Planering för kurs C i Matematik

Transkript

1 Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 ( ) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar. Av dessa timmar avsätts 15 timmar till prov, repetition inför NP, grafritarövningar mm. Resterande 70 timmar används till bokens fyra kapitel, inklusive eventuella fördjupningar och repetitioner. Vi har här uppskattat hur lång tid som behövs till varje moment i en normalklass. Det är givetvis viktigt att tidsplanen anpassas till klassens nivå och kursens timtilldelning. 1 Ekvationer och funktioner sidor i boken antal timmar Förenkling av uttryck, ekvationer Tillämpningar Andragradsekvationer Uppdelning i faktorer ,5 Faktorisering och ekvationer ,5 Förenkla rationella uttryck Funktionen y = k + m Teckna funktionen mm Andragradsfunktioner Olikheter Mer om funktioner Olikheter med teckenstudium Blandade uppgifter och Test summa 22 timmar 2 Derivator Förändringar ,5 En kurvas lutning ,5 Beräkning av gränsvärden Deriveringsregler Tolka derivatan Tillämpningar på derivata Tangenten till en kurva ,5 Väande och avtagande ,5 Kurvritning med hjälp av derivata Största och minsta värde Konstantbestämning Derivatans graf Andraderivatan och dess betydelse Maimi- och minimiproblem Tolka derivatan Blandade uppgifter och Test summa 25 timmar

2 3 Eponentialfunktioner och talföljder Räkneregler för potenser ,5 Ekvationer av typen 8 = Talföljder ,5 Geometriska talföljder Successiva inbetalningar ,5 Eponentialfunktioner Funktionen y = 10 och 10-logaritmer Ekvationer av typen 2 = Tillämpningar Teckna modeller Konstantbestämning Blandade uppgifter och Test ,5 summa 15 timmar 4 Funktionen y = e Inledning, Euler och talet e Derivatan av y = e ,5 Naturliga logaritmer ,5 Tillämpningar med basen e Skriv på formen y = e k Blandade uppgifter och Test summa 8 timmar Övrigt Prov, repetition inför NP, grafritare mm 15 timmar Summa totalt 85 timmar

3 Övningsprov i Matematik kurs C Provet kan lämpligen göras efter de tre första kapitlen i Holmström/Smedhamres C-bok. Tid: ca 2 timmar Hjälpmedel: Formelblad samt till del 2 även räknare. Del 1 Följande uppgifter ska göras utan räknare. 1 Utgå från funktionen f() = Bestäm a) funktionsvärdet f ( 1) b) f ( ) c) f ( 1) d) Lös ekvationen f ( ) = 0 2 Bestäm följande gränsvärden. a) lim h 0 h 2 3h h b) lim Figuren visar grafen till y = f() och en tangent som är ritad i punkten (5, 3). y J (5, 3) 1 1 a) Bestäm f(1) b) Bestäm f (5) c) Lös ekvationen f ( ) = 0 d) Lös olikheten f() > 0 4 Skissa grafen till en funktion p() då du vet att p(2) = 5 p (2) = 0 p (2) = 1 5 Denna bild visar grafen till g ( ). A B C 1 g () 1 D E I vilken/vilka av de markerade punkterna har g() en a) minimipunkt b) maimipunkt?

4 Del 2 Till följande uppgifter får räknare användas. 6 Lös ekvationerna. Svara med två decimaler. a) 2 7 = 48 b) 6 = 18 c) lg (5) = 1,4 7 Utgå från funktionen f() = Bestäm funktionens största och minsta värde i intervallet En geometrisk talföljd beskrivs med formeln a n = 4. 2 n 1. a) Vilken är talföljdens kvot? b) Bestäm talföljdens tionde element a. 10 c) Bestäm summan av de tio första elementen s Grafen till funktionen y = har en tangent i den punkt där grafen skär y-aeln. Bestäm tangentens ekvation. Grafen och tangenten ska inte ritas. 10 a) En bostadsrättslägenhet har ökat i värde från kr till kr på 4 år. Vilken är den årliga procentuella värdeökningen? Svara i procent med en decimal. b) Skriv en tet till ekvationen ,13 = c) Lös ekvationen i uppgift b). 11 Summan av tre sidors längder i en rektangel är 124 m. Vilken är rektangelns maimala area? 12 Idag lånar Monica kr. Lånet ska betalas med 8 stycken lika stora årliga annuiteter, där den första betalningen görs om ett år. Hur stor är annuiteten om ränta beräknas efter 6 %? 13 Vi har funktionen f() = a) Visa att funktionen är avtagande för = 1. b) För vilka värden på har funktionen maimi- och minimipunkter? Svara eakt. 14 Hur många termer ska adderas i talföljden , , , för att summan ska bli större än 10 6?

5 Lösningar och tips till övningsprov kurs C 1 a) f( 1) = 4 b) f ( ) = c) f ( 1) = 9 d) = ± 0,5 2 a) 3 b) 4 3 a) 5 (y-värdet då = 1) b) 2 (tangentens lutning) c) = 4 (här är kurvans lutning noll) d) 2 < < 6 (här finns kurvan ovanför -aeln) 4 p (2) = 0 antingen ma eller min i punkten (2, 5). Eftersom andraderivatan är negativ, så är det en maimipunkt. y (2, 5) 5 a) minimipunkt i E b) maimipunkt i D 6 a) = 24 1/7 = 1,57 b) lg 6 = lg 18 = 1,61 c) 5 = 10 1,4 = 5,02 7 f ( ) = 6 2 f ( ) = 0 då = 3 Undersök f(1) f(3) och f(6)! f(1) = = 7 f(3) = = 11 f(6) = = 2 Svar: Största värde = 11, minsta värde = 2 8 a) 2 b) a 10 = = 2048 c) Skärning med y-aeln då = 0, dvs. tangeringspunkten är (0, 4). Tangentens k-värde = kurvans lutning då = 0. y = 6 8 y (0) = 8 dvs. k = 8 Sätt in = 0, y = 4 och k = 8 i tangentens ekvation: y = k + m 4 = m m = 4 Svar: Tangentens ekvation är y = 8 + 4

6 10 a) = = (65/23) = (65/23) 1/4 1,297 Svar: 29,7 % b) Hur lång tid tar det för 230 kkr att väa till 650 kkr med 13 % ränta? c) 1,13 =(65/23) lg 1,13 = lg(65/23) lg 1,13 = lg(65/23) = 8,5 Svar: 8,5 år 11 Antag att rektangelns sidor är och y meter. Tre sidor är tillsammans 124 m 2 + y = 124 y = Arean A = y = (124 2) dvs A = A = A = 0 då = 0 4 = 124 = 31 A = 4 dvs. A har ma för = 31 Sidan y = = = 62 A = 31 m 62 m = 1922 m 2 Svar: Maimal area är 1922 m 2 12 Antag annuiteten = kr (1, 06 1) Svar: Annuiteten är kr 8 (1, 06 1) = , a) f ( ) = f ( 1) = = 30 dvs. negativt Att f ( 1) är negativt betyder att f() avtar för = 1. Vilket skulle visas! b) Derivatans nollställen: = 0 Division med 5 ger = 0 som liknar en andragradsekvation! Sätt 2 = p! p 2 p 6 = 0 p = 0,5 ± 025, + 6 p = 3 eller p = 2 Vi återgår till! 2 = 3 ger = 3 eller = 3. 2 = 2 saknar reella rötter. Alltså gäller att = 3 eller = 3. Nu undersöks andraderivatan! f ( ) = f ( 3) = = 50 3 dvs. min. f ( 3) = = 50 3 dvs. ma. Svar: Maimipunkt för = 3 och minimipunkt för = 3. 50(1,03 1) 14 Summan av st termer skrivs 1, 03 1 = ,03 1 = 600 lg 1,03 = lg 601 = 216,47 Eftersom summan ska vara större än 10 6 blir svaret 217 termer. Svar: 217 termer