), P 3 (7, 3, 1) och P 4 (13,3,5). Med hjälp av dem kan man bilda sex olika vektorer. Väljer vi ut tre av dessa så att varje punkt finns med i åtminstone en vektor, kan vi sedan ta reda på om dessa vektorer ligger i samma plan. Vi får till exempel: a = (2,1,0) (2, 2, 2) = (0,3,2) b = (13,3,5) (2, 2, 2) = (11,5,7) c = (13,3,5) (7, 3, 1) = (6,6,6) Som i tidigare uppgifter ska vi nu bestämma (mata b) c och börjar med = 21 e x +22 e y 10 e x 33 e z = (11,22, 33) och så (6,6,6) (11,22, 33) = = 0 Läxa a) Först bestämmer vi en vektor a som är vinkelrät mot både p = (1,4,1) och q = (2,1, 1) a = = 4 e x +2 e y + e z e x + e y 8 e z = ( 5,3, 7) ^a = a a = ( ( 5,3, 7) 5 ( 5) ( 7) =, , ) 7 83 Läxa b) Först bestämmer vi en vektor a som är vinkelrät mot både p = (1,4,1) och r = (1, 3,2) a = = 8 e x + e y 3 e z +3 e x 2 e y 4 e z = (11, 1, 7) Sedan bestämmer vi en vektor b som är vinkelrät mot både p = (1,4,1) och q = (2,1, 1) b = = 4 e x +2 e y + e z e x + e y 8 e z = ( 5,3, 7) I tredje steget bestämmer v a b c = a b = = 7x e x+35 e y +33 e z +21 e x +77 e y 5 e z = (28,112,28) = 28(1,4,1) Nu ska vi ha tag i en av alla de oändligt många vektorer som ligger i samma plan som a och b och som har x-koordinaten = 0. 28(0,y,z) (1,4,1) = 28(0+4y+z) = 0 En möjlighet är y = 1 och z = 4. Alltså har vi d = (0,1, 4). Nu ska vi beräkna enhetsvektorn i samma riktning: ^d = ) d d = (0,1, 4) (0, ( 4) = 1 4, Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 1 Om du får två vektorprodukter, kan du då gissa den tredje? a) (1,0,0) (1,1,1) = (0, 1,1) b) (0,1,0) (1,1,1) = (1,0, 1) c) (0,0,1) (1,1,1) =? 2 Bestäm (1,1,1) (2,2,2) 3 Bestäm (1,0,0) (0,1,0) Vi vet redan att en vektor i Mathematica definieras genom v={1,3,4}. Om man placerar ett antal, till exempel tre vektorer i en överordnad lista får man till exempel m={{1,3,0},{4,-2,1},{3,2,1}} Detta kan uttryckas som en lista av listor, här en lista av tre listor. Vi kan även betrakta m som en matris Vi kommer i senare föreläsningar att studera matriser och tillhörande räknelagar, men inför matris här för att kunna definiera vektorprodukt. m={{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},{x3,y3,z3}}; Här har vi definierat en matris där varje rad bestå av en vektor. Genom att skriva Det[m] bestämmer vi tillhörande determinant. Vi får resultatet -x3 y2 z1 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 - x1 y3 z2 - x2 y1 z3 + x1 y2 z3 som konfirmerar definitionen av determinant. Om vi har två vektorer v={x1,y1,z1} och u={x2,y2,z2} Så kan vi med hjälp av Mathematica bestämma vektorprodukten v u genom Cross[v,u]={-y2 z1 + y1 z2, x2 z1 - x1 z2, -x2 y1 + x1 y2} Problem 8. Låt u = (3,2, 1), v = (0,2, 3) och w = (2,6,7). Beräkna a) v w b) u ( v w) c) ( u v) w d) ( u v) ( v w) e) u ( v 2 w) f) ( u v) 2 w Håkan Strömberg 12 KTH Syd

13 Svar 8. u = {3, 2, -1}; v = {0, 2, -3}; w = {2, 6, 7}; Cross[v, w] Cross[u, Cross[v, w]] Cross[Cross[u, v], w] Cross[Cross[u, v], Cross[v, w]] Cross[u, v - 2 w] Cross[u, v] - 2 w Problem 9. a) Finn en vektor som är ortogonal till både u = ( 6, 4, 2) och v = (3, 1, 5). b) Finn en vektor som är ortogonal till både u = ( 2, 1, 5) och v = (3, 0, 3). Svar 9. a) Clear[ex,ey,ez] m = {{ex,ey,ez},{-6,4,2},{3,1,5}}; d = Det[m]; ex = {1,0,0}; ey = {0,1,0}; ez = {0,0,1}; d u v = (18,36, 18) b) Clear[ex,ey,ez] m = {{ex,ey,ez},{-2,1,5},{3,0,-3}}; d = Det[m]; ex = {1,0,0}; ey = {0,1,0}; ez = {0,0,1}; d u v = ( 3,9, 3) Problem 10. Finn arean till det parallellogram som spänns upp av vektorerna u = ( 6,4,2) och v = (3,1,5). Svar 10. u ={-6,4,2}; v ={3,1,5}; Norm[Cross[u,v]] Arean blir 18 6 Håkan Strömberg 13 KTH Syd

14 Problem 11. Bestäm arean till triangeln med hörn i punkterna P = (2,6, 1), Q = (1,1,1) och R = (4,6,2) Svar 11. p = {2, 6, -1}; q = {1, 1, 1}; r = {4, 6, 2}; pq = q - p; pr = r - p; Arean blir Norm[Cross[pq, pr]]/ Problem 12. Varför kan man inte skriva u v w Svar 12. Det är inte avgjort vilken operation som ska utföras först. Problem 13. Vad kan man säga om u u Svar 13. Att resultatet från Cross[p, p] är {0, 0, 0}. Problem 14. Vilket värde har u ( u v) för godtyckliga vektorer u och v? Förklara varför. Svar 14. Lika användbar som skalärprodukten är i många vektorproblem, lika användbar är vektorprodukten (eller kryssprodukten, som den också kallas). Vi löser problemet genom att definiera u och v och låter därefter programmet beräkna u ( u v) v={v1,v2,v3}; u={u1,u2,u3}; u.cross[u,v]//simplify Att resultatet blir 0 inser man på följande sätt: u v ger en vektor, w, som är vinkelrät mot både u och v och därför är u w = 0 Problem 15. Undersök om vektorprodukten är kommutativ. Det vill säga, är u v = v u? Sammanfatta din underökning med en räkneregel! Svar 15. Om k = 1 i ekvationen nedan är vektorprodukten kommutativ. u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; Solve[Cross[u,v]==k*Cross[v,u],k] Nu blev k = 1, vilket betyder att u v = v u Problem 16. Undersök om vektorprodukten är associativ. Det vill säga, är ( u v) w = u ( v w) Svar 16. Om ( u v) w ( u v) w = 0 betyder det att det inte spelar någon roll i vilken ordning operationerna utförs vektorprodukten är associativ. u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; w={w1,w2,w3}; Cross[u,Cross[v,w]]-Cross[Cross[u,v],w]//Simplify Håkan Strömberg 14 KTH Syd

15 Eftersom resultatet ( u 2 v 2 w 1 u 3 v 3 w 1 +u 1 v 2 w 2 +u 1 v 3 w 3, u 2 v 1 w 1 u 1 v 1 w 2 u 3 v 3 w 2 +u 2 v 3 w 3, u 3 v 1 w 1 +u 3 v 2 w 2 u 1 v 1 w 3 u 2 v 2 w 3 ) inte blir 0 för de flesta vektorer u, v och w, så är vektorprodukten inte associativ. Därför kan man aldrig skriva u v w, eftersom ordningen för operationerna inte är bestämd! Problem 17. Beräkna u ( v w), då u = (x,0,0), u = (0,y,0) och u = (0,0,z). Vilken geometrisk tolkning kan man ge resultatet? Svar 17. De tre vektorerna u, v och w är parvis ortogonala. De spänner upp ett rätblock med sidorna x, y och z. u={x,0,0}; v={0,y,0}; w={0,0,z}; u.cross[v,w] u ( v w) = xyz, lika med rätblockets volym. Om detta är en tillfällighet återkommer vi till. Problem 18. Sök x så att b ( a b) = b a där a = (3x, 2x, 1) och b = ( 1, x,2) Svar 18. Problemet leder till en andragradsekvation med två lösningar a={3x,-2x,-1}; b={-1,-x,2}; Solve[b.Cross[a,b]==b.a,x] Rötterna är x = 1/2 och x = 2. Problem 19. Förenkla uttrycket u 2 v 2 u v 2 Svar 19. Vi definierar vektorerna u och v och beräknar uttrycket på komponentnivå, så får vi se om vi känner igen oss! norm[u_] := Sqrt[u[[1]]^2 + u[[2]]^2 + u[[3]]^2] u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; Simplify[norm[u]^2*norm[v]^2-norm[Cross[u,v]]^2] (u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 ) 2 = ( u v) 2 Det vana ögat kan översätta vänstra ledet nedan till kvadraten på skalärprodukten av vektorerna u och v. Allt sammantaget kallas Lagrange s identitet u 2 v 2 u v 2 = ( u v) 2 Problem 20. Tre vektorer u = (u 1,u 2,u 3 ), v = (v 1,v 2,v 3 ) och w = (w 1,w 2,w 3 ) är givna. Hur många olika resultat kan man erhålla genom att placera alla tre i uttrycket ( )? Håkan Strömberg 15 KTH Syd

16 Svar 20. För tre givna vektorer u, v och w kan vi bilda sex olika kombinationer av uttrycket ( ). Eftersom vi redan vet att vektorprodukten inte är kommutativ blir vi heller inte överraskade av resultatet. Om u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; w={w1,w2,w3}; u.cross[v,w]//simplify u.cross[w,v]//simplify v.cross[u,w]//simplify v.cross[w,u]//simplify w.cross[u,v]//simplify w.cross[v,u]//simplify så kan vi sammanfatta med V = u 3 v 2 w 1 u 2 v 3 w 1 u 3 v 1 w 2 +u 1 v 3 w 2 +u 2 v 1 w 3 u 1 v 2 w 3 Det finns alltså två olika möjliga resultat u ( w v) = v ( u w) = w ( v u) = V u ( v w) = v ( w u) = w ( u v) = V Svar till: Asfaltering Figur 1: Kartan över vägarna kallas inom matematiken en graf. Ett vägnät där man kan ta sig från vilken stad som helst till vilken annan som helst (ett sådant vi vill bygga med asfalterade vägar), kallas för ett uppspännande träd. När ett sådant träd ska minimeras använder man sig av följande algoritm Håkan Strömberg 16 KTH Syd

17 1 Sök upp det kortaste avståndet mellan två städer som har en väg mellan sig. 2 Asfaltera denna väg 3 Sök upp den kortaste avståndet från en stad som inte är ansluten till en stad som har en asfalterad förbindelse 4 Om alla städer är anslutna är problemet löst. Återstår att summera den totala längden av asfalterade vägar. Annars gå till punkt [2]. Totalt blir det = 520 Dagens problem: Katterna I huset finns många katter. 7 av dem äter inte fisk 6 av dem äter inte köttfärs 5 av dem äter inte kyckling 4 av dem äter varken fisk eller köttfärs 3 av dem äter varken fisk eller kyckling 2 av dem äter varken köttfärs eller kyckling 1 av dem äter varken fisk, köttfärs eller kyckling Ingen av dem äter allt Hur många katter finns det i huset? 1 ( 1,1,0) 2 De två parallella vektorerna spänner inte upp något parallellogram, alltså är svaret 0. 3 De två vektorerna är ortogonala, båda med längden 1. Vi får vektorn (0,0,1) Håkan Strömberg 17 KTH Syd

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

4.2. Vektorprodukt i koordinater

4.2. Vektorprodukt i koordinater 4 Vektorprodukt i koordinater 5 4 Vektorprodukt i koordinater Nästa sats visar hur vi kan räkna med vektorprodukt i en ON-bas Satsen följer av Definition 4 samt räknelagrna i Sats 44 Sats 45 Låt e = {e,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R} Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att

Läs mer

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b =

Läs mer

Linjer och plan (lösningar)

Linjer och plan (lösningar) Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

När du gjort detta kan du öppna motsvarande övning i WebWork: Självstudie 3(algebra), och lösa problemen där med samma metoder.

När du gjort detta kan du öppna motsvarande övning i WebWork: Självstudie 3(algebra), och lösa problemen där med samma metoder. Tillämpning 3: Mathematica och vektorer Vi ska nu använda Mathematica för att lösa problem med vektorer. Läs, som de andra noteböckerna, först igenom denna text, medan du löpande evaluerar de celler som

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Onsdagen 17 november 2010 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,

Läs mer

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: TENTAMEN Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I Moment: TEN1 Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: 2015-03-10 Tid: 13:15-17:15 Hjälpmedel:

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.06.07 08.30 10.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra Datum: 7

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

Sidor i boken 8-9, 90-93

Sidor i boken 8-9, 90-93 Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p) 1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)

Läs mer